有这样一个故事：
地理老师提问一位学生：“请指出从上海到广州距离最短的路”。学生看了看摆在讲台上的地球仪，从容答道：
“是一条挖通广州与上海的直线隧道。”
众哗然！
其实，从理论上讲这位学生说的并没有错。那是根据平面几何里的一条公理：“两点间线段最短。”不过，生活在地球上的人类，习惯于把自身的活动，限制在这个星球的表面予以考虑。这样，在上海与广州之间的短程线，很自然地被理解为过上海和广州之间的一段大圆的弧。这段大圆的弧约长1200公里。
球面上过两点的大圆的弧，可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看为大圆的弧。
上面的故事是人为杜撰的呢，还是真有其事？现在已无从得知。不过，抱有上述想法的，历史上可不乏其人！
大约在本世纪初，列宁格勒(旧称彼得堡)出现过一本书名很怪的小册子，叫做《彼得堡和莫斯科之间的自动地下铁道，一本还只写成三章，未完待续的幻想小说》。作者在书中提出一个惊人的计划：在俄国新旧两个首都之间，挖一条600公里长的隧道。这条笔直的地下通路，把俄国的两大城市连接起来。这样，“人类便第一次有可能在笔直的道路上行走，而不必像过去那样走弯曲的路！”作者的意思是：过去的道路都是沿着弯曲的地球表面修筑的，所以都是弧形。而他设计的隧道却是笔直的！
不过作者写书的主要意图，还不在于考虑两点间线段最短。而是这样的隧道如能挖成，则有一种奇异的现象：任何车辆能像单摆一样，在两个城市间来回移动。开头速度很慢，后来由于重力的作用，车速越来越快；接近隧道中点的地方，达到了难以置信的高速，而后逐渐减速，靠惯性行进到另外一头。如果摩擦力可以忽略不计的话，走完全程只需42分12秒！
光沿短程线前进的性质，这是物理学家早就注意到的。如图28，由A点射出的光线，通过1上的点C反射到B点，则由入射角等于反射角推知，C点即线段A′B与1的交点。这里A′是A关于直线1的对称点。容易证明，对于1上的另一点C′，必有：
AC′+C′B>AC+CB事实上AC+CB=A′C+CB=A′B<A′C′+C′B=AC′+C′B结论是很明显的！这表明光所走的折线ACB，是从A经1到B最短的路线。
不过严格地讲，光所走的是一条捷径。即走完全程所用的时间最短。图29的情景，想必许多读者都见过：本来看不见的东西，在水中变得看的见了！光线产生这种折转的原因，是因为光在空气中和水中速度不相同。造成光沿一条折线走比光沿一条直线走所花的时间更少！
建议读者亲手做一做下面的试验：
在光滑桌面的另一半，铺上一层薄薄的绒布。让一颗铁球由光滑面斜着滚向绒布。这时你会看到一种奇特的现象：铁球在绒布的交界处突然折转了方向，如同光线的折射一般！上述现象发生的原因在于，铁球在光滑桌面和绒布上行进的速度不相同。铁球也像光线一样，走的是一条捷径！
下面是一个有趣的问题：
一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样路线爬行，才能最快抓到苍蝇？
显然，当把长方体（如图30左图）的上底面及右侧面展开成如同图30右图的平面图时，蜘蛛爬行的路必须是线段AMG或ANG中较短的一条。假令AB=a，BC=b，AE=c，则由图30右图知。
AMG=(b+C)2+a2=a2+b2+c2+2bc
ANG=(a+b)2+c2=a2+b2+c2+2ab
当a>c时，ANG>AMG，说明蜘蛛应当沿折线AMG爬行，才能最快抓到苍蝇；反之，则必须沿折线ANG爬行！
另一个类似的趣题：苍蝇为了防止蜘蛛的袭击，而想爬过长方体所有的六个面探查一下，并尽快地返回原地。那么苍蝇至少要爬行多长的路？
这个问题的结论不太容易想到。从下面的展开图31中可以看出，苍蝇爬行的路线应当是一条过G点而又平行于图31中虚线AA的线段(为什么？请读者想一想)。容易算出，这条线段长为2(a+b+c)。这个量与苍蝇原先所在位置无关(为什么？)。很明显，对于可以展成平面的曲面，曲面上的短程线问题，都可以用类似上面展开的方法加以解决。图32的圆锥曲面就是一个例子。
然而，并非所有的曲面都能展开成平面。我们最常见的球面，其任何一小部分，都不可能毫无重叠或破裂而展成平面。这就是无论哪一种地图，总不可避免地要产生变形的原因，没有一点畸变的地图根本不存在！这样，当你翻开一张地图细心观察时，你便会发现一个有趣的现象，图32上画的航线几乎都是一条条弧线。这才是真正的球面短程线——大圆弧线。而图面上看起来是直的线，实际上只是保持与经线等角的斜航线。图33画出了连接非洲好望角和澳洲南部墨尔本港之间的两种航线。看起来似乎更大的大圆航线只有5450氵里。斜航线竟比大圆航线长出570氵里。相当于多了1050公里。由于地图的畸变，使人造成了错觉！
