西尔是一位到美国寻求发财之道的英国青年。一次，他找到了刑事专家比克博士，从自己的公文包中取出一支钢笔和一张人物素描。“太像莫瑞安的作品啦！”比克吃惊地说。“一点不错，正是他的作品。全世界都知道这位大画家3 年前死于阿拉斯加，但关于他死时的情况从未披露过。我和他的生前好友汤姆进行了艰难的谈判，他才肯对我吐露真情。”西尔说。
“情况是这样，”西尔又说，“莫瑞安在途中遇到暴风雪，摔坏髋关节，可恶的大雪还掩埋了画家的画具和食品，一连几天气温均在零下几十度。由于他的伤势越来越重，汤姆背着他找到一个废弃的简陋木屋，用自己的两只手套把窗上的破洞堵好。莫瑞安预感到自己挺不多久，便把朋友叫到身边，让他找点画具，汤姆在一个橱中找到一支旧钢笔和一瓶墨水，莫瑞安匆匆画了一张素描后就死了。画家死后，他的作品价格暴涨，而这幅素描至少也值25 万，不过我可以用20 万把它从汤姆手中买过来，”西尔接着说：“你有20 万吗？”“这张素描就是要25 分我都不买。”比克说。难道这不是莫瑞安的遗作吗？
这确实不是莫瑞安的遗作。西尔说“莫瑞安能在零下几十度的环境下用墨水笔作画”，那么，由此可知“有的人能在严寒下用墨水笔作画”，即断定了一类事物中有些对象具有某种性质，这是一特称肯定判断。但比克根据经验得知，“任何人都不能在严寒下用墨水笔作画”（墨水会冻结），它断定了一类事物中所有对象都不具有某种性质，这是与上述判断主项、谓项相同，但量项、联项不相同的全称否定判断。可以看出，二者的断定恰好是相反的。如果“任何人都不能在严寒下用墨水笔作画”真，则“有的人能在严寒下用墨水笔作画”是假的，而如果“任何人都不能在严寒下用墨水笔作画”假，则“有的人能在严寒下用墨水笔作画”为真。反之亦然。就是说，二者是不可同真，不可同假的关系，逻辑上称之为矛盾关系。同样，全称肯定判断与特称否定判断之间也是矛盾关系。比克既然知道全称否定判断真，显然可知特称肯定判断为假，即并非“有的人能在严寒下用墨水笔作画”，西尔是在撒谎。
由于矛盾关系的判断真假相反，由一真可知另一假，所以，在生活中人们常常利用判断间的矛盾关系进行反驳。据说，王安石曾写了一本《字说》，认为从每个字的结构就可看出字的意义，如“从”表示一个人跟着另一个人，一匹马跑进门里是为“闯”。有一次，苏东坡问王安石：“‘坡’字如何表示它的意义？”王安石答：“坡是土的皮呀！”苏东坡说：“那么，滑就是水的骨头啦！”王安石无法自圆其说。苏东坡又问他：“‘鸠’字是九鸟组成，不知有何根据？”王安石一时无法回答，苏东坡就替他解释：“《诗经》上不是有‘鸣鸠在桑，其子七兮’吗？既然鸠有了七个孩子，连爸带妈加起来正好九个，刚好合成‘鸠’字。”王安石听了说有道理，继而一想才知苏是在跟他开玩笑。刘贡父也曾向王安石提出疑问：“野鹿比牛跑得快，而牛比野鹿粗大，但造字的时候为何三只鹿叫麤（旧体‘粗’），而以三头牛为犇（通‘奔’）呢？”当然，王安石也解释不了。本来，有些字可以从其结构看出其意义，但王安石得出的却是全称肯定判断“所有字都可从其结构看出其意义”。苏东坡和刘贡父举出一些例证，说明“有的字从其结构看不出其意义”这一特称否定判断为真，王安石的判断也就被驳倒。
矛盾关系只能适用于同一主、谓项的性质判断。例如，“所有金属能导电”与“有的金属不是固体”并非矛盾关系，因为二者的谓项不同。又如，学生甲说：“我看了初二·三班的考试成绩，所有的学生都及格了。”学生乙则反驳说：“我也看了他们的成绩，有的学生没及格。”二人争得面红耳赤，最后才知道，甲说的是语文成绩，而乙说的却是英语成绩。由于“所有人的考试成绩都及格了”与“有人的考试成绩不及格”中“考试成绩”指的并不是同一对象，因而主项不相同，这也不是矛盾关系，二者可能同真。有时，由于时间、地点的变化，矛盾关系也可能不再成立。如“我们班有人去看电影了”与“我们班没有人去看电影”貌似矛盾关系，但假如一个说的是昨天晚上，一个说的是今天，可能两判断都对。
以前，一个懒人存有一大瓮米。
一天，他想道：“我将卖掉这些米，并买来尽可能多的小鸭。这些鸭长大后会下很多蛋。
等到我把鸭和蛋卖了，再买来许多猪。当这些猪长大的时候，便会生许多小猪。那时我再把它们卖了，买回一些水牛。有了水牛，就会有许多小水牛。如果我把它们卖了，我就有钱买一块地。有了地，便可以种稻米、甘蔗和谷物。有了收成，我还可以买更多的地。再经营几年，我就能够盖上一幢漂亮的房子。”
“等我盖好房子，我就娶一个世上最美的女人做妻子。”“那时，我是多么的富有，多么的幸福啊！”懒人兴奋得手舞足蹈，不小心踢破了瓮，米倾落在肮脏的地面上。此时，邻居的一大群鸭蜂拥而来，把地上的米啄食精光。小鸭、猪、土地、房子和美丽的女人，一切的一切全都成了泡影。留给这个懒人的只是一只破了的瓮。尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却颇值称道。
接下来我们研究一下懒人是怎样进行一连串推理的。
他从自己有的一瓮米开始，提出命题：“如果有米，那么可以卖掉米，买来尽可能多的小鸭”。简记为：“若有米，则有鸭”。这实际上是关于“有米”者的一个命题，不论这有米者是谁。所以是个大前提。
这个人提出的第二个命题是：“我有一瓮米”，这是小前提。如果上述两个前提为真，那么推出的结论一定不假。用P 代表“有米”，Q 代表“有鸭”，于是有：
“大前提”P→Q，若有米，则有鸭。
“小前提”P，我有一瓮米。
“结论”Q，那么我有尽可能多的鸭。
懒人接下去的推理是：
“大前提”若有鸭，则有蛋。
“小前提”我有鸭。
“结论”我有蛋。（我的鸭会生蛋）
“大前提”若有鸭和蛋，则有猪。
“小前提”我有鸭和蛋。
“结论”我有尽可能多的猪。
上面这些都是演绎推理的简单例子。这种由大前提、小前提和结论三部分组成的演绎推理方法，称为“三段论”。在三段论法中，如果我们承认P→Q 是真实的，而由此推得的逻辑上的合理结论，可以写成：P→Q P /Q
如果P、Q 是经验命题，那么复合命题P→Q 真实与否就不得而知。若要说明不成立，只需举出一个反例就够了。例如“凡是鸭都会下蛋”，“若有鸭和蛋，则有猪”，这些经验命题都未必是成立的。这正是懒人悲剧之所在。而懒人的演绎推理方法，却是无可指责的。
如果P、Q 是分析命题，例如P 是“乘法交换律m·n＝n·m”，Q“5·3＝3·5”，对于规定的“数”和“乘法”，要么两者都成立，要么两者都不成立。如果我们同意前一个命题，我们也就必须同意后一个命题。复合命题P→Q 在这种意义下被认为是真实的。
今天初中课本上讲的平面几何都是在公理的基础上通过科学的演绎，建立起来的。
下面我们看一看如何通过演绎的方法，证明“三角形内角和等于180°”。
（1）“大前提”：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
“小前提”C 是直线AB 外一点。
“结论”存在唯一直线CD∥AB。
（2）“大前提”两直线平行，同位角相等。（定理）
“小前提”CD∥AB
“结论”（同位角）∠1＝∠4
（3）“大前提”两直线平行，内错角相等。（定理）
“小前提”CD∥AB
“结论”（内错角）∠2＝∠5
（4）“大前提”若是平角，则等于180（定义）
“小前提”∠3＋∠4＋∠5 为平角
“结论”∠3＋∠4＋∠5＝180°
（5）“大前提”在等式中，一个量可以用它的等量来代替。（公理）
“小前提”∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4＋∠5
“结论”∠1＋∠2＋∠3＝180°（即为所证）
在实际运用中，三段论时常采用省略式。对于大前提不说也明白的情形，可以省去。
例如：“在△ABC 中
∵AB＝AC“小前提”
∴∠B＝∠C”“结论”
这里省略的大前提：“等腰三角形底角相等”是众所周知的。
在小前提内容和大前提联系极为明显，或结论可以必然推出时，相应的小前提或结论也可以省略。
例如：甲、乙两人相遇，甲说：“我从来不给傻子让路！”乙反唇相讥说；“我可恰恰相反。”甲的三段论是：
“大前提”我从来不给傻子让路。
“小前提”（你是傻子）。
“结论”（我不给你让路）。
乙的三段论是：
“大前提”我可恰恰相反。（即我只给傻子让路）
“小前提”（你是傻子）。
“结论”（我给你让路）。
虽然甲和乙都是只讲了大前提，但由于是当面对话，且又辅以一定动作，所以小前提和结论都省略了。当然，省略式必须运用得当，否则便会隐藏某种错误。例如有时我们会听到学生这样评论考试，说是：“今天题目很难，因此我考不好”。初听起来，不觉得有毛病，其实这里隐藏了一个错误的大前提：“如果题目很难。那么一定会考不好”。所以初学三段论法，不要轻易采用省略式。
格言小语
感官可以觉察的，是本身存在，独立不依的，反过来又以为思想是依赖他物，没有独立存在的。
——黑格尔
