数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。简洁地说，反例就是一种说某命题不成立的例子。从某种意义上来说，所有例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题(有时是非常荒谬的命题)不成立。但是，我们所讨论的反例是建立在数学上已经证实的理论与逻辑基础上的，并且具有一定作用的反例。举反例也是一种证明的方法，它可以证明“某命题不成立”为真。一般地，一个假命题的反例可能有多个，而我们在举反例时只选用其中的一个就可以了。
反例概念的产生与数学命题的结构密切相关，因此，数学上的反例主要有以下几种类型。
1．基本形式反例。
数学命题有四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。全称肯定判断(所有S都是P)与特称否定判断(有S不是P)可以互为反例，全称否定判断(所有S不是P)与特称肯定判断(有S是P)也可互为反例。
基本形式的反例在数学上有很多，如数学史上著名的费儿马素数的反例。费儿马曾猜想：“对任何非负整数n，形如22n+1的数是素数。”后来由欧拉首先举出反例：当n=5时，225+1=641×6700417是合数，于是这个猜想被推翻了。
2．关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例。
充分条件的假言判断是断定某种情况是另一种情况的充分条件的假言判断，可表述为pq，即“有前者，必有后者”，但是“没有前者，不一定没有后者”。所举反例应为“没有前者，却有后者”。这种反例称为关于充分条件假言判断的反例，即要说明前者是后者的充分条件，但不是必要条件。
必要条件的假言判断是断定某种情况是另一种情况的必要条件的假言判断。可表述为pq，即“没有前者，就没有后者”，但是“有了前者，不一定有后者”，举反例应为“有了前者，没有后者”。这种反例称为关于必要条件假言判断的反例，即说明前者是后者的必要条件，而非充分条件。例如，级数Σ∞n=1收敛，则limn∞an=0，在此a00(n∞)是级数Σ∞n=1an收敛的必要条件，但不充分。反例：1n0(n∞)，但Σ∞n=11n上不收敛。
3．条件变化型反例。
当数学命题的条件改变时，结论不一定正确。为了说明这种情况所举的反例可称为条件变化型反例。条件的改变有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学研究与教学都是有益的。
反例的意义远远地超出了它的具体内容，除了它能帮助人们深入理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成等潜在的深刻涵义。
(1)发现原有的局限性，推动数学向前发展。
举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展。例如，连续函数项级数的和函数，柯西认为还是连续的，后来，人们举出一个反例，从而引出了一致收敛的概念。狄里克雷函数在黎曼意义下不可积，启发了异于黎曼积分的新积分理论的产生，特别在数学发展转折时期，典型的反例起着举足轻重的作用。
(2)澄清数学概念与定理，为数学作出优雅的和艺术性很强的贡献。
数学中的概念与定理复杂、条件结论犬牙交错，使人不容易理解。反例则可以使概念更加确切与清晰，使定理的条件、结论之问的充分性、必要性指示得一清二楚。数学中有许多这样的反例。
在讨论周期函数及其最小正周期时，不少人以为周期函数必有最小正周期。其实可以举出反例推翻这种看法。
f(x)=1，x为有理数-1x为无理数，这个函数以任何有理数T为周期，因为f(x+T)=f(x)，T为有理数而有理数中无最小正数，所以，f(x)也就不存在最小正周期。
(3)帮助学生学习数学基础知识，提高他们的数学修养与培养科学研究能力。
数学是一门严密的科学，它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，不能仅凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，谬之千里”。在数学教学中，让学生掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，还应掌握各类反例，这才能更深刻地掌握数学基础知识，提高其数学修养与培养科学研究能力。
构造反例的方法主要有：
1．特例构造法。
所谓特例构造法就是利用掌握的一些极端情况与典型反例来构造反例。极端情况如方式的分母为0，图形为直角三角形，两直线平行与垂直等，典型反例如处处不连续的狄里克雷函数，在x=0处连续但不可导的函数。
f(x)=xsin1x，x≠00，x=0等。牢固地掌握这些特例，必要时进行科学的组合，就可以提出所需要的反例。
2．性质构造法。
性质构造法就是根据反例本身的性质与特征，按一定的数学知识与技能进行构造反例。著名数学家康托儿曾构造出一个连续单调函数，其导数几乎处处为0的例子，即康托儿函数。这种构造的函数看起来人为的因素强，但却符合数学现成的理论与规律。
3．逼近构造法。
逼近构造法是指通过分析与剔除，找到反例所在的范围，然后在这范围内逐次缩小并向目标逼近，最后造出所要求的反例。
4．直观构造法。
直观构造法是指联系问题的几何意义，分析直观图形的特征，从运动变化中寻找需要举的反例。
5．类比构造法。
根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内构造出类似的反例，这种方法就是类比构造法。
（第七节 ）集合思想
19世纪末叶，德国数学家乔治·康托尔(Georg Cantor)创立了集合论，被认为是近代数学史上最令人惊异的成就之一，在数学史上引起了一场“革命”。
集合论是现代数学的基础，没有康托尔的集合论也许就没有现代数学。康托尔创立了集合论，它不仅给数学奠定了坚实的基础，而且如同哥白尼的日心说对于天文学、相对论、量子力学对于物理学一样，对于数学领域来说是一场伟大的革命。从产生之日起，集合论的思想就逐渐渗透到数学的各个领域，一方面促进了数学的发展，另一方面导致了对数学基础的深刻研究。
康托尔创立的集合论基本思想(原则)主要包括概括原则、实无穷思想、外延原则、一一对应原则及其对角线方法。
初等数学中集合的表示方法有列举法、描述法和图示法三种。其中用描述法表示集合就是应用的概括原则。
概括原则是指对于任一性质P，能且仅能把所有满足给定性质的对象P(x)汇集在一起而构成一个集合的造集原则。概括原则保证了各种不同集合的存在性。用符号表示即为：
S：={x｜P(x)}，其中P(x)是“X具有性质P”的一个缩写。关于“集合”本身的含义，康托儿曾作过描述：“把一些明确的(确定的)、彼此有区别的、具体的或想象中抽象的东西看作一个整体，便叫做集合。”其实，康托尔用整体来说明集合，不能称为集合的定义，只是对集合概念的一种描述，是一种同义反复。集合悖论表明，对性质p必须加以某种限制。迄今为止，一切想要对集合作出所谓严谨的、合乎数学要求的定义的尝试都没有成功，以致近代公理集合论者，都放弃了对集合下定义的做法，而只把它作为基本概念。
概括原则一经采用，在数学中立即引入了实无穷思想，因为满足条件P的元素可以是无限多的。康托尔的集合论明确了无穷集合及其表示方法，同时，康托尔认为，他的超穷数理论对于潜无穷的存在性和应用性是绝对必要的，任何一种潜无穷必然导致超穷。
外延原则是指两个集合4、B，当且仅当它们的元素完全相同时，才把它们看作相同的。根据外延原则可产生集合的包含关系和、并、交、差等运算，其性质类似于数的加、减、乘等运算(但也有不同之处)。外延原则保证了集合的确定性。
一一对应原则是指若集合A与集合B的元素之间建立了一一对应关系，则集合A与B有相同的基数(或势)。这实质上揭示了无穷集合的一个本质特征，即整体与部分在数量上可以处于同等地位。所说的一一对应原则和对角方法结合起来可以得到这样的事实：即无穷集合不是清一色的，它既存在像自然数集N一样的可数无穷集，势为3／S，又有像实数集一样的不可数无穷集，势为C，称为连续统势。例如，有理数是可数无穷集，［0，1］中的全体实数是不可数无穷集。这些都可用康托尔的对角线方法证明。对于不同无穷集基数大小的比较，康托尔的思想是：若无穷集A与B的一全子集构成一一对应，而A却不能与曰的任何子集构成一一对应，则称A的基数大于B的基数。
集合论不仅引发数学无穷的革命，还为现代数学奠定了理论基础。
中学数学中所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简洁明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。数学教师在教学中还可以运用几何思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。
对数学学习来说，要帮助学生养成一种集合的思维习惯：要善于把在某些方面有类似性质的对象(或满足某一条件的对象)放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关运算来研究和解决问题。
同时，集合对于数学概念的形成，起着基础作用。可以说，每个数学概念都可以用集合概念语言来定义。正是由于集合论对数学的基础作用和重要性，它已经成为理解和掌握现代数学所必不可少的基础知识，它不仅成为大学数学系的必修内容，而且世界各国已把它的基本内容、思想和方法渗透到了中小学的数学教材中。
中学数学中研究的对象都可以看作是集合。我们最熟悉的自然数、整数、有理数、实数、复数等概念都是一些特定的集合，分别称做自然数集Ⅳ、整数集z、有理数集Q、实数集R、复数集C。而在几何中研究的图形都是三维空间中的点集。进一步，数与数之间的顺序关系、运算关系、图形与图形之间的位置关系也都是集合。如，实数集尺中的大小关系，从集合的观点看，完全可由一切数对(a，b)来表示，其中a∈R，a∈R，且a<b，而数对(a，b)的集合是笛卡儿积尺×尺胡。的子集，即实数集R中的大小关系是尺。的一个子集。从上面的分析可以看出，中学数学中涉及的所有数学对象都可归结为集合。
中学数学中常见的集合有：
1．数集。
随着中学生数学学习的深入，数集由自然数Ⅳ扩张到有理数集p，再扩张到实数集R，直至扩张到复数集C。
2．方程(或方程组)的解集。
方程或方程组的解集可以看作是满足某性质P的数的有限集合。
3．不等式(或不等式组)的解集。
不等式(或不等式组)的解集可以看作是满足某性质P的数的无限集合。
4．点集。
在集合论产生之前，人们就已经在研究数集和几何图形了，但几何图形仅仅是被当作一个完整的几何体来研究的，并没有被看作是由点组成的集合。如果以康托尔的集合思想为基础，就可以把中学数学中的任何一个几何图形都看作是三维空间的点集的一个子集。
更重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足性质P的实数对组成的集合建立一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数问题给出几何解释，还能够通过几何图形来解答代数问题。
