【教学目标】
使学生理解排列的意义,并且能在理解题意的基础上,识别出排列问题,并能用“树形图”写出一个排列中所有的排列。
【教具准备】投影胶片或多媒体的幻灯片。
【教学过程·第一课时】
一、设置情境
看下面的问题:
问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
这个问题,就是从甲、乙、丙3名同学中选出2名,按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的顺序排列,求一共有多少种不同排法的问题。
二、探索研究
解决这个问题需分2个步骤。第1步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人有3种方法;第2步,确定参加下午活动的同学,只能从余下的2人中选,有2种方法,根据分步计数原理,共有3×2=6
种不同的方法。
如图所示为所有的排列。(出示投影)
我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个,按照一定的顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法。
我们再看下面的问题:
问题2从a、b、c、d这四个字母中,取出3个按照顺序排成一列,共有多少种不同的排法?
解决这个问题,需分3个步骤:
第1步,先确定左边的字母,在4个字母中任取1个,有4种方法;第2步,确定中间的字母,从余下的3个字母中去取,有3种方法;第3步,确定右边的字母,只能从余下的2个字母中去取,有2种方法。
根据分步计数原理,共有4×3×2=24种不同的排法,如图所示。(出示投影)
由此可以写出所有的排列(出示投影):
abcabdacbacd
adbadcbacbad
bcabcdbdabdc
cabcadcbacbd
cdacdbdabdac
dbadbcdcadcb
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
教师指出:我们所研究的排列问题,是不同元素的排列,这里既没有重复元素,也没有重复抽取相同的元素。
排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按照一定顺序排列”。“一定顺序”就是与位置有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。
根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同。也就是说,如果两个排列所含的元素不完全一样,那么就可以肯定是不同的排列;如果两个排列所含的元素完全一样,但摆的顺序不同,那么也是不同的排列。
上面定义的排列里,如果m<n,这样的排列(也就是只选一部分元素作排列),叫做选排列;如果m=n,这样的排列(也就是取出所有元素作排列),叫做全排列。
例题写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列。
为了使写出的排列既不重复又不遗漏,教师应介绍一般的方法。
解:所有排列是abacbcbacacb
教师指出:在问题2中,先画“图”,再写出所有排列的方法——“树形图”法,可以保证有条不紊、不重不漏地写出一个排列问题中所有的排列。
三、演练反馈
1.下列问题中哪些是排列问题?如果是在题后括号内打“√”,否则打“×”。
(1)20位同学互通一封信,问共通多少封信?
(2)20位同学互通一次电话,问共通多少次?
(3)20位同学互相握一次手,问共握手多少次?
(4)从e,π,5,7,10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数,问共有几种不同的对数值?
(5)以圆上的10个点为端点,共可作多少条弦?
(6)以圆上的10个点为起点,且过其中另一个点的射线共可作多少条?
2.在A、B、C、D四位候选人中,选举正、副班长各一人,共有几种不同的选法?写出所有可能的选举结果。
参考答案
1.略。
2.解:选举过程可以分为两个步骤。第1步选正班长,4人中任何一人可以当选,有4种选法;第2步选副班长,余下的3人中任一人都可以当选,有3种选法。根据分步计数原理,不同的选法有4×3=12(种)。
其选举结果是:
ABACADBCBDCD
BACADACBDBDC
四、总结提炼
排列问题,是取出m个元素后,还要按一定的顺序排成一列,取出同样的m个元素,只要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种不同的方法(两个不同的排列)。
由排列的定义可知,排列与元素的顺序有关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题。当元素较少时,可以根据排列的意义写出所有的排列。
五、布置作业
课本P94 1.
六、板书设计
排列(一)
(一)设置情境
问题1
问题2
(二)排列的概念
(三)例题分析
例题
(四)练习
(五)小结
第二课时
【教学目标】
进一步理解排列的意义,掌握排列数的概念及其计算公式与推导过程,并能应用。
【教具准备】直尺与投影胶片。
【教学过程】
一、设置情境
上节课我们做了这样一道作业题:写出从5个元素a,b,c,d,e中任取2个元素的所有排列。
解决办法是先画“树形图”,再由此写出所有的排列,共20个。
若把这题改为:写出从5个元素。a,b,c,d,e中任取4个元素的所有排列,结果如何呢?
方法同上,共120个,数字较大,排列写起来挺“烦”,若再把这题改为:写出从8个元素a,b,c,d,e,f,g,h中任取4个元素的所有排列,结果又如何呢?
方法仍然照用,但数字将更大,写起来更“啰嗦”。
师问:研究一个排列问题,往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列,那么能否不通过-一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢?这节课我们就来共同探讨这个问题:排列数及其公式。
二、探索研究
1.排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作Amn。
教师应当指出,注意区别“一个排列”与“排列数”的不同:“一个排列”是指“从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列”,不是数;“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,是一个数。因此符号分只代表排列数,而不表示具体的排列。
2.排列数公式
求排列数Amn可以这样来考虑:先求排列数A2n,阅读教材第90页相关内容,再思考解决Amn。
假定有排好顺序的m个空位,从n个不同元素a1,a2,…,an中任意取m个去填,一个空位填一个元素,每一种填法就对应着一个排列;反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到。因此,所有不同填法的种数就是排列数Amn。
第一位第二位第三位第m位
↑↑↑↑
nn-1n-2n-m+1
填空可以分为m个步骤:
第1步,第一位可以从n个元素中任选一个填上,共有n种填法;第2步,第二位只能从余下的n-1个元素中任选一个填上,共有n-1种填法;第3步,第三位只能从余下的n-2个元素中任选一个填上,共有n-2种填法;……
第m步,第m位只能从余下的n-(m-1)个元素中任选一个填上,共有n-m+1种填法。
根据分步计数原理,全部填满m个空位共有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)种填法。
于是得到公式Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
这里m、n∈N+,且m<n,这个公式叫做排列数公式。它有以下三个特点:(1)第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1。
(2)最后一个因数是n-m+1。
(3)共有m个因数。
当m=n时,Amn=n(n-1)(n-2)…2·1=n!。
正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示。
注意:①阶乘符号“!”借用于标点符号,表示感叹,意味着随着n的不断增大,n!的值增加的令人惊奇的快。这个符号很形象、很贴切。
②排列数公式的推导是“构造”框图来解决的,框图是一种简单的数学建模,学习时要引起重视。
因此,排列数公式还可以写成Amn=n!(n-m)!
为了使上面的公式在m=n时也能成立,我们规定0!=1.
一般情况下,第一个公式常用于计算;第二个公式是常用于证明。
3.例题
计算
(1)A316(2)A66(3)A46
解:(1)A316=16×15×14=3360
(2)A66=6!=720
(3)A46=6×5×4×3=360
三、演练反馈
1.解方程A32x=100A2x.
(由一名学生板演后,教师讲评有关排列数方程的解法)
2.证明:Amn+1=Amn+mAm-1n。
3.计算从5个元素a,b,c,d,e中任取4个元素的排列数。
参考答案
1.解:原方程可化为
2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1)
∵x≠0且x≠1
∴2x-1=25
解得x=13
经检验x=13是原方程的根。
2.证明:右边=n!(n-m)!+m×n!(n-m+1)!
=(n-m+1)+m×n!(n-m+1)!
=(n+1)n!(n-m+1)!=(n+1)![(n+1)-m]=Amn+1=左边
即原式得证。
3.解:A45=5×4×3×2=120
四、总结提炼
排列数的计算与以前学过的计算不同,它是用分步计数原理推导的,要掌握其特点,并注意两个公式的适用范围。同时要掌握公式的推导方法。
五、布置作业
课本P95练习2,3,4.
六、板书设计
排列(二)
(一)设置情境
问题
(二)排列数及其公式
(三)例题与练习
例题
练习
(四)小结
第三课时
【教学目标】
能把一些简单问题中的具体的计算“个数”问题转化为排列,以及排列数的计算,从而解决一些简单的排列问题。
【教学过程】
一、设置增境
问题1什么叫做排列?
问题2什么叫做排列数?排列数的公式是怎样的?
(由一名学生回答,教师纠正,引入新课。)
我们已经从分析具体的例子出发,得到了排列的概念,推导出了排列数的公式,具备了一定的计算能力,就是说掌握了有关排列的一些基础知识。那么,如何运用这些知识来解关于排列的简单应用题呢?
二、探索研究
例1某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加,每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛?
分析:很明显,这个问题可以归结为排列问题来解,任何2队间进行一次主场比赛和一次客场比赛,对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列,因此总共进行的比赛场次数等于排列数A214。
解:A214=14×13=182(场)
答:共进行了182场比赛。
教师归纳。(投影出示)
在解排列应用题时,先要认真审题,看这个问题能不能归结为排列问题来解,如果能够的话,再考虑在这个问题里:(1)n个不同元素是指什么?
(2)m个元素是指什么?
(3)从n个不同元素中取出m个元素的每一种排列,对应着什么事情?
要充分利用“位置”或框图进行分析,这样比较直观,容易理解。
例2(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人1本,共有多少种不同送法?(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人1本,共有多少种不同的送法?
解:(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列,因此不同的送法种数是:A35=5×4×3=60
(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的书都有5种不同的方法,因此送给3名同学每人1本书的不同方法的种数是5×5×5=125
答:略。
(教师点评这两道题的区别。)
例3某信号共用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?
解:如果把3面旗看成3个元素,则从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号。
于是,用1面旗表示的信号有A13种,用2面旗表示的信号有A23种,用3面旗表示的信号有A33种。根据分类计数原理,所求信号的种数是:A13+A23+A33=15
教师点评:解排列应用题时,要注意分类计数原理与分步计数原理的运用。
三、演练反馈
1.4辆公交车,有4位司机,4位售票员,每辆车上配一位司机和一位售票员,问有多少种不同的搭配方案?
2.由数字1,2,3,4,5,6可以组成多少个没有重复数字的正整数?
3.20位同学互通一封信,那么通信的次数是多少?
参考答案
1.提示:A44A44=576种
2.提示:A16+A26+A36+A46+A56+A66=1956个3.提示:A220=380次
四、总结提炼
排列问题与元素的位置有关,解排列应用题时可从元素或位置出发去分析,结合框图去排列,同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用。
五、布置作业
1.课本P95练习5,6。
2.从4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的3块土地上进行试验,共有多少种不同的种植方法?
六、板书设计
排列(三)
(一)设置情境
问题1
问题2
(二)例题与练习
例1
例2
例3
练习
(三)小结
第四课时
【教学目标】
能初步掌握有限制条件的排列问题的解法。
【教学过程】
一、设置情境
从上一节课的简单应用题的解法中可以知道,一个问题是否为排列问题,关键是看与元素的顺序是否有关,在计算中除运用排列数公式外,还要结合分类计数原理与分步计数原理。
在实际中有些问题往往比较复杂,给出了一定的限制条件,如下面的问题:6个队员排成一列进行操练,其中新队员甲不能站排头,也不能站排尾,问有多少种不同的站法?
像这样的问题,需要在正确理解题意的前提下,细致地分析与考察可能的情况,进行恰当的算法设计。
二、探索研究
对上个问题可进行如下分析:
分析1:要使甲不在排头和排尾,可先让甲在中间4个位置中任选1个位置,有A14种站法;然后对其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法。根据分步计数原理,共有站法A14·A55=480(种)
分析2:由于甲不站排头和排尾,这两个位置只能在其余5个人中,选2个人站,有A25种站法;对于中间的四个位置,4个人有A44种站法。根据分步计数原理,共有站法A25·A44=480(种)
分析3:若对甲没有限制条件,共有A66种站法,这里面包含下面三种情况:(1)甲在排头;(2)甲在排尾;(3)甲不在排头,也不在排尾。