一个圆面，如果用一条直线来分割它，显然它被分成两部分；如果画两条直线，那么圆面最多被分成四部分。如果要问：在圆面上画十条直线，圆面最多被分成多少部分？这时再用观察和实验的方法就十分困难了。用什么办法解决这个问题呢？那就需要探索其中的规律。
先从最简单的情况实验起：
用一条直线分割圆面，圆而被分成两部分；
用两条直线分割圆面，圆面最多被分成四部分；
用三条直线分割圆面，圆面最多被分成七部分；
用四条直线分割圆面，圆面最多被分成十一部分：
我们分析以上的几个结果：
S1＝2＝1＋1
S2＝4＝1＋1＋2
S3＝7＝1＋1＋2＋3
S4＝11＝1＋1＋2＋3＋4
发现圆面被分割成的部分是由两部分组成的：一部分是1，另一部分是若干个从1开始的连续自然数的和，最后一个加数恰好等于所画直线的条数。
了解了这个规律，求直线分割圆面时，就可以应用这个规律，而不再去实验。
比如，用五条直线去分割圆面，那么圆面最多被分割成S5＝1＋1＋2＋3＋4＋5=16个部分。
当用十条直线去分割圆面，那么圆面最多被分割成：
S10＝1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=56个部分。
这就是开始提出的问题，已得到了解决。
解决这类问题有没有一个一般的公式呢？有！下面我们就来推出这个公式，以后再求这类问题时，只要代入公式就可以了。
如果用n条直线分割平面，那么平面最多被分成Sn＝1＋1＋2＋3＋4＋5＋…＋(n-2)+(n-1)+n=1+(n+1)n2=12(n２+n+2)个部分。
用这个公式，计算二十条直线分割圆面，那么圆面最多被分成S20=12(20２+20+2)=211个部分。
上面推导一般公式的过程采用的是不完全归纳法，更严格地证明需要利用数学归纳法，这到高中才能学到。上面的问题可以归结为用数学归纳法证明以下的命题：
平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，而且任何三条都不经过同一点，那么这n条直线将平面分成12(n２+n+2)个部分。
