数学中的辩证关系，除了它自身的数学内容充满矛盾统一之外，还表现在数学方法、数学思想方法的辩证统一。例如，归纳法与演绎法，分析法与综合法、直接证法与间接证法等等，都是既对立又统一的数学思想方法。在数学思想方法运用上常使对立方法溶于统一过程之中。如先用归纳法探索再用演绎法证明探索的结论；用分析法与综合法结合而成的中途点法。在数学方法上，微分与积分是既对立又统一的两个数学方法，它们相互联系又相互转化，像这样的例子，数学上处处皆是。正是由于这些方法的交错运用和转化，形成了今天这样充满活力，应用极广的科学数学。
6.数与形的分离和结合的辩证统一
数与形是数学的两个主要研究对象，在数学萌芽时期和常量时期的一段漫长历史时期，数与形是被分离成两个不同的研究对象，直至在笛卡儿建立直角坐标系之后，在数与形之间架起了一座桥梁，使数与形紧密结合起来，数与形的相互转化成为可能，从此开创了数学发展的新时代。形的直观性为数学创造活动开拓了广阔的空间，数的理论推导为数学结论的确立给予了有力的支持。数与形的结合和相互转化，使数学如虎添翼，迅速发展。数形结合方法在中学数学应用甚广，成为中学数学解题方法的一个重要组成部分。
（第四节 ）逻辑推理规则
推理是从一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。推理规则的实质是判断间的逻辑关系，在数学中，判断是以命题形式给出。因此，研究命题运算及其运算规律是十分必要的，这有助于揭示推理过程的本质。
一、命题及其基本形式
命题是表示判断的语句。直接判定，有条件断定和有选择性断定相应于不同形式的判断，命题可分为直言命题，假言命题和选言命题。
例如：
直言命题：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
假言命题：如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
选言命题：若x2-3x+2>0，则x>2或x<1。
二、数学命题的4种形式
数学命题一般都表示为假言命题“若p则q”。由此命题可以构出另外3种命题形式。
(1)若q则p；
(2)若非p则非q；
(3)若非q则非p。
我们将构出的命题(1)，(2)，(3)分别称为命题“若p则q”的逆命题，否命题和逆否命题，而命题“若p则q”被称为原命题。
这4种命题之间有着内在联系，特别是原命题与其逆否命题同真或同假，原命题的逆命题与否命题同真或同假。
三、基本逻辑联结词
为了把命题符号化，形式化，在逻辑学中使用了以下5种基本逻辑联结词：(1)否定(非)，(2)合取(与)，(3)析取(或)，(4)蕴涵(如果…那么…)，(5)等价。
四、复合命题及其真假值
1.复合命题和简单命题
命题可分为简单命题和复合命题，由逻辑联结词联结而构成的命题称为复合命题，没有逻辑联结词的命题称为简单命题。
2.逻辑运算的顺序
如果我们把逻辑联结词看作代数运算符号，那么复合命题可以看作命题运算，如同代数运算一样，对于5种运算，在逻辑学中，规定了它们的运算顺序。如果要改变其中的运算顺序，必须象代数运算一样，添加括号。但也有省略括号的约定。
3.复合命题的真假值
一个复合命题的真假值，决定于构成这个命题的各个简单命题的真假值。求一个复合命题的真假值，可以根据基本命题的真值表和命题运算顺序，列出它的真值表来确定它的真假值。如果不管构成复合命题中的简单命题取真值或假值，这个命题都取真值，这样的复合命题称为恒真命题。相类似地可以定义恒假命题。
五、逻辑等价
为了使命题运算像代数运算一样顺利进行，必须引进等量关系。逻辑学中的等量关系就是逻辑等价关系。
如果两个命题p和q的真值表相同，那么称命题p与q逻辑等价。记为p≡g。
逻辑等价关系具有一般等价关系的三性：自反性，对称性，传递性。
引进了命题的逻辑等价，使得在逻辑推理过程中，两个逻辑等价命题可以互相代换，这种逻辑等价代换方法称为逻辑等价变换，运用逻辑等价变换可以将一个复杂命题的逻辑式化简为与之等价的较简的逻辑式，这种化简过程就是命题运算。
（第五节 ）常用的逻辑推理方法
常用的逻辑推理方法有归纳法、演绎法和类比法。
一、归纳推理
归纳推理或称归纳法，是从特殊性的前提得到一般性结论的推理方法。
根据归纳推理的前提与结论所作判断的范围是否相同，归纳推理分为完全归纳法和不完全归纳法。
1.完全归纳法
如果归纳推理的前提的判断范围的总和等于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做完全归纳法。
完全归纳法是必真推理，只要前提判断为真，推理所得的结论必为真。因此完全归纳法是一种严格论证方法。尽管完全归纳法的推理前提是某类对象的多个判断，有一定局限性，但通过归纳推理，得到全类对象具有的属性，网此它将局部认识扩展到全部，从个别上升到一般，起到认识深化的作用，另外它也是发现真理的一个重要方法，应用甚广。
例如中学平面几何课本中证明定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，使用的是完全归纳法，它通过证明圆周角的3种不同位置的命题都成立，而归纳得到一般性结论成立。
2.不完全归纳法
如果归纳推理的前提的判断范围的总和小于结论判断的范围。则这种归纳推理叫做不完全归纳法。
不完全归纳法是似真推理。由于它的前提判断范围仅是结论判断范围的一部分，即使前提为真时，结论不一定为真。虽然不完全归纳法有一定局限性，但由不完全归纳法所得的结论往往是真理的先导。科学的归纳方法是发现真理的有效方法。历史上许多著名的数学猜想都是源于不完全归纳法，而且许多猜想都被证实，如前面讲述的四色问题猜想和费尔玛问题猜想都成为著名定理。
不完全归纳法的作用较之完全归纳法更大，它不但使人们的认识进一步深化，而且在发现真理的方法上更具普遍性。
不完全归纳法在运用上可分为枚举归纳法和因果归纳法两类。
(1)枚举归纳法
枚举归纳法是指根据某类被研究对象中的部分对象具有(或不具有)某一属性p，而推断出该类的全部对象具有(或不具有)属性p的归纳方法。
由不完全归纳法得“任何大于2的偶数可以表示为两个奇素数之和”。这是著名的哥德巴赫猜想，它来自枚举归纳法。
(2)因果归纳法
因果归纳法是依据某类对象的某一属性p，因条件A在，一系列变化中对p的出现和变化有关键性的影响，从而推断条件A是该对象具有属性p的原因所使用的推理方法。
人们在长期的实践中，对不同的因果关系作深入研究，总结出5种确定因果关系的归纳方法：求同法，求异法、求同求异法、共变法和剩余法，合称“穆勒五法”。这些方法被广泛应用于科学研究和数学猜想之中。
①求同法
依据某类对象的某一属性中，在几种不同的情形下都出现。而在各种条件中，只有一个条件A是共同的，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。
②求异法
依据某类对象的某一属性p，只在其中一种情形(不妨设第一种情形)出现，而在另一种情形不出现。在这两种情形中，除第一种情形特有条件A外，其他的条件各情形都相同，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因或部分原因。
③求同求异法
依据某类对象的某一属性p，在一系列情形中，凡有条件A的都有属性p，凡没有条件A的都没有属性p，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。
④共变法
依据某一类对象的某一属性p，在一系列情形中，其中只有一个条件A变化，其条件保持不变，发生变化的条件从数量或程度影响属性p的出现，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。
⑤剩余法
依据某类对象的某一属性p，在一系列情形中，一组条件产生一组属性，如果除去条件A，属性p不出现，其余的条件均能确定余下的属性，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。
海王星的发现，是人类成功地运用剩余法的一个光辉例子。在1781年，人们发现了太阳系中第六颗行量——天王星，并用数学编制行星的运行表。可是实际的观测数据表明，天王星的运行与计算的结果差异很大。为解决这一矛盾，对影响运行轨迹的众多条件，进行了逐一检验，排除。最后，人们开始怀疑这是因为天王星之外还有一颗未知的行星，其引力使天王星的运行偏离于编制的轨道，到1844年和1845年两位青年天文学家和数学家——英国的亚当斯和法国的勒威烈，按存在一个新行星的假设下，各自独立地根据万有引力定律和天王星的观测资料，进行大量计算，推出那颗未知行星的运行轨道和方位，1846年，果然由德国天文台按他们预示的位置找到了那颗行星——海王星。由此可见，归纳法在发现真理上有着巨大作用。
演绎推理或称演绎法，是从一般性较大的前提推出一般性较小的结论的推理方法。
演绎推理属必真推理。当前提为真，按照演绎推理所得的结论也必为真。
应该指出，演绎推理成为必真推理是有条件的，它要求一般性较大的前提与一般性较小的结论有着内在联系，也就是前提判断的范围应该包含了结论判断的范围，才可能成为必真推理。
为了使演绎推理成为必真推理，人们创造了便于应用这种推理的格式——三段论
1.三段论
由两个前提推出一个结论的演绎推理叫做三段论，其中两个前提分为大前提和小前提，大前提是一个较大的一般性原理，小前提是一个与大前提有密切联系的特殊判断，结论则是大前提和小前提的逻辑结果。
常用的三段论分为直言三段论和假言三段论。
当三段论的两个前提为直言命题时，这种三段论称为直言三段论。
直言三段论的逻辑结构基本形式是：大前提：一切M都是P，小前提：S是M，结论：S是P。
这是一条恒真命题。因此，三段论推理形式是一条必真推理。它为演绎推理的可靠性提供了严格的理论基础。
直言三段论的基本形式可以派生出另外3种形式
①一切S不是P，
S是M，
S不是P。
②一切M是P，
部分S是M，
部分S是P。
③一切M不是P，
部分S不是M，
部分S不是P。
派生而得的三种推理形式。通过比较推理规则可知，在实质上，它们与基本形式没有区别，派生的三种形式仅是为了便于应用和理解，它还可以派生出另外一些形。式通常我们把原来的基本形式和派生的三种形式合称为直言三段论四种形式。
当三段论的前提中包含假言命题时，这样的三段论称为假言三段论。
假言三段论的基本推理式有两种：肯定式，否定式。
三段论在数学演绎推理中起着十分重要的作用，特别是初中平面几何的证明，更是要求三段论格式规范，论证严密，以达到培养逻辑思维能力的目的。在实际运用，为简便，一般省略大前提，但层次必须分明。
2.归纳与演绎的关系
归纳与演绎是相互联系，互为补充的两个推理方法。
(1)归纳作为演绎的基础，演绎作为归纳的前导。
数学体系的任何推理，都基于一定原始概念和公理，这些公理来源于人们长期实践中的归纳，离开了这些归纳事实，一切演绎成为无源之本。
数学的抽象是多级抽象，数学的归纳也是多级归纳，高层次的归纳总是以已知真实判断为前提，而这些前提又来自演绎的结果、演绎产生的矛盾往往是归纳的起因。
(2)归纳为演绎提供科学假说，演绎为归纳提供理论依据。
归纳由特殊到一般，有高度的概括性，有揭示事物规律的作用。虽然它的结论不一定可靠，但科学的归纳，提供了科学假说，像一盏明灯指引前进方向，如四色问题，经历了几百年的研究，产生了许多数学方法和理论，促进了数学的发展。
演绎推理是归纳推理的继续，为归纳推理的局限性，由演绎推理得到补充，演绎推理的恒真性为论证科学假说的正确性提供有力保证。
