演算能力也就是我们平时所说的计算能力,是一项基本的数学能力。演算能力指的是人在有目的的数学计算活动中能够迅速完成这一活动的个性心理特征。它不是简单的加、减、乘、除计算,而是与诸多能力有关的由低级到高级的综合能力。数学中的计算,就好比人类的语言一样,在生活实践中广泛地被运用。
演算力的训练,是头脑中缜密思维的最佳训练项目。在多样化的数字训练中,脑细胞得到了活化,潜能无形中被激发。爱因斯坦说:“创造性原则寓于数学之中。”在人类历史上,数学的探索精神帮助许多杰出人才成就了自己的事业,为人类作出了较大的贡献。数学发展到了今天,数学文化已成为现代科技文化的核心,它的形式化语言,理性主义观念,抽象的、逻辑的思维方式,已成为现代社会成员必备的素质。这种素质的高低直接关系到社会成员对事物的洞察、理解与判断能力。
现代思维、科学思维正是形象思维和抽象思维并存,相互渗透,紧密结合,合二为一的高级抽象形态,即抽象形象思维。所以,演算思维是现代科学思维的标准模式。
演算能力的培养绝非一朝一夕之事,需要在整个学习过程中进行有计划、有目的、有措施的长期培养和训练。要培养演算思维能力就要走进充满创造性的活跃思维的境界,点燃心中的火把,激发强烈的求知欲望,发挥无限的想象力和创造力。
菜鸟必修
沙漏计时
现在有10分钟和7分钟的沙漏计时器各一个。如果用这两个计时器测量18分钟的时间,采用何种方法步骤最简单?当然,在本训练中,翻转沙漏计时器的时间是忽略不计的。
答案
可以考虑把两个沙漏计时器相互翻转使用,完成总共18分钟的测量。首先同时让10分钟和7分钟的沙漏计时器开始计时。
7分钟计时器的沙子漏完的同时,将它翻转过来。
10分钟计时器的沙子漏完的同时,也将它翻转过来。
过来7。分钟计时器的沙子再次漏完的同时,不翻转7分钟计时器,而是把10分计时器翻转10分钟计时器的沙子再次漏完的时候,就是由开始到此时的18分钟。用算式表示即
为:2×7+4=18,你看出4是怎么来的了吗?
(注:沙漏又称“沙钟”,是中国古代的一种计算时间的仪器。沙漏是根据流沙从一个容器漏到另一容器的数量来计算时间的。)
思维提升
本训练摆脱了简单的数字运算,而是通过数字的组合得到结果。积极思考是开发青少年潜能最重要、最基本的条件之一。计算是一种复杂的智力活动,计算能力也是综合能力的具体体现。计算能力的培养,不仅与提高数学基础知识密切相关,而且与训练思维、培养非智力因素等也是相互影响、相互促进的。
新月弯弯
如图所示,有一个直径为5厘米的半圆形,现将其向右水平移动1厘米。你能算出移动后出现的月牙形部分(即阴影部分)的面积吗?
答案
观察一下这个图形,我们就会发现,半圆形向右平移1厘米,实际上向右侵占了长方形AA′C′C的面积,这与它平移后所形成的月牙形部分面积是相等的。因此,阴影部分的面积等于长方形的面积,即5平方厘米。
思维提升
本训练可以将大脑的图形识别能力和计算能力结合,并使大脑思维更加柔软化。处理问题时,不要单纯依靠一种思维能力,应注意将多种思维相结合。
蟠桃的数目
天宫的仙果园里,孙悟空准备把收获的蟠桃每10个一袋装好带回花果山,但是分装到最后,剩下9个。如果按9个分,剩下8个;于是孙悟空按8个分,结果多7个;按7个分,多6个;按6个分,多5个。于是孙悟空算了一下,用蟠桃总数除以5,余4;除以4,余3;除以3,余2;除以2,余1。你知道仙果园中的蟠桃至少有多少个吗?
答案
不管怎么分,总是缺一个蟠桃。所以,如果能再多一个蟠桃,那么这个数目就能被10、9、8、7、6、5、4、3、2、1除尽了。由此可以知道,这个数应该是2520(以上数字的最小公倍数)。所以蟠桃数目至少为2519个。
思维提升
在解决问题的时候,尽量不要按照固定的思维去简单理解,就像本题一样,可以让桃子的数目增加一个,这样问题便迎刃而解了。计算并不是将数字进行简单的四则运算,而是将创造性思维融入其中。
淘气的蜜蜂
有两个自行车运动员同一时间从甲乙两地出发相对骑行。当他们相距300公里的时候,有一只淘气的蜜蜂,在两个运动员之间不停地飞来飞去。一直到他们两个相遇了,它才安心地在一个运动员的鼻子上停下来。
蜜蜂是以每小时100公里的速度在两个运动员之间飞了3个小时,在这段时间里两个自行车运动员的行驶速度都是每小时50公里。蜜蜂一共飞了多少公里?
答案
蜜蜂没有停过,整整飞了3小时,所以飞了300公里。
思维提升
在做这样的题时,不要盲目进行运算,先分清主次更关键。在用数字解决问题的时候,别被复杂的数字所迷惑,分清哪些数字是无用的干扰数字,哪些是有用的,这是至关重要的,它关系到问题能否创造性地解决。
百层宝塔
如下图所示,用正方体木块堆成宝塔形,使得每相邻两层中,上层每个木块的下底面完全遮盖下层对应木块的上底面,顶层为第1层,往下顺次为第2层、第3层,等等。图中画出了最上面的4层。请问,第100层有多少木块?
答案
用a-n表示第n层木块的个数,那么从图中可以看出:
a1=1
a2=1+2=3
a3=(1+2)+3=6
a4=(1+2+3)+4=10
依此类推,得到
a100=1+2+3+…+100=(100+1)×100/2=5050
思维提升
本训练中,如果一个一个地数是不可取的,必须找出规律,总结方法。想在实际生活中得心应手地解决各种难题,就要在注意结果的同时,更注意规律和方法。这样,看似复杂的问题就可迎刃而解了。
相加求和
78, 59, 50, 121.61, 12.43, 66.50。这几个数相加的总和是多少?
A.343.73 B.343.83 C.344.73 D.387.54
答案
14641只蚂蚁。本题极具干扰性,各找来10个伙伴并不是直接乘以10。第一次:11只;第二次:11×11=121只;第三次:11×11×11=1331只;第四次:11×11×11×11=14641只。
思维提升
这种类型的思维训练题不是考查你数字相加的能力,而是锻炼你大脑思维的判断力,找到解决问题最简单的方法。要想成为一个优秀的人,每做一件事情,都要细致地从事物的各个方面去考虑,考虑后果对自己目标的影响。
齐心协力
一只蚂蚁外出觅食,发现一块面包,它立刻回洞唤来10个伙伴,可它们搬不动。然后每只蚂蚁各找来10只蚂蚁,大家再搬,还是不行。于是蚂蚁们又各自叫来10个同伴,但仍然抬不动。蚂蚁们再回去,每只蚂蚁又叫来10个伙伴。这次,蚂蚁们终于把面包抬回洞里。你知道抬这块面包的蚂蚁一共有多少只吗?
答案
本题不需要相加求和,而只需把所有数的最后一位小数相加,即可得到结果是4,而尾数是4的只有D选项,这样既快捷又准确。
思维提升
排除干扰项,抓住问题的重点。不要将思维固定在毫无意义的数字上,不要在一个问题的圈子里绕来绕去,将思路打开。从创新的角度说,思维的广度是必不可少的。在许多情境下,把思维广度扩展一下,问题就会迎刃而解了。
圆周比较
设有一个大圆,以它的直径上的点为圆心,画出几个紧密相连的小圆(如下图所示)。请你算一算,大圆的周长与大圆内这几个小圆的周长之和,哪个更长些?
答案
因为大圆的周长等于直径×π,各小圆的周长之和等于各小圆的直径之和×π,而各小圆直径之和与大圆直径相等,所以大圆的周长与大圆内部这几个小圆的周长之和相等。
思维提升
如果单凭观察,可能会得出错误结论,而稍微计算一下,通过理论分析,问题就变得直观、具体了。在思维活动中,必须练就捕捉有用信息的技能,方能按照需要,从复杂的事物中主动地搜寻、选择对解决问题有用的线索,从而为解决问题开辟道路。
沙漠拯救
9个探险者在沙漠中迷了路。他们早晨起来发现所带的饮用水只够喝5天了。次日,他们发现了一些足印,知道还有一些人也在沙漠中,于是循迹追去。当天追上以后,他们发现另外那些人已经没有水喝了。如果两批人合用这些水,只够喝3天。你知道第二批人共有几个人吗?
答案
第二批一共有3个人。9个冒险者发现但是没见到第二批人的时候,剩下的水只够9个人喝4天了。与第二批人合在一起后,水只够喝3天的,因此可知道第二批人在3天中喝的水等于9个人1天喝的水,那么第二批肯定是3个人。
思维提升
计算能力也需要你的思维条分缕析,去分析已有的条件,从这些条件中,充分理解、认识看似无关的事情之间隐藏的相关性。
回文路标
某乘客乘汽车经过一个地方,看到一个路标上的数字是:15951,他觉得很有趣。这个数字的第一个数和第五个数相同,第二个数和第四个数相同。汽车行驶了两个小时,该乘客又看到另一个路标上的数字,仍然是第一个数和第五个相同,第二个数和第四个相同。汽车两个小时一共行驶了多少公里?另一个路标的数字是多少?
答案
汽车两个小时一共行驶了110公里,另一个路标的数字是:16061。
思维提升
打开一切科学之门的钥匙都毫无疑问是问号,无论这个问题多么渺小、多么常见,无论问题的答案多么简单,但只要发现了问题,对实际有帮助或者借鉴,那便是一个壮举。
能力进阶
搬香蕉
一个小猩猩边上有100根香蕉,它要走过50米才能到家,每次它最多搬50根香蕉(多了就被压死了)。它每走1米就要吃掉一根,请问它最多能把多少根香蕉搬到家里。
答案
猩猩走1米吃一根,回1米吃一根,再走一米吃一根,也就是搬一次要走3趟。一次搬50根,那么就是50÷3≈17米。猩猩走了17米,再回去搬剩下的50根得50-17=33根再回来,然后加上17米处第一次搬的香蕉,再然后背着香蕉回家,最后结果应该是16根。
思维提升
找出数字与距离的内在关系,在计算的过程不要忘记去想象,只要找到问题的关键点,就会发现答案已明显地摆在眼前。
号码趣猜
小杰又换了新号码,他发现,有3个特点使新号码很好记:首先,原来的号码和新换的号码都是四位数字;其次,新号码正好是原号码的4倍;再次,原来的号码从后面倒着写正好是新的号码。
所以,他毫不费劲就记住了新号码,那么新号码究竟是多少?
答案
设旧号码是ABCD,那么新号码是DCBA。已知新号码是旧号码的4倍,所以A必须是个不大于2的偶数,即A等于2。4×D的个位数若要为2, D只能是3或8。只要满足:
(1)4×(1000×A+100×B+10×C+D)=1000×D+100×C+10×B+A
(2)ABCD×4=DCBA
由(2)推断,D不可能为3。
经计算可得:D是8, C是7, B是1,所以新号码是8712。
思维提升
数字是抽象的,但它涉及生活的各个方面。除了计算能力还要加强对数字规律和数字间关系的把握,通过数字间的推理得出答案。数字化的计算训练,可以让我们的思维更加严密、更加灵活。
求职薪酬
甲和乙两家公司的招聘广告上只有以下两点不同,其他的条件完全相同。从收入多少来考虑,选择哪一家公司有利?
(1)甲公司:年薪100万元,每年提薪一次加20万元。
(2)乙公司:半年薪50万,每半年提薪一次加5万元。
答案
选择乙公司有利。分析:肯定是哪一家公司的收入高就选择哪一家。为了保险起见,还是要实际计算一下年收入,以利于比较。
第一年:甲公司100万元。
乙公司50万元+55万元=105万元。
第二年:甲公司120万元。
乙公司60万元+65万元=125万元。
第三年:甲公司140万元。
乙公司70万元+75万元=145万元。
显然,选择乙公司有利,在乙公司每年多收入5万元。答案可能使一些擅长数学的人也感到出乎意料,因为他们的脑子里尽是一些抽象的数学公式。其实,这个问题并不需要那样麻烦,只要把第一年、第二年、第三年的具体收入列出来就行了。
思维提升
如果思维仍旧停在“想当然”的计算中,说明注意力被题干中的描述所吸引,思维被表面现象所迷惑。单凭直觉可能让我们的思维判断出现错误,这时拿出笔耐心算一算就会有结果。
环环紧扣
把1~8这八个数填入双环中的各个小圆中,如果填得正确,可使双环的每个环中的小圆圈里的数字相加之和都为21,如下图所示。那么,你能否把从7~14这八个数填入双环中的圆圈里,使每一个圆环中的小圆圈里的数字相加之和为51?你能不能把13~20这八个数填入圆圈里,使每一个圆环的小圆圈中的数字相加为81?
答案
(1)填数字7~14。如图:
做题时不要盲目试算。此题的关键点在于两环交汇处的两个数。这两个数用了两次。先算出7~14的所有数字之和(7+14)×8÷2=84,又因为为每圆环中小圆圈里的数字之和为51,所以,两圈之和为51×2=102,因为中间的两个数字用了两次,所以这两数之和为102-84=18。这样,在7~14的所存数中找出相加等于18的数8和10或7和11,问题就迎刃而解了。
(2)填数字13~20。如图:
思维提升
事物并不是独立存在的,而是彼此相互关系,本题的关键点就是重复利用的两个数,忽视了此点,问题就不能快速解决。在解决问题的过程中,抓住问题的关键极为重要,它可以找出搜寻线索,抓住关键的思维方向,使解决问题的思路得到实质的改变,并且按照事物发展的新情景,客观、合理、准确地解决问题。
常客人数
某商店服务生在回答“常来顾客人数”时,这样回答:“我这里的常客有一半是事业有成的中年男性,四分之一是上班族,七分之一是在校的学生,十二分之一是警察,剩下的四个则是住在附近的老太太。”请问服务生所谓的常客究竟有多少人呢?
答案
假设常客的人数为“X”,则可列出以下公式:
X=X/2+X/4+X/7+X/12+4
求解X, X=168,所以服务生所谓的常客是168人。
思维提升
