课堂教学因受到时间、空间、教材等限制，不可能解决所有的问题，为了更好地培养学生的创造性思维能力，尤其是让部分学有余力的学生得到进一步发展，还应将视野延伸到课余时间，指导学生写小论文就是一个好办法。学生在开展课题研究时，必须自学有关的书籍，广泛地收集与课题有关的信息和数据，并对这些信息和数据进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的提炼和概括，从各种不同的角度对同一问题进行深入的思考和探讨，最后才能形成文字写成论文。在课题研究过程中，学生的主体性和积极性得到了最充分的发挥，学到的东西要远比课堂学习多得多。
千万不要低估中学生的能力，我们曾指导中学生开展关于数学模型方法、数学美、数学解题的基本思路等课题研究，写出的小论文都是有相当质量的。在学生的课题研究中，教师应在课题选择、参考书阅读、研究方法和论文写作上多作指导。
此外，指导学生创办数学小报(报纸或墙报)，由学生自己组稿、编辑、定期出版，组织数学兴趣小组活动，发布思考题征求解答等，也都有助于锻炼学生的创造性思维。
(7)多一点耐心和宽容
数学课上经常可以看到这样的情景，当学生甲的回答不正确或者不符合老师的思路时，老师马上让举手的学生乙重新回答，或者干脆自己直接说出答案。这样的处理不但会挫伤学生甲的学习积极性，更严重的是会形成一种比较紧张的课堂气氛，尤其是那些基础比较差的学生，课堂上总是惴惴不安，总是担心被老师提问，当众出丑。
科学探索是一种不断试错的过程，只能通过不断的“尝试”、“排错”和“反驳”、“否证”，才能向真理逼近。数学学习是一种学生进行再探索、再创造的过程，也是不断试错的过程。不能容忍错误，也就堵塞了通往真理之路。不少学者都谈到，美国教育的成功之处的一个重要方面，就是允许学生学习上的失败。我们的教育中常常缺少对学生学习上失败的宽容。所谓宽容就是容许别人有行动和判断的自由，能够容忍不同于自己或传统的观点和见解。教学中要善于发现学生错误中的合理成分，并加以肯定，鼓励学生大胆尝试，在试错中不断进步。
不宽容学生学习上的失败，就等于堵塞了学生探索性学习的道路，使学生只能循规蹈矩地按照传统的学习模式被动地接受知识。相反，宽容学生学习上的失败，让他们有作出新的选择的机会和勇气，才能为学生打开探索性学习的大门，不断提高他们的创新能力。
培养创造性思维的经验不限以上各点，例如数学问题解决就是行之有效的途径，在此不再赘述。
（第二节 ）数学学习的基本思维过程
根据心理学的观点我们可以把思维作为一个过程来研究。学生学习数学也处于第一次发现数学事实的过程，学生独自发现，或在教师的帮助下发现。因此，学生认识和发现数学事实的思维过程和数学家发现数学真理的思维过程，本质上也是一样的。数学教学重视这种思维过程的培养与教育有助于学生改进学习方法，提高学习效果。
数学学习的基本思维过程是观察与试验、比较与归纳、分析与综合、抽象与概括。其中归纳和类比将在第五章介绍。
一、观察与试验
（一）观察
观察是人们为了认识事物的本质和规律，通过感觉器官或同时借助于一定的科学仪器，有目的、有计划地考察、描述各种自然现象自然发生的一种方法。观察以感知为基础，是有目的、有选择、积极主动的反映过程，并且常常与思维结合在一起。
科研开始于观察。数学中许多重要的发现都渊源于实际观察。例如，人们熟知的等量公理，就是从对现实世界数量关系的长期观察和计算中，经过分析得出的结论。就连被誉为“纯粹之皇冠”的数论，实际上也是在观察基础上发展起来的一门科学。
观察不仅是认识客观事物的重要途径，也是发展智力的基础。通过观察，人们可以获得大量丰富的感性材料。心理学研究表明，人的大脑所获得的信息，80％～90％是通过视觉和听觉得来的。所以，要发展自己的思维能力，必须敞开观察的大门，让外界信息不断进入大脑。为了提高思维的敏捷性和正确性，还必须保证输入的信息是有系统、有条理的，而不是杂乱无章的。因此，我们不但要勤于观察，而且要善于观察，把观察和思维结合起来，有目的、有计划、有条理地进行观察，不断提高观察的客观性、全面性、精确性和深刻性。这样，才有助于我们发现问题．积极思维。
例如：1=12
1+3=2×2=22
1+3+5=3×3=32
1+3+5+7=4×4=42
1+3+5+7+9=5×5=52
1+3+5+7+9+11=6×6=62
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2，即从1开始的n个连续奇数之和等于n2。
又如：解方程(2+3)x+(2-3)x=4
观察底数的数字特征，不难发现：
2+3与2-3互为倒数，于是可设(2+3)x=y，用换元法完成解答。
从上面的例子可以看出。为能有效地提高观察能力，根据中学数学的研究对象，可以侧重于观察客观事物的空间形式和数量关系，在发掘数学对象的概念特征、事物的数量指标、算式的外形结构、图形的位置关系等方面多下工夫。也就是说，对所考察的数学对象。既要看整体、全貌，又要看局部、细节；既要看数字特点，又要看图形特征；既要看明显现象，又要看隐含本质；既要看一般属性，又要看本质属性；既要看共同之处，又要看不同之点；既要看各自特征，又要看相互联系。
（二）试验
试验(实验)是人们根据一定的研究目的，运用一定的物质手段，在人为地控制或模拟自然现象的条件下，使自然过程或生产过程以纯粹的、典型的形式表现出来，暴露它们在天然条件下无法暴露的特征，以便进行观察、研究，探索自然界的本质及其规律的一种研究方法。
任何试验都和观察相联系。观察是试验的前提，试验是观察的证实和发展。在现代科学技术中，试验往往同观察紧密结合在一起，观察依赖于试验，试验离不开观察。
试验方法优于一般的观察方法，它克服了纯粹观察(即自然观察)的局限性，大大加强了人们获取感性材料和感性经验的主动性。在物理、化学等实验科学中，实验方法占有中心的地位。一般说来，数学不是实验科学，在特殊情形下由观察和试验得到的结果，一般只具有或然性，需要严格的理论证明，才能确认其真实性。
在中学数学中，观察和试验可以用来引导数学发现，启迪解题思路，说明所研究的对象的某些数学性质，判断数学性质或结果的真实性。比如，三角形内角和定理，勾股定理，圆和三角形的面积公式等，通常都是运用试验法导出结果，然后再作理论的证明。
用试验法处理数学问题，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围。在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息。以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出所需的结果。
例如：设n∈N，且sinx+cosx=-1，求sinnx+cosnx的值。
思考方法，先考察n=1，2，3，4时的情形，以便从中得到启发。
当n=1时有：sinx+cosx=-1
n=2时有：sin2x+cos2x=1
n=3时有：
sin3x+cos3x
=(sin2x+cos2x)(sinx+cosx)-sinxcosx(sinx+cosx)
注意到：
(sinx+cosx)2=(-1)2
即sin2x+2sinxcosx+cos2x=1
所以sinxcosx=0
sin3x+cos3x=1×(-1)-0×(-1)=-1
n=4时有：
sin4x+cos4x
=(sin3x+cos03x)(sinx+cosx)-sinxcosx(sin2x+cos2x)
=(-1)2-0×1=1
经过以上各次试验，我们可以猜测，当n∈N，可能有sinnx+cosnx=(-1)n从而可用数学归纳法证明。
从上例可以看出，试验法是不完全归纳法的一种补充，为成功地利用不完全归纳法提供推理依据。因此，把试验法和不完全归纳法有机地结合起来，有助于沟通数学知识的内在联系。
二、比较
比较是要确定所研究的对象的相同点和不同点的一种判断性的思维活动。
比较是个总的名称，它有类比、对比等。
有比较才能进行鉴别。“在比较中认识一切”这自然就说明了比较在认识中的作用。物理学家开普勒曾经说过：“我们珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中，它们应该是最不容忽视的。”
进行比较时，必须注意下列几个原则：
(1)彼此之间具有确定联系的对象才能进行比较，即比较应当有意义。例如，我们可以比较两个函数的性质，比较两个同类量的大小。但是，将三角形的周长和物体的质量作比较是没有意义的。从这个意义上说，类比也可看作一种比较。
(2)比较应当按一定的步骤进行，即要求准确地区分进行比较的性质(按什么比较)。例如，对于几个多边形的面积、周长等等可以分别进行比较。
(3)对于数学对象的同一种性质作的比较应当是完整的。一般地说，比较与归纳一样，其结论只是似真的，而不是可靠的，它具有假说、猜测的性质。因而它在教学中有重要的意义。所以教育家乌申斯基认为：“在教学论中，比较应当是一种基本的方法。”
比较基本有两种形态。一种是纵比较，如一件事物在不同发展阶段变化情况的比较；另一种是横比较，如为解决同一问题而设计的不同方法的比较。
应当指出，类比在中学数学教学中应用很广泛(关于类比请看第五章“类比推理”)。在数学教学中，比较也常常以对比的形式出现，常用的有下面几种。
(1)正反对比。即指正运算概念与逆运算概念的对比。如加与减、乘与除、乘方与开方、积分与微分对比等等。
(2)同类对比。即指把内容属于同一范畴的东西加以对比。如四个三角函数正弦、余弦、正切、余切在它们的定义域、值域、单调区间、周期性、极值等方面可以对比；等差数列、等比数列也可以在定义、通项公式、求和公式等方面加以对比。
(3)同义对比。即指它们虽然不同，但两者之一是另一个的扩张。如代数就是算术的扩张，讲代数时就应多多与算术对比；立体几何与平面几何也是这样，只要掌握了立体几何中的“线”与“面”，相当于平面几何中的“点”与“线”，就可以从平面几何的定理与公式，推测出立体几何的对应定理、命题与公式。
(4)数学模型与实际事物的对比。例如，匀速运动s=vt+s0的平均速度、瞬时速度与函数y=kx+b的平均变率、瞬时变率的对比。
(5)一般与特殊的对比。数学中常常分特殊情况与一般情况来研究问题。例如立体几何中多面体部分的棱柱与棱锥和旋转体部分的圆柱和圆锥是有密切关系的，后者是前者的特殊情况，两者可进行类比。
(6)局部与整体对比。例如圆弧长与圆周长、圆扇形面积与圆面积就是局部与整体的关系，当我们讲授圆形面积时，只要逐步变化圆心，就能从圆面积公式经几步推出扇形面积的公式来。中心角=360°，s=πr2中心角1°，s1°=πr2360°中心角α，Sα=πr2360°α。
(7)错误与正确对比。有些数学公式，学生往往混淆不清，容易用错，因此我们推证一个公式后，不仅强调如何认识它、记忆它、运用它，有时也要写出对应的错误例子，并指出它的错误根源，两者对比，印象才深刻，以防止出现错误。
观察、实验、归纳、比较都可得出猜想，因此，它们是获得直觉思维的有力工具，也是培养学生发现能力很好的方法。布鲁纳就说过：“机灵的预测，丰富的假设和大胆迅速地作出的试验性结论，这些是从事任何一项工作的思想家极其珍贵的财富。”在数学教学中，经常注意培养学生这方面的能力，是有极其深远意义的。
三、分析和综合
分析和综合作为两种科学研究方法，在数学中有着特别重要的作用。在数学教学中，它们有各种不同的表现形式，既是研究数学概念的方法，又是解答数学问题、证明数学定理的方法。
分析是在思想中把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素，把完整的过程分解为各个阶段，并分别加以研究的思维方法。例如，为了求多边形的面积，我们可以把多边形分解为若干个三角形，分别进行研究。又如，对于列方程解应用题这一完整的过程，可以分解为设元、列方程、解方程、检验等四个阶段分别予以考察。在数学学习中，分析是最重要的一种思维方法。因为对于未知的整体事物，要深刻地认识它、理解它，首先就得恰当地分解它、简化它。
综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法。例如，把正整数、零、负整数、正分数、负分数联结起来考察，对有理数就能有一个完整的认识；把有理数和无理数联结起来研究，则对实数就可以有更加深刻的理解。综合不是把事物的各个部分简单地拼凑在一起，而是着重于找出其相互联系的规律性。
首先，分析和综合是彼此相反而又紧密联系的过程。分析是把部分作为整体的部分分出来，是从它们的相互关系上来分析的；而综合是被分出来的各部分的综合，是通过各个部分、各个特征的分析而实现的。分析和综合是同一思维过程的两个方面，它们相互联系，相互制约。没有分析就没有综合，在综合时仍然必须分析。人的认识就是循着分析——综合——再分析——再综合的思维过程，一步步加深对客观事物的认识。
思维过程是从对问题的分析开始的。思维的分析可以有两种形式：
(1)过滤式的分析。这是通过尝试对问题情境作初级的分析．它能淘汰那些无效的尝试。例如，有人在实验中给受试者提出如下问题：用6根火柴做出4个等边三角形，使三角形每边都由一根火柴构成。在解决这个问题时，由于一般三角形都是平面的，材料也是在平面上出现的，大多数受试者都在平面上作种种尝试(这是过滤性的分析)。在多次尝试失败以后，受试者逐渐作出条件和要求的联系，例如有的尝试者说：“三角形有3条边，4个三角形应有12条边，但火柴只有6根，这就意味着每边都是公共的。”这样，综合的分析就出现了，这个考虑的方向促使尝试者从立体的方面去寻找解决问题的方法。
(2)综合的有方向的分析。这是通过对问题的条件和要求的相互联合的综合而实现的分析。综合的有方向的分析是思维活动的主要环节。它使客体显露出新的方向，客体参加到新的联系中，新的性质就表现出来，这对思维的顺利进行是非常必要的。
从下面的例子可以十分明显地看出通过综合的分析的重要作用。
