[内容提要]同余式：趣味与数学—“物不知数”与天文实用—化入《镜花缘》里的算题—《九章算术》与代数传统—增乘开方与高次方程—朱世杰：中国数学第一人—机器证明：伟大的遗产—破“盖”而出的球体积—代数：实用造就的辉煌
●天文历算，如此称呼，是否说明在中国传统中历法和数学是不可分的？
〇是的。与对天象的好奇一样，我们祖先对“数”也始终充满着兴致。
北宋邵雍的数字趣味诗《山村》：
一去二三里，烟村四五家。
亭台六七座，八九十枝花。
我这里还有一首古诗：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；
七子团圆正月半，除百零五便得知。
猜猜看，这首由数字组成的诗，是干什么用的？
●可能……是解某个题的方法吧。
〇这是《孙子算经》中一道题的解法口诀：
今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。
这道看似不起眼的题目，其实涉及一个深奥的数学领域——一次同余式。由此，举世闻名的“中国剩余定理”诞生了。
伟大的中国剩余定理
●一次同余式、中国剩余定理，这是怎么回事？
〇我们且看其解法吧。
用现代符号表示，就是求满足同余式：
N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）
的最小正整数N。上式中的mod即“模”，“除以”的意思，2（mod3）即N被3整除后所得的余数为2，其余依次类推。
《孙子算经》的解法是N=2×70 3×21 2×15-2×105=23.其根据是：70=2×5×7≡1（mod3），21=3×7≡1（mod5），15=3×5=1（mod7），105=3×5×7.因此，《孙子算经》的解法完全符合德国大数学家高斯1801年在其《算术探究》一书中写出的一次同余式定理。而且，虽然《孙子算经》之后秦九韶的解法和概括走了一些弯路，但也基本上得出了比他晚约600年高斯的同样结论。
因为“物不知数”问题颇有猜谜的趣味，其解法也极其巧妙，所以在我国民间流传很广，并被冠以“韩信点兵”“秦王暗点兵”“剪管术”“鬼谷算”等各种趣名，成为人们娱乐和益智的题目。
直到19世纪上半叶，西方对中国古代数学一无所知。高斯得出一次同余式的一般解法后，被西方命名为“高斯定理”。1852年，英国传教士伟烈亚力才将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出《孙子算经》的解法符合高斯定理，从此西方便将这一定理称为“中国剩余定理”。
●这岂止妙趣，简直太伟大了！好像千古名题“鸡兔同笼”，也是出自《孙子算经》吧？
〇不错，《孙子算经》记载：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
这道题看似简单——当然是对于列方程而言，其实蕴含着许多巧思。如果不用布列方程和排除试根——即“蒙”的方法，怎样求解？
我们看看原书是怎样求解的。假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，那么这些鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。如此，独脚鸡和双脚兔的脚就由94只变成47只。显然，之所以这47只脚比35个头多，是由于有双脚兔存在，而非全部是独脚鸡，换言之，只要有一只双脚兔，就会比头多出1.因此，这多出的脚数47-35=12，就是兔子的数量；当然，剩下的就是鸡的数量了。
其实，这种思路就是在巧妙地求解方程。不信你试试。
●不过，我总觉得这巧妙的背后似乎蕴藏着某种深奥，具体是什么，我一时还说不上来。
〇你的直觉很好。的确，这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法，就是在解决问题的时候，先不对问题采取直接的分析，而是将条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已知的问题。
叫人拍案的是，“鸡兔同笼”问题本身就是一只会下“金蛋”的“鸡”。如用试猜的方法，比如20只鸡、15只兔子，则有100只脚，这肯定是兔子多
了；那么，假设25只鸡、10只兔子，则有90只脚，这无疑是鸡多了……如此，往中间不断地“挤”，便可“试”出答案来。这看似“瞎猫碰死耗子”的方法，其实就是近代应用数学中的“误差法”。对于复杂多变的问题，试根是一种可取的选择。特别是根据错误来调节以后的试猜，减少误差，从而尽快逼近真值。
这在事实上已经有了变量——或牛顿“流数”思想的萌芽。而变量，是近代数学的先声。正如恩格斯在《自然辩证法》中所说：
数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
●真了不起。那么，《孙子算经》中的这两个问题，是凭空冒出来的，还是实际的折光？
〇《孙子算经》问题，不是空穴来风、心血来潮或向壁虚造，而应当是现实需要的反映。
譬如，“物不知数”很可能是中国古代天文学实践结晶的一个缩影。
中国古代历法，大多取理想时刻为历元：某年十一月甲子日夜半，正好是朔和冬至，而且又是月过近地点（即月行速度最快的点）的时刻，等等。这样的理想时刻，通常离开历法行用的年份都十分遥远，这种历元称为上元，而从上元到本年所经过的年数则叫上元积年。
为了求得上元积年，就必须求解一次同余式组。譬如，设a为回归年日数，R 1为本年冬至距甲子日夜半的时间，b为朔望月日数，R 2为冬至距十一月朔的时间，那么，上元积年X满足下列一次同余式组：
aX≡R 1（mod60）≡R 2（modb）
式中的a、b、R 1、R 2都不是整数，而是带有分数的数，在用剩余定理求解之前，必须用它们的共同分母遍乘上述同余式，使所有数字都化为整数。同余式的求解，工作量十分繁重。
这还没有将“某年十一月甲子日夜半”“朔”“冬至”与“月过近地点”耦合在一起！如果上述四者耦合，再有五大行星“客串”，那么就增加了7个同余式，求上元积年的计算工作就更加艰巨。
早在西汉末年刘歆编制《三统历》时就已引入了上元概念，并实际计算了《三统历》和古四分历的上元积年；而祖冲之《大明历》所计算的上元积年则将上述条件均已考虑在内了。
所以，《孙子算经》“物不知数”问题，很可能是依据当时天文学求上元积年的算法实践简化出来的一个例题。
至于“鸡兔同笼”问题，更是有着大量实际应用的坚实基础，甚至还入选了小说故事。
我国古典小说名著《镜花缘》里有一则故事，才女米兰芬与众姐妹在宗伯府聚会，来到小鳌山楼上观灯。只见楼上楼下挂满灯球，五彩缤纷，宛如列星，高低错落，一时竟难辨多少。楼上的灯形状有两种，一种是上面三个大球下缀六个小球，一种是上面三个大球下缀十八个小球；楼下的灯也有两种，一种是一个大球缀二个小球，一种是一大球缀四个小球。已知楼上有大灯球396个、小灯球1440个，楼下有大灯球360个、小灯球1200个。众人要米兰芬算算，楼上楼下四种灯各有多少盏。
只听米兰芬从容说道：以楼下论，将小灯球数折半，得600，减去大灯球数360，即得缀四个小灯球的灯数为240，用360减240得120，可得缀两个小灯球的灯数为120；同理可算楼上灯数，1440折半得720，720-396=324，324÷6=54，得缀十八个小灯球的灯数为54，用396-54×3=234，234÷3=78，即缀六个小灯球的灯数为78.
众人将信将疑之间，有人拿来做灯的单子来念，果然丝毫不差。众姐妹都称她为神算。
其实，米兰芬只是活用了“鸡兔同笼”的解法而已。不过，对于一位封建女子来说，倒也不愧是冰雪聪明了。
●“物不知数”“鸡兔同笼”等问题的问世流传，是否在某种意义上说明了中国数学的实用性？
〇可以这么说。其实，《孙子算经》之前的《九章算术》就已经确立了中国数学的实用性、经验性的传统。
《九章算术》的历史影响
●您能具体介绍一下吗？
〇好的。《九章算术》是我国古代最重要的一部算书，它对中国数学的影响，恰如《几何原本》之于西方，极其深远。
《九章算术》，是我国秦汉数学家历时一二百年之久的智慧结晶，汇集了当时数学研究的主要成就，至迟在公元1世纪时就形成了流传至今的定本。此后一千多年间，《九章算术》一直是我国的数学教科书，甚至曾经是朝鲜和日本的教科书。书中不少题目，后来还出现在印度的数学著作中，并且传到了中世纪的欧洲。已被译成日、俄、德、英、法等多种文字，在世界流传。
《九章算术》是以应用数学问题集的形式编写的，共收集246个问题及其解法。按性质分类，每类一章，计有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章，故称《九章算术》。
《九章算术》所收数学问题均从实际应用中提炼而来，充分反应了中国古代数学的实用性和经验性。
只需看一下内容就可明了。第一章“方田”介绍各种形状的田亩面积的计算，同时系统叙述了分数的计算方法；第二章“粟米”，介绍比例问题，特别是各种谷物间的比例交换；第三章“衰分”，比例分配；第四章“少广”，开平方、开立方、开立圆；第五章“商功”，土木工程中的数学，主要是立体体积的计算；第六章“均输”，如何按人口多寡、路途远近、谷物贵贱以合理摊派捐税徭役的计算问题；第七章“盈不足”，介绍一种叫做“盈不足术”的数学方法，多与商业问题有关；第八章“方程”，线性方程组的系统解法，其中又提出了正负数概念及其加减运算法则；第九章“勾股”，勾股定理及其应用，还有一般二次方程的解法。
所以，《九章算术》堪称应用数学集大成的巨制，举世罕有其匹。
●《九章算术》中，有具体的“世界之最”的成就吗？
〇不仅有而且很多，简直就是一个系列。
（1）分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则，印度在7世纪才出现，欧洲就更迟了，比中国晚了一千四百多年。中世纪的欧洲作整数四则运算就够为难了，作分数运算更是“难于上青天”。西方有句谚语，形容一个人陷入困境，就说他“掉进分数里去了”。
（2）引进和使用负数，明确提出正负数，并给出加减法则，与现今代数法则完全相同。而且，在解线性方程组时，实际上还施行了正负数的乘除法。负数概念的提出，是人类关于数的概念一次意义重大的飞跃。在印度，直到7世纪才出现负数概念，欧洲则到17世纪才有人认识到负数概念，甚至19世纪的欧洲也还有数学家认为负数没有实际意义。
（3）开平方、开立方程序与今天基本一致，是世界上最早的多位数和分数开方法则，奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。
（4）提出联立一次方程即线性方程组概念，并系统总结了解法。采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于今天的矩阵。解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致，是世界上最早的完整线性方程组的解法。在西方则要等到17世纪才出现。
（5）提出整套的比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
（6）勾股问题的通解公式，比西方领先了3个世纪。
（7）“盈不足术”也是一项杰出创造。用两次假设，把一般的方程化为盈不足问题，用“盈不足术”求解。这种方法，可能在9世纪时传入阿拉伯，13世纪时又由阿拉伯传入欧洲。意大利数学家斐波拉契最先向欧洲介绍了这种算法，并称为“契丹算法”，即“中国算法”。
凡此种种，奠定了中国数学直到14世纪初在世界上的领先地位。
●以《九章算术》看来，中国数学在代数方面的成就较之几何似乎更为辉煌？
〇是的。就是几何，中国古代也是侧重于实际应用，看上去也是代数的计算，而不大像欧几里德那样的纯粹逻辑推演，更没有形式公理化的体系。
有史家认为，古希腊偏爱几何而拙于代数，是因为遭致无理数危机以及芝诺悖论——“阿基里斯追不上乌龟”等的冲击，对代数的可靠性产生动摇，从而转向有图可征的几何。代数题要么用几何学的方法来解，要么用言语的推理来解。
但我以为，问题还有另一方面，那就是西方疏离实际而偏向抽象的传统，在成就了演绎的《几何原本》的同时，也丧失了应用的代数的《九章算术》。正所谓，“鱼和熊掌，不可兼得”。
中国以应用计算为特征的代数之所以异常发达，还与两件数学“利器”分不开，那就是筹算和十进位值制。
●什么是筹算，什么是十进位值制？
〇筹算，是中国古代特有的计算方法，即用算筹这种计算工具来进行的计算。所以，数学家就被称为“畴人”。用算筹记数，有纵式和横式两种表示，从1到9的方式：
负数出现后，算筹便分为两种，红筹表示正数，黑筹表示负数。“筹”，即小竹棍或小木棍，也有用骨、玉、牙或金属材料制成的。《说文解字》说：
长六寸，所以计历数者，从竹、弄，言常弄乃不误也。
算数也，从竹、具，读若。
算筹，很早就与十进位值制结合在一起，即表示一个多位数字时，各位值的数字从左到右排列，纵横相间，并以空位或□表示零。十进位值制，被马克思誉为“最妙的发明之一”。这样，算筹不仅可以轻松地用以计数，而且还能便捷地用来计算，所谓“运筹如飞”者是也，境界更高者便是“运筹帷幄”，乃至老子所言“善数不用筹策”。
筹算与十进位值制的完美结合，是中国古代数学尤其是代数异常发达并能机械化或程式化的重要原因。筹算，在15世纪逐渐演化为更趋完善的计算方式——珠算，直到晚近，珠算还在某些方面堪与计算机一争短长。
●十进位值制竟这样优越？如果不是十进或位值制呢？
〇十进，是以人自身的天然计数工具——双手为依据的，所谓“屈指可数”，“二五之为十”。同时也只有从零到九10个不同数码，简单易行。
与古代其他民族相比，十进位值制的优越性是显而易见的。譬如，古罗马的数字系统没有位值制，只有7个基本符号——I（1）、V（5）、X（10）、L（50）、C（100）、D（500）和M（1000），计数采用“重复几次”“右加左减”以及“加一横线”（或右侧加m，表示是原数的1000倍）等法则。如要记稍大一点的数目就相当繁难，像386表示为C C C L X X X V I，既繁琐冗长，又没法对位，自然影响计算；又如，美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位。古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则至少需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码的十进位制来得简捷方便。
正是有了算筹和十进位值制，我们祖先才能较轻松快捷地进行计算。譬如，祖冲之从圆内接正六边形开始一直算到内接正24576边形的边长，从而得出圆周率的值介于3.1415926到3.1415927之间，其间不知要用勾股定理反复进行除加减之外的乘方、开方多少次。试想，要是没有算筹和十进位值制，如此大的计算工程猴年马月才能完成。
古代数学明珠知多少
●我又一次为我们祖国曾经的辉煌而无比自豪。中国古代在代数上还有哪些伟大成就？
〇北宋贾宪首创二项式展开式系数的“贾宪三角”，后经杨辉介绍发扬又称“杨辉三角”，比西方所称的“巴斯卡三角”要早600多年；又创“增乘开方法”，即求高次幂的正根法。而意大利的鲁菲尼和英国的霍纳，则是在1804年和1819年才分别得到求解数字高次方程近似根的方法，虽其演算步骤与贾宪基本相同，但却晚了700多年。
增乘开方法，相当于用随乘随加的方法求出减根后的新方程。这种方法，程序整齐，运算简捷，既可直接推广到任意高次幂的开方，又能运用到求任意高次方程的数值解。
譬如，元代朱世杰就用增乘开方法求解了最高14次方的方程，其现代形式可写成：
1152-768x-640x2 1792x3-384x4-9008x5-19112x6-8799x7-8975x8 12637x9 2030x10-19168x11 22292x12-11112x13 2006x14=0
这可能是当时世界上次数最高的方程。
●记得朱世杰好像写过一本叫《四元玉鉴》的数学著作，因而被推举为中国古代水平最高的数学家，是这样的吗？
〇是的。正是荡起十进位值制与筹算这两柄有力的“双桨”，中国数学终于在宋元迎来了高潮，涌现了“数学四大家”，而朱世杰更是大家中的大家，是中国以筹算为工具的古代数学大家。特别是四元术和垛积招差术，是具有世界意义的数学成就。
对此，伟大的科学史学之父美国乔治·萨顿（1884～1956）曾评价说：
朱世杰是属于汉民族及他所生存的时代的，同时也是古今数学史上最杰出的一位数学家；《四元玉鉴》是中国数学写作中最重要的一部，同时也是中古最出色的数学著作之一。
如果用x、y、z、u表示4个未知数，则四元术筹式可如下图示意：
这就是四元方程，也是四元多项式的表示法。原则上，该图可在上下左右4个方向做无限的拓展。这种方法，显然是中国古代位值制记数法的又一次新发展。
四元式的加减法，以常数项为准，将其余相应各项相加减即可；四元式的乘除法，以未知数的整次幂乘除，将整个四元式上升下降、左右进退即可。以四元式中某行乘另一四元式，等于将该行各项分别乘以另一四元式之后所得诸四元式之和。四元式乘四元式等于以一式各行乘另式所得诸四元式之和。这是中国也是世界数学史上最早出现的关于多项式的运算。
对于多元高次方程组，四元消法是一套完整的一般性消解未知数的程序，是朱世杰的伟大创造，也代表了当时世界方程组理论的最高水平。
朱世杰的四元消法，成为今天吴文俊机器证明的代数基础和思想先驱。将多元方程组化归为一元方程，是实现数学机械化的关键。欧洲更系统的消元法研究虽然出现于18世纪末，但迄今为止还没有完整的求解非线性多项式方程组的方法，目前世界上唯一完整的方法当推我国数学家吴文俊在20世纪80年代发现的三角化整序法，国际上称为“吴方法”。
●真了不起。那什么是朱世杰的垛积招差术呢？
〇站在前人，尤其是沈括、杨辉、郭守敬的肩上，朱世杰已然掌握了如下一串三角垛的美丽求和公式：
1.茭草垛（等差数列）
1 2 3 …… n=Σr=n（n 1）/2！
2.三角垛（二阶等差数列）
1 3 6 …… n（n 1）/2=Σr（r 1）/2！
=n（n 1）（n 2）/3！
3.撒星形垛（三阶等差数列）
1 4 10 …… n（n 1）（n 2）/3！
=Σr（r 1）（r 2）/3！
=n（n 1）（n 2）（n 3）/4！
4.三角撒星形垛（三阶等差数列）
1 5 15 …… n（n 1）（n 2）（n 3）/4！
=Σr（r 1）（r 2）（r 3）/4！
=n（n 1）（n 2）（n 3）（n 4）/5！
5.三角撒星更落一形垛（五阶等差数列）
1 6 21 …… n（n 1）（n 2）（n 3）（n 4）/5！
=Σr（r 1）（r 2）（r 3）（r 4）/5！
=n（n 1）（n 2）（n 3）（n 4）（n 5）/6！
从中不难看出，前垛的求和结果恰是后垛的一般项，即前垛的各层累计的和恰好是后垛中的一层，所以，朱世杰常将后一种垛积称为前一垛积的“落一形垛”。这串公式可用一个公式表达，即：
Σr（r 1）（r 2）……（r p-1）/p！
=n（n 1）（n 2）……（n p）/（p 1）！（A）
以上一串三角垛公式，恰是公式（A）当p=1，2，3，4，5时的情形；而且，公式（A）及其当p=1，2，3，4，5……时依次展开式——以上一串三角垛公式，还与“贾宪三角”的二项式展开式系数之间，存在着深刻的对应关系。
这些公式中，左侧求和各项恰好依次是上图中第p条斜线上的前n项数字，而各式右侧的结果又恰是第p 1条斜线上第n项数字。第p条斜线上的第r个数目，可用r（r 1）（r 2）……（r p-2）/（p-1）！表示，而第p 1条斜线上的第n个数则可用n（n 1）（n 2）……（n p-1）/p！表示。也就是说，“贾宪三角”所显示的这种性质，恰好就是公式：
Σr（r 1）（r 2）……（r p-2）/（p-1）！
=n（n 1）（n 2）……（n p-1）/p！
也许，朱世杰已经注意到二者之间的这种联系，因为《四元玉鉴》书中专门记载有“贾宪三角”，而此前也仅有杨辉书中有记载。
除以上公式（A）之外，朱世杰还掌握了以下公式，即：
Σr（r 1）（r 2）……（r p-1）·r/p！
=n（n 1）（n 2）……（n p）[n（p 1） 1]/（p 2）！（B）
当p=1时称为四角垛，即
Σr·r=n（n 1）（2n 1）/3！
当p=2时称为岚峰形垛，即
Σr（r 1）·r/2！=n（n 1）（n 2）（3n 1）/4！
当p=3时称为三角岚峰形垛，即
Σr（r 1）（r 2）·r/3！
=n（n 1）（n 2）（n 3）（4n 1）/5！
自然，《四元玉鉴》中还有一些其他类型的垛积问题。
由于掌握了公式（A）、（B）以及一串三角垛的公式，使得朱世杰有可能超越前人，提出高次招差法公式，从而有可能一举解决任何一类高阶等差级数的求和问题。
《四元玉鉴》“如象招数”门最后一问中，提出了一个需用四次差（即四次差相等，五次差为0）的招差问题：
或问……以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺……今招十五日……问招兵……几何？
设日数为x，f（x）为累计至第x日的招兵总数，则逐日招兵数为△f（x）=（x 2）3，现在分别计算当x=1，2，3，4，……日时，f（x）的值以及f（x）的逐级差分如下：
f（初日）f（二日）f（三日）f（四日）f（五日）f（六日）……
即初日逐差为：上差（△1）=27，二差△2=37，三差△3=24，下差△4=6.朱世杰在求累积至第n日招兵总数时，解法为：
求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六。求兵者，今招为上积，又以今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积为三积，又今招减三为三角落一积为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。
即：
上积=n
二积=以（n-1）为茭草底子的茭草垛的积
=n（n-1）/2！
三积=以（n-2）为三角底子的三角垛的积
=n（n-1）（n-2）/3！
下积=以（n-3）为三角落一底子的三角落一形垛的积
=n（n-1）（n-2）（n-3）/4！
“以各差乘各积，四位并之”，即相当于给出了招差公式：
f（n）=n△1 n（n-1）△2/2！ n（n-1）（n-2）△3/3！
n（n-1）（n-2）（n-3）△4/4！
这一公式，在形式上与现今通用的表达式完全一致。朱世杰正确指出，招差公式中各项系数恰好依次是各三角垛的积，这正是其突出贡献。由此不难推断，朱世杰是可以将其推广至任意高次的高阶等差级数以及招差问题上去的。
这样，招差术在通过郭守敬等人的工作之后，最后由朱世杰推至更完美的境地。朱世杰在中国以至世界数学史上首次正确列出高次招差公式。而在欧洲，首先对招差术进行研究的是格列高利（1670年），在牛顿的著作中（1676年，1678年）才出现了招差术的普遍公式。这些都比朱世杰晚了近四百年。
●这一系列的成就证明了我国古代数学取得了辉煌的成就。但我想问，代数之外，中国古代几何还有值得称道之处吗？
〇当然有。且不论《墨经》中系统严格的概念定义，譬如，“平，同高也”，即同样的高度称为“平”，这与欧氏几何“平行线间的公垂线相等”意思相同；“同长，以正相尽也”，两物比较，一一对应，完全相等，称为“同长”；“中，同长也”，这里的“中”，指图形的对称中心，即中心是与其表面距离都相等的点；“圆，一中同长也。”这一定义，与欧氏几何圆的定义一致；“方，柱隅四也。”即四个角都为直角、四条边长度都相等的四边形是正方形，与欧氏几何正方形定义相同；“直，三也。”即三点共线为直线。后来刘徽《海岛算经》便是应用三点共线来测高和测远的，汉以后弩机上的瞄准器“望山”也是据此发明的……
关于球体积公式，古希腊阿基米德指出：“以球的大圆为底，以球直径为高的圆柱（即球的外切圆柱）的体积与全面积分别是该球的体积及面积的一倍半。”遵循阿基米德的遗愿，人们将球与其外切圆柱刻在他的墓碑上，可见球体积公式对阿基米德的重要。
我国魏晋时的刘徽也对球体积作了研究，得出结论：球体积等于相应牟合方盖体积的π/4倍。
●“牟合方盖”，挺新鲜的，这是什么样的一个形状？
〇牟合方盖，看似古怪，其实就是两个底半径等于球半径的圆柱垂直相交而得到的公共部分，因为看上去好像两把上下对称的正方形雨伞，所以取名“牟合方盖”。
显然，牟合方盖与其内切的球体如被水平横切，所得的图形均是正方形和内切圆，所以，牟合方盖与内切球体之比就是正方形与内切圆面积之比4/π。
现在只要求出牟合方盖体积就行了，可惜刘徽未能求得。但刘徽却极谦逊和坦荡，留下一句名言：“敢不厥疑，以俟能言者。”意思是，我解决不了，留待后起的能人吧。
这一等就是两百年，是祖冲之之子祖解决了这一问题。
设OP=h，过P点作平面PQRS平行于OABC。设内切球体半径为r，则OS=OQ=r，由勾股定理得PS=PQ=√r2-h2，故正方形PQRS面积为（r2-h2）。也就是说，水平切面是一个常量r2和一个变量h2之差。还原到所对应的立体，这1/8牟合方盖的体积，就是等高（r）且任一水平截面分别为r2和h2的两个立体之差。这就是著名的“祖公理”：“缘幂势既同，则积不容异。”
显然，前一个立体是边长为r的正方体（体积为r3），而后一个立体就是当年刘徽已证明出的“阳马”——即以边长r的正方形为底而高也是r的正方锥（体积为1/3r3）。这样，整个牟合方盖的体积就是8（r3-1/3r3）=16/3r3，所以，球体积就是π/4个牟合方盖体积，即4/3πr3.
●同样是球体积公式，从中能看出中西的某些不同吗？
〇虽然中国得出球体积公式较古希腊阿基米德要晚，但二者却有着异曲同工之妙。而且，“祖公理”是独立提出来的，内容也较丰富，问题也要复杂，不能不说是一项杰出的成就。
●中国古代几何学的辉煌，是否还有其他表现？
〇譬如，刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”这一圆面积公式时，从内接正六边形起割，依次得到内接正12、24、48、96……正多边形，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，认为割到最后就可得到一个与圆重合的正无穷多边形。这可视为中国古代极限思想的佳作。两百年后的祖冲之，就是用割圆术割到正24576边形，从而得到了当时世界上最精密的圆周率数值。
割圆术，也蕴含着中国古代数学实用性的鲜明特色。一方面，刘徽对经验直观颇为倚重，其割圆术可能受到司马迁“汉兴，破觚而为圆”之说的影响，而实物原型就是工匠把带有棱角的原材料加工所成的圆形。另一方面，割圆术自创生之日起，就与代数计算如求圆周率等融会起来。中国传统数学的几何代数化的实用倾向，对后世影响是深远的。同时还有一个表现就是，往往只列出代数方程，而隐藏或忽视背后的几何机理，久而久之，不免成为“只知其然，不知其所以然”的板数死理。广而言之，重应用、轻理论的特点，或者说“只可意会，不可言传”，是中国古代科学缺乏继承和连续的一大要因。
●是的，这或许就是为何中国数学会在宋元的高潮之后迅速跌入明代的谷底的原因。
〇譬如，隋刘焯等间距二次内插法，还有唐一行发展出的不等间距二次内插法，就公式看起来，似乎很复杂，但若能诉诸几何图形，就简单、直观和明了了。
又如，为从已知太阳位置的黄经度数求其赤经度数和赤纬度数，即黄赤道坐标的换算，王恂、郭守敬《授时历》创“弧矢割圆术”——顾名思义，是刘徽、祖冲之割圆术的发展，利用勾股定理、沈括“会圆术”公式，正反往复求解，包括由联立方程组化简成的一元四次方程，计算十分浩繁，而且还是近似计算。如果能采用西方的球面三角方法，就简单得多也精确了不少。
●真是，“福兮，祸之所伏”呀。是否可以这样认为，中国古代代数计算发达的同时，也在某种意义上局促了几何简单性、晓畅性的探索了？
〇可以这么说。中国古代数学的辉煌及其不足，其实较好地折射了中国科学的特质和命运。当然，这中间还有许多值得思考的地方。
