3.1地球的形状和大小
3.1.1地球自然表面——大地水准面——地球椭球体
关于大地是球体的早期认识，是由古希腊学者毕达格拉斯和亚里士多德提出的，他们在两千多年前就确信地球是圆的。后因宗教迷信和封建统治，压制了对天体的自由研究。直到公元前200年，才由古希腊学者埃拉托色尼具体量算出地球的周长，17世纪末，牛顿推断地球不是圆球而是呈椭圆球，并为以后的经纬度测量所证实。
地球近似一个球体，它的自然表面是一个极其复杂而又不规则的曲面。在大陆上，最高点为珠穆朗玛峰8844.43米，在海洋中，最深点为马利亚纳海沟-11034米，两点高差近两万米。
由于地球表面的不规则性，必须寻找一个形状和大小都很接近地球的球体或椭球体来代替它。
通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
随着现代对地观测技术的迅猛发展，人们已经发现地球的形状也不是完全对称的，椭球子午面南北半径相差42米，北半径长了10米，南半径短了32米；椭球赤道面长短半径相差72米，长轴指向西经31。地球形状更接近于一个三轴扁梨形椭球，且南胀北缩，东西略扁。但是，这与地球表面起伏和地球极半径与赤道半径之差都在20公里相比，是十分微小的。
3.1.2地球体的物理表面——大地水准面
由于地球表面高低起伏，且形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面，这就提出了用一个什么样的曲面来代替地球表面的问题。大地水准面是将一个与静止海水面相重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲面。大地水准面所包围的球体称为大地体。大地水准面作为测量的基准面，铅垂线作为测量的基准线。但是由于地球内部物质分布的不均匀性，因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作为测量计算和制图的基准面。
3.1.3地球体的数学表面——地球椭球面由于大地水准面的不规则性，不能用一个简单的数学模型来表示，因此测量的结果也就不能在大地水准面上进行计算。所以必须寻找一个与大地体极其接近，又能用数学公式表示的规则形体来代替大地体——地球椭球体。它的表面称为地球椭球面，作为测量计算的基准面。为了便于测绘成果的计算，我们选择一个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来代替，即以椭圆的短轴(地轴)为轴旋转而成的椭球面，称之为地球椭球面。它是一个纯数学表面，可以用简单的数学公式表达，有了这样一个椭球面，我们即可将其当作投影面，建立与投影面之间一一对应的函数关系。
地球自然表面、大地水准面和地球椭球面的关系见图3-1。
(坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台)；我国在积累了30余年测绘资料的基础上，通过全国天文大地网整体平差建立了我国的大地坐标系，该坐标系采用1975年国际地球物理与大地测量联合会(IUGG/IAG)第16届大会推荐的地球椭球参数、新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系冶大地坐标的起算点。
3.1.4地球的三级逼近
1.地球形体的一级逼近
大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。大地体与地球形状近似，因为其面上高出的部分与面下缺少的部分相当。
2.地球形体的二级逼近
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
3.地球形体的三级逼近
对地球形状a，b，测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。
地球自然表面、大地水准面和地球椭球面的关系示意见图3-2。
3.2地理坐标系
确定地面点或空间目标的位置所采用的参考系称为坐标系，坐标系的种类有很多，与地图测绘密切相关的有地理坐标系和平面坐标系。
地理坐标系就是用经纬度表示地面点位的球面坐标系，在大地测量中，又分为天文坐标系、大地坐标系和地心坐标系。
3.2.1天文坐标系
以大地水准面为基准面，铅垂线为基准线，以天文经纬度表示点位坐标的系统。
(1)天文经纬度。表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。
(2)天文经度。观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。
(3)天文纬度。在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。
3.2.2大地坐标系
以参考椭球面为基准面，以法线为基准线，用渍、、H表示地面或空间点位坐标的系统。
(1)大地经度。指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。
(2)大地纬度渍。指参考椭球面上某点的垂直线(法线)与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。
3.2.3地心坐标系
以参考椭球面为基准面，以观测点与地心的连线为基准线，用渍、、h表示地面或空间点位坐标的系统。即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角渍。
在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。三种经纬关系见图3-3。
地表面某两点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。如若两点在同一经线上，其经差为零；在同一纬线上，其纬差为零。
3.3子午圈曲率半径、卯酉圈曲率
半径、平均曲率半径和纬圈半径图3-4中，设过椭球表面上任一点P作法线Pn，通过法线的平面所截成的截面，叫做法截面。通过P点的法线Pn可以做出无穷多个法截面，法截面与椭球体面的交线称为法截弧。为说明椭球体面上某点的曲率起见，通常研究两个相互垂直的法截弧的曲率，这种相互垂直的法截弧称为主法截弧。
对椭球体来说，要研究下列的两个主法截弧，一个曲率半径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值。
1.经线圈曲率半径M
包含子午圈的截面，称为子午圈截面，从图3-4可看出，过P点的法线Pn同时又通过椭球体旋转轴的法截面。子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是P点上所有截面的曲率半径中的最小值：
3.5决定新极Q的地理坐标(渍，)
为在球面上确定点位可视需要而采用不同的坐标系。制图实践中常使用的有地理坐标系(渍，)、球面极坐标系(，z)和球面直角坐标系(x，y)。如图3-7所示，其中K为第3章地球椭球体基本要素和公式·53·球面上某一点，P是地理坐标系极点，Q是球面极坐标系极点。各坐标系之间可以进行简单的相互换算。
地理坐标与球面极坐标之间的关系：利用球面三角公式，在球面三角形PKQ中有一般情况下，大多数地图投影都采用地理坐标作为球面上点位的参数来建立与平面直角坐标系相对应的投影方程式，从而获得地图的数学基础。
在实用上，有时为使变形情况最为良好，或者使投影符合某一指定的条件而采用横轴或斜轴投影。此时坐标系中的经纬线投影后将会成为较复杂的曲线，用地理坐标表示点位时则对投影公式的推导与计算都比较麻烦，若选用适当的球面上的其他坐标系却有可能沿用正轴投影的公式，从而改善了计算的方法，于是便需要应用球面极坐标系及进行由地理坐标系到球面极坐标系的变换。
在采用球面极坐标系时，首先要确定一个极坐标的“极点冶Q，球面上的各点便可以新极Q为原点，以方位角和天顶距z表示其位置。从形式上不难看出，新极点相当于地理坐标系中的北(南)极P(P1)，方位角相当于，天顶距z相当于90。-渍。可见，球面极坐标系与地理坐标系形式上基本一致，地理坐标系的极点P(渍=依90。)仅是地球表面上的一个特殊点，地理坐标系也仅是球面极坐标系的一种特殊情况。
这样，要用球面极坐标计算地图投影，仅需将制图区域内各经纬线交点的坐标渍、用式(3-13)换算成新坐标系中的极坐标，z，然后把视为，把90。-z视为渍，应用现成的正轴投影公式进行计算而毋须另行推导横轴与斜轴的投影公式。可见，利用球面上的坐标变换方法，使得地图投影的公式获得更加普遍的运用。
下面需要解决的是如何确定一个制图区域中的新极Q及如何把制图区域内各点的渍、换算为，z的问题。
在制图实践中，通常有下列三种情况。
1.新极在投影区域的中心点上通常可按已有的地图，或者利用地球仪来目估确定Q点及其渍0，0，或者取制图区域边界上一定数量点的经纬度求其算术平均值，即：
