第一课时
【教学目标】
理解组合及组合数的意义，掌握组合数与排列数的联系，掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单的组合问题。
【教学过程】
一、设置情境
问题：有5本不同的书
（1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，有几种不同的分法？
（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？
分析：问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是排列问题，而在问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有数量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是排列问题，它就是我们这一节要研究的组合问题。
二、探索研究
1．复习
问题1什么叫做排列？排列的特征是什么？
问题2什么叫做排列数？它的计算公式是怎样的？
（由一名学生回答，教师补充或纠正）
2．组合
看下面的问题
引例1从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
很明显，从3名同学中选出2名，不同的选法有3种：甲、乙乙、丙丙、甲所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、甲是同一种选法。
引例2从不在同一条直线上的三点A、B、C中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？
根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过任意两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：AB、BC、AC，直线AB与直线BA是一条直线，这也就是说，“把两点连成直线”时，不考虑点的顺序。
以上两个引例所研究的问题是不同的，但是，它们有数量上的共同点，即它们的实质都是：从3个不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序并成一组，一共有多少不同的组？
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从排列与组合的定义可知，排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别。因此，如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。
3．组合数及其公式
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。记作Cmn。
这里要注意Cmn是一个数，应该把它与“组合”区别开来。例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素的所有组合是ab、bc、ac，而组合数是C23=3。
排列与组合是有区别的，但它们又有联系。一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Amn，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cmn。
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数Amn。
根据分步计数原理，得到Amn=Cmn·Amm因此Cmn=AmnAmm=n（n-1）（n-2）…（n-m＋1）m！。
这里m、n∈N＋，且m≤n，这个公式叫做组合数公式。
上面的公式还可以写成Cmn=n！m！（n-m）！。
上面第一个公式一般用于计算，但当m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式。
4．例题分析
例1（出示投影）下面的问题是排列问题？还是组合问题？
（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？
（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？
（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？
（由一名学生口答。）
例2计算：（1）C47（2）C710
解：（1）C47=A47A44=7×6×5×44×3×2×1=35
（2）C710=A710A77=10×9×8×7×6×5×47×6×5×4×3×2×1=120
例3求证：Cmn=m＋1n-mCm＋1n。
证明：右边m＋1n-mCm＋1n=m＋1n-m·n！（m＋1）！（n-m-1）！=Cmn=左边
所以原式得证。
三、演练反馈
1．解方程：11C3x=24C2x＋1。
（一名学生板演后，教师讲评，应强调解组合数方程要验根）
2．已知Cmn＋2∶Cm＋1n-2∶Cm＋2n＋2=3∶5∶5，求m、n的值。
（一名学生板演后，教师讲评）
参考答案
1．解：原方程可化为
11·x！3！（x-3）！=24·（x＋1）！2！（x-1）！
整理得
11x2-105x-50=0
解得x=10或x=-511（不合题意舍去）。
经检验x=10是原方程的根。
2．解：依题意得
3Cm＋1n＋2=5Cmn＋2Cm＋1n＋2=Cm＋2n＋2整理得8m-3n=1n-2m=1
解得m=2n=5
四、总结提炼
组合的定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组，与排列是有区别的。但事物总是一分为二的，排列与组合也有一定的联系，从两者的联系中推导出组合数公式，要能理解、记住并正确地运用，尤其要注意逆用公式。
五、板书设计
组合（一）
（一）设置情境
问题
（二）导入新课
1．组合
2．组合数及其公式
（三）例题与练习
例1
例2
例3
练习
（四）小结
第二课时
【教学目标】
掌握组合数的两个性质并能简单应用。
【教学过程】
一、设置情境
计算：（1）C22＋C23＋C24＋…C210（2）C9810
（让学生计算一会，教师提问）
有简洁明快的计算方法吗？本节课就来探讨这个问题。
二、探索研究
1．组合数的两个性质
为了更好地计算组合数，我们先研究组合数的两个性质。
先看下面的问题：
从a、b、c、d四个不同元素中，每次取出3个元素的组合与每次取出1个元素的组合为abcabdacdbcd
dcba
我们看到，从4个元素中每次取出3个元素的一个组合，与剩下1个元素的组合是一一对应的。因此，从4个元素中取出3个元素的组合数，与从这4个元素中取出（4－3）个元素的组合数是相等的，即C34=C4-34
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素。因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下n－m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数，即性质1Cmn=cn-mn
（可由学生自行证明）
为了使上面的公式在m＝n时也能成立，规定C0n，当时m＞n2，利用这个性质计算比较简便。
再看下面的问题：
从a1，a2，a3，…，an＋1；这n＋1个不同元素中，每次取出m个元素。
（1）可以有多少个不同的组合？
（2）在这些组合里有多少个是含有a1的？
（3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？
（4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
从n＋1素中取出m个元素的组合有Cmn＋1个，其中含有a1的有Cm-1n个，不含a1的有Cmn个。根据分类计数原理，得性质2Cmn＋1=Cmn＋Cm-1n
（可由学生自行证明）
注意：上面两个性质，除了可用组合数公式证明外，还可以根据组合定义直接得到。用组合数公式证明，可以提高学生对数学式子的变形能力；用组合定义直接得到，可以使学生认识两个性质的意义，有利于对性质的理解和记忆。
2．例题分析
例1计算：C299＋C399
解：C299＋C399=C3100=100×99×983×2=161700
例2解方程：C2x25=Cx＋425
解：原方程为
C2x25=Cx＋425或C2x25=C21-x25
∴2x＝x＋4或x＝7
解得：x＝4或x＝7
经检验x＝4，x＝7都是原方程的根。
演练反馈
1．计算：C04＋C51＋C62＋…＋C91
（学生练习后，教师讲解）
2．求证：cnm＋cnn＋1＋cnn＋2＋cnn＋m=cnn＋m＋1
（一名学生板演后，教师讲评。）
3．解决设置情境中的问题。
参考答案
1．解：
C04＋C15＋C26＋…＋C913
=C05＋C15＋C26＋…＋C913
=C16＋C26＋C37＋…＋C913
=C813＋C913=C914=C514
=14×13×12×11×105×4×3×2×1=2002
2．证明：∵cn＋1n＋k＋1=cnn＋k＋cn＋1n＋k∴cnn＋k=cn＋1n＋k＋1-cn＋1n＋k令k=1，2，3…，m分别代入上式得
cnn＋1=cn＋1n＋2-cn＋1n＋1
cnn＋2=cn＋1n＋3-cn＋1n＋2
…
cnn＋m=cn＋1n＋m＋1-cn＋1n＋m各式相加，注意到cnn=cn＋1n＋1，得cnn＋cnn＋1＋cnn＋2＋…＋cnn＋m=cn＋2n＋m＋1
3．（1）C22＋C23＋C24＋…＋C210=C33＋C23＋C24＋…＋C210
=C34＋C24＋C25＋…＋C210=C35＋C25＋…＋C210
=C311=11×10×93×2×1=165
（2）C98100=C2100=100×992=4950
三、总结提炼
组合数的两个性质要从组合的定义去理解和记忆。性质1在当m＞n2时，Cmn转化为cn-mn可简便计算；性质2表达组合数的递推性质，它可用于计算求值，更重要的是用于恒等式的证明。
四、板书设计
组合（二）
（一）设置情境
问题（1）
问题（2）
（二）组合数的两个性质性质1
性质2
（三）例题与练习
例1
例2
练习
（四）小结
第三课时
【教学目标】
掌握一些简单的组合问题的解法。
【教学过程】
一、设置情境
排列与组合的区别是什么？
（由一名学生回答，教师补充或纠正）
前面我们研究了排列应用题，组合应用题的解法与排列应用题的解法类似。首先要审题，看能不能把这个问题归结为组合问题来解。如果能够的话，就要考虑：这里的元素是指什么？每一种组合对应的是什么事情？
从本节课开始我们就来研究一些简单的常见的组合问题。
二、探索研究
例1平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
解：以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210=10×92=45
由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即A210=10×9=90
教师点评：区别排列与组合的关键是看元素有无顺序，若不考虑线段两个端点的顺序，则是组合问题；若考虑线段两个端点的顺序，则是排列问题。
例2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是：C38=8×7×63×2×1=56
（2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27=7×62=21
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37=7×6×56=35
教师点评：此题正好验证了组合数的性质2。
例3在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，为C3100=100×99×986=161700
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有C12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C298种。因此抽出的3件中有1件是次品的抽法的种数是C12C298=98×97=9506
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数，就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法的种数，即C3100-C398=9604
教师点评：注意间接计算法的运用。此题（3）若用直接法来计算可以分类。
恰有一件次品
C12·C298=9506
恰有两件次品
C22·C198=98
故共有：
C12·C198＋C22·C198=9604（种）
但要注意这样一种错误：
C12·C199
即在2件次品中任选1件次品，而后在剩下的99件产品中任意选2件。
错因是：这个组合问题在分步解决中“出现了顺序”。
三、演练反馈
1．有5双不同型号的鞋子，从其中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同号的取法又有多少种？
（学生练习后，教师讲解，本题很容易重复计算，教师要说明原因）
2．有11个工人，其中5人只会当钳工，4人只会当车工，还有2人既会当钳工又会当车工。现在要从这11人中选出4人当钳工，4人当车工，一共有多少种选法？
（学生练习后，教师讲解分步的方法）
3．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现要挑选5名队员参加比赛，种子选手有且仅有一个在内，那么不同的选法共有多少种？
（学生练习后，教师讲解分类的方法）
参考答案
1．解：从中任取4只，就是从10只鞋子中任取4只，不同的取法有C410=210（种）
所取的4只没有2只是同号的取法有
C45·24=80（种）
所取的4只有一双是同号的取法有
C15C24·22=120（种）
2．解：设a、b代表既会当钳工又会当车工的两人，那么合乎条件的选法可分为以下几类：（1）a、b都没有被选在内的方法有C45C44＝5种。
（2）a、b中有一人被选在内。
①a、b中有一人被选当钳工的方法有C12C35·C44=20种。
②a、b中有一人被选当车工的方法有C12C45·C34=40种。
（3）a、b都被选在内。
①a、b都被选当钳工的方法有C25C44=10种。
②a、b都被选当车工的方法有C24C45=30种。
③a、b中有一人当钳工，另一人当车工的方法有2C35C34=80种。
所以一共有5＋20＋40＋10＋30＋80＝185种选法。
3．2C12·C47=70
四、总结提炼
一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没有顺序，交换其中两个元素是否改变所得的结果。组合问题的解法与排列问题类似，除注意两个计数原理的运用外，还要恰当地选择直接法或间接法。
五、板书设计
组合（三）
（一）例题分析
例1例2例3（二）练习（三）小结
第四课时
【教学目标】
