f(x)－f(x－1)叫做函数f(x)的差分，记为△f(x)＝f(x)－f(x－1)。例如，f(x)＝x2，则△f(x)＝x2－(x－1)2＝2x－1；又如，f(n)＝Crn，则△f(n)＝Crn－Crn－1＝Cr－1n－1.
差分有下列简单的性质(证明极易)：
(i)若△f(n)＝0，则f(n)＝f(1).(n∈N)
(ii)若△f(n)≥0，则f(n)≥f(1).(n∈N)
差分的上述性质与数学归纳法有异曲同工之妙。
〔例23〕求证12－22＋32－…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·12n(n＋1)。
证明：设f(n)＝12－22＋…＋(－1)n＋1·n2－(－1)n＋1·1〖〗2n(n＋1).
问题变为证明f(n)＝0(n∈N)，或△f(n)＝0(n∈N)
f(1)＝0.
△f(n)＝f(n)－f(n－1)
＝(－1)n＋1·n2－(－1)n＋1·12n(n＋1)＋(－1)n·12(n－1)n
＝(－1)n＋1〔n2－12n(n＋1)－12(n－1)n〕＝0，
f(1)＝12－(－1)1＋1·12·1(1＋1)＝1－1＝0
所以f(n)＝0(n∈N).
说明此处的f(1)＝0实即数学归纳法的第一步，而△f(n)＝0实即数学归纳法的第二步。
〔例24〕证明不等式
1＋12＋13＋…＋1n>2(n＋1－1)，(n>1)
证明设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n－2(n＋1－1)
则△f(n)＝f(n)－f(n－1)
＝1n－2n＋1＋2n
＝1n(1－2n＋1n＋2n)
＝1n(n＋1－n)2>0，
且f(1)＝11－2(1＋1－1)
＝1－2(2－1)>0，
因此由性质(ii)知f(n)>0，即
1＋12＋13＋…＋1n>2(n＋1－1).
(7)一点说明
以上各例说明与自然数有关的命题常常可以用数学归纳法求证，但这决不意味一切与自然数有关的命题都可以用数学归纳法求证，或者说用它来证比较方便。
〔例25〕克朗贝尔问题：问nn＋1与n＋1n哪个大?(n是自然数)
数学家海莫斯在评论这个问题时说，“似乎很少人可能猜出答案的一个奇特问题是：对于任一个自然数n，nn＋1与n＋1n哪个大?”这个问题的奇特之处在于：当n取1，2，3，4，5，6时，都有nn＋1<n＋1n，似乎应有nn＋1<n＋1n(n∈N)，其实不然，当我们继续试下去，n取7，8，9，10，11时，又得到相反结果，即
n＋1n<nn＋1
这个问题与1983年高考题有关，原题的第一部分是，“已知a、b为实数，并且e<a<b，其中e是自然对数的底，证明ab>ba.
由于ab>ba1naa>1nbb，考虑函数
y＝1nxx(0<x<)，
由于y′＝1－1nxx<0(e<x<)，故它在(e，＋)内是减函数，所以，当e<a<b时，1naa>1nbb，即ab>ba.
同理可得，当0<x<e时，
y′＝1－1nxx2>0，故函数y＝1nxx在(0，e)内是增函数。所以，当0<a<b<e时，1naa<1nbb，即ab<ba。
由于7<e<8，且
78>87，故该问题的答案是：
(i)当自然数n≤6时，nn＋1<n＋1n；
(ii)当自然数n≥7时，n＋1n<nn＋1
下面这个角谷猜想(角谷静夫)至今尚未解决，当然也包括用数学归纳法在内。
〔例26〕角谷猜想：对任一个自然数n，有限次施行以下两种运算，总可以使之回到1.
(1)如果n是偶数，则除以2；
(2)如果n是奇数，则乘3加1.
这问题看上去似乎很平淡，但下面这句话也许能说明它的难度是十分惊人的：
“数学本身还没有成熟到足以解决它的程度”。这是当代著名数学家爱导士在美国《数学月刊》1983年第一期上就这个问题发表的题为“别去碰它”一文中的话。
4.处理最大(小)值问题的等高线方法
等高线方法是处理最大(小)值问题的一种数学方法，等高线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有特殊的含义与方法。
(1)等高线方法的含义
图3-12
在解决“米勒问题”中重要的一步是：暂时离开直线l，放眼平面，这样，就得到一系列等角弧，也叫做等角线或等值线，点M在某一条等角线上移动时张角不变，这很象地形图上的等高线。等高线上标着海拨高度，如图3-12中的100、200、300、400
米等(实际上地形中应该有无数条等高线)，如果一位登山者沿着某一条等高线前进，他不会升高，也不会降低。如果登山者的路线是图3-12中的虚线，那么，他能达到的最大高度是300米，处于与300米等高线相切的点M处。在登山者的路线中，相切点M是最高点，其他各点都不是最高点，它们都不是切点，都是与等高线相交的点。
于是，我们得到一条原则：如果在某一点，指定的路线是穿过等高线，那么这一点就不可能是极点；反之，如果指定路线中的某一点与等高线相切，那么这个切点往往就是极点。
等高线——相切——极值点
这是一条重要的思路，这种解题的思想方法叫做等高线法，它由三部分组成：等高线；限制条件；目标函数。
以米勒问题为例：
过P、Q两点的等角弧为等高线；
直线l为限制条件；
直线l上各点的张角为目标函数，它是l上的点的函数。
我们的任务就是在目标函数中求函数的最值。
(2)例题
用等高线方法解题时，要分析问题中的等高线、限制条件与目标函数。
〔例27〕A(0，a)、B(0，b)是直角坐标系中，Oy轴正向上的两定点，试在Ox轴正向上求一点C(c，0)，使得∠ACB取最大值。(1986年全国高考试题)
分析：等高线是过A、B两点的一簇圆弧；
限制条件是x轴的正向；
目标函数是x轴正向上各点对A、B的张角。
由等高线方法知，当等高线与限制条件(即x轴正向)相切时，切点C的张角最大(如图3-13)。由切割线定理，
＝OA·OB，∴c＝ab.
这是米勒问题的特例，用等高线方法来解这道高考题真是太简单了。
〔例28〕在底边长一定的三角形中，
(1)求周长一定而面积最大的三角形；
图3-13
(2)求面积一定而周长最小的三角形；分析(1)设底边长为2c，周长为2(a+c)，则限制条件为椭圆(如图3-14)，其长轴=2a，焦距=2c.
等高线是一束与三角形底边平行的直线。
目标函数是以椭圆上的点为顶点，F1F2=2c为底边的三角形面积。
因此，等腰△MF1F2即为所求，其中M为切点。
图3-14
图3-15
(2)由于面积S一定，底边F1F2=2c一定，故底边上的高h也一定，且h=S/c，因此限制条件为与F1F2平行且距离等于S/c的直线l(如图3-15)。
等高线的实质是等值线，所以这里的等高线是使三角形周长相等的线，即以F1、F2为焦点的一簇椭圆，当点在某一条椭圆(等高线)上移动时，三角形的周长不变。
目标函数是三角形的周长，其底边为F1F2，顶点在直线l上。
显然，目标函数的最小值应该由与l相切的椭圆确定，即周长最小的三角形为MF1F2，其中M为切点。思想方法还是
等高线——相切——极点值。
等高线方法所含的限制条件、目标函数等思想，又常用于解决规划问题。
〔例29〕生产队要安排30个劳力耕种75亩土地，这些地可种蔬菜、水稻、地瓜，如果这些农作物所要的劳力和预计产值如下表所示：
每亩所需劳力
(人)每亩预计产值
(元)
蔬菜1/21000
水稻1/4600
地瓜1/8450
怎样安排才能使所有土地都种上作物，全部劳力都有工作，且作物预计总产值达到最高?
分析：设种蔬菜、水稻、地瓜的亩数分别为x、y、z，则
限制条件：x+y+z=75
x2+y4+z8=30
x≥0，y≥0，z≥0
目标函数：S=1000x+600y+450z
由限制条件有
y=165-3x
z=2x-90
x≥0，y≥0，z≥0
y=165-3x
z=2x-90
45≤x≤55
代入目标函数，得
S＝100x+58500(45≤x≤55)
所以Smax＝100·55+58500＝64000(元)，此时x=55，y=0，z=20，即种蔬菜55亩，地瓜20亩，预计收入最大。
5.数学的局部调整法
局部调整法是重要的数学方法，对证明不等式，求函数的最值等更为有利。
(1)局部调整方法
为了解决一个问题，或者解一道数学题，有时可以通过对问题中的一部分量进行有限次调整获得解决，这种解决问题的方法叫做局部调整法。在《等周问题与轴对称》一文中著名几何学家斯坦纳(Steiner)就是采用这种方法证明了“周长一定的封闭曲线围成的图形中，若存在最大面积，它必定是圆。”
先看几个简单问题。
〔例30〕将0、1、2、3、4、5、6七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几?(1986年“华罗庚杯”赛第8题)
○×○＝＝○÷○
分析这类问题叫做“算式谜”，需要一定程度的推理。
七个数字填在五处，依题意，方格和方格后的第一个圆圈内应该是两位数，且方格内的两位数较小。
如果方格内填“30”，从而前面两个圆圈内分别填5与6，那么下式中后面两圆圈要由1、2、4这三个数来填。
○5
×○6
＝30＝○÷○
试一试，不行，发现方格数太大，要调整——调为20(24显然不行)，那么下式中后面两个圆圈要由1、3、6这三个数来填。
○4
×○5
＝20＝○÷○
试一试，发现方格数还嫌大，再将方格数调小为12(15也显然不行)，那么下式中后面两个圆圈要由0、5、6这三个数来填。
○3
×○4
＝12＝○÷○
由于12＝60÷5，问题获得解决——方格内的数是12。
说明在解决问题的过程中，逐步调整方格数是关键。这里是从最大数30开始，逐步调小，问题终能解决。
〔例31〕在△ABC中，求证
cosA+cosB+cosC≤32①
分析当A＝B＝C＝13π时，①式等式成立。因此，我们的证题策略是在A、B、C>0，A+B+C=π的条件下，逐次调整A、B、C，使得每一次调整至少出现一个等于13π的角，亦即最多调整两次，问题得证，即要证
cosA+cosB+cosC
≤cos13π+cosB′+cosC′≤cos13π+cos13π＋cos13π.
证明：在A、B、C中至少有一个角不大于13π，一个角不小于13π，不妨设A≤13π≤B.
先证下列不等式成立
cosA+cosB+cosC≤cos13π+cos(A+B-1〖〗3π)+cosC或cosA+cosB≤cos13π+cos(A+B-13π)，②
2cos12(A+B)cos12(A-B)≤2cos12(A+B)cos〔12(A+B)-13π〕，
cos12(A-B)≤cos〔12(A+B)-1〖〗3π〕，
〔∵2cos12(A+B)＞0〕，
cos12(A-B)-cos〔12(A+B)-13π〕≤0，
-2sin(12A-16π)sin(-12B+16π)≤0③
而A≤13π≤B，故sin(12A-16π)≤0，
sin(-12B+16π)≤0，因此③成立，从而②式成立.
同法可证
cos13π+cos(A+B-13π)+cosC≤cos13π+cos13π+cos13π
因此①式成立。
下面，我们用局部调整法来解决一些稍为复杂的问题.
〔例32〕(1)设A、B、C是三角形的三个内角，求sin12Asin12Bsin12C的最大值；
(2)A、B、C、D是四边形的4个内角，求sin12Asin1〖〗2Bsin12Csin12D的最大值；
(3)Ai(i=1,2…，n)是n边形的n个内角，求Πni=1sin1〖〗2Ai的最大值。
分析：(1)可以这样设想：当A=B=C=13π时，sin12Asin12Bsin12C取最大值。因此，我们的策略的第一步是证明：(不妨在条件A≤13π≤B下)
sin12Asin12Bsin12C
≤sin16πsin〔12(A+B)-16π〕sin12C①
或sin12Asin12B≤sin16πsin〔12(A+B)-16π〕
(∵sin12C>0)，
cos12(A-B)-cos12(A+B)
≤cos〔13π-12(A+B)〕-cos1〖〗2(A+B)
cos12(A-B)-cos〔13π-12(A+B)〕≤0，
-2sin(16π-12B)sin(12A-16π)≤0。
由于A≤13π≤B，故①成立.
策略的第二步与第一步同，即再证①式右端≤sin16πsin16πsin16π.最后得最大值18.
分析：(2)与(1)相比较，毫无原则上的差异，这里不变量为A+B+C+D＝4π，最多调整三次，便得
sin12Asin12Bsin12Csin12D≤(sin14π)4，
即所求的最大值等于14.
分析：(3)同法可得，当且仅当Ai＝(n-2)π/n时，Πni=1sin12Ai取最大值。
(2)更大范围的应用
以上各例都是将各变量逐次调整到彼此相等时便得结果。这种调整方向(流向)很明确。但在有些问题的解决过程中，变量的流向并不明显，要凭直觉去判断才行。
〔例33〕证明在锐角三角形ABC中，
sinA+sinB+sinC>2.
分析这里没有等号成立的情况，但是如果考虑“退化”三角形，即在A、B、C分别为90°、90°、0°时，
sinA+sinB+sinC恰好等于2.因此问题变为要证
sinA+sinB+sinC>sin90°+sin90°+sin0°，
证题策略当然是将三角形的三个角逐次调整为90°、90°、0°(流向明确了)，并且保证在调整中sinA+sinB+sinC的值不增加。
证明：首先证明
sinA+sinB>sin90°+sin(A+B-90°)①
此式等价于
2sin12(A+B)cos12(A-B)
>2sin12(A+B)cos〔90°-12(A+B)〕
或cos12(A-B)>cos〔90°-12(A+B)〕，
-2sin(-12B+45°)sin(12A-45°)>0.
2sin(12B-45°)sin(12A-45°)>0.
在锐角三角形中，0<12B<45°，0<12A<45°，
所以sin(12B-45°)sin(12A-45°)>0，因此不等式①成立。
①的两端同加sinC，便有
sinA+sinB+sinC>sin90°+sin(A+B-90°)+sinC.②
由于A+B-90°与C是互余的两个锐角，所以有
sin(A+B-90°)+sinC>1＝sin90°成立。代入②，得
sinA+sinB+sinC>sin90°+sin90°+sin0°，
原式得证。
〔例34〕设x、y、z为三个正数，其和为1，又三个数中的任何一个数不超过另一个数的两倍，则在乘积xyz可能取的数值之中的最大值和最小值各是多少?
分析：很明显，当三数相等时乘积取最大值(13)3＝127.而三数各取何值时，三数乘积取最小值，这就困难多了。当然，求最小值时还是让其中一个量固定不变，而让另外两个量变化，问题还是掌握流向，使这两个量的乘积取最小值。这里还是要采用“和差积恒等式”(A+B)2＝(A-B)2+4AB.
解：考察函数xyz，不妨设x≤y≤z.固定y,则x+z=1-y(常量)，由和差积恒等式知，｜x-z｜增大时，乘积xz变小，即xyz变小。题设z≤2x，这就使得｜x-z｜不可能太大，因此，只能取z=2x，这个最小条件适用于每一确定的y值，同样，对任何确定的x值，只能取z＝2y.故xyz取最小值时应满足x=y=14，z=12，得xyz的最小值＝14·14·12＝1〖〗32.
八、数学高考的能力要求与试题特点
数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。
1.对数学知识的考查要求
对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求。
三个层次的要求如下：
(1)了解
要求对所列知识内容有初步的、感性的认识，知道有关内容，并能在有关问题中直接应用。
(2)理解和掌握
要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。
(3)灵活和综合运用
要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。
