婆什迦罗Ⅱ指出，如果甲有(2x-100)个卢比，那么在第一种情形下，乙应有(x＋100)个卢比。由此可化为具有一个未知量的方程：
x+110=6(2x-110)
这种引进辅助未知量的方法很像丢番图的方法(以(x＋100)代替第二个方程中之y，而以2x-100代替此方程中之x)。
印度代数的较大成就是引进了负数，当问题涉及到债务或反向运动时，印度人使用了负数，他们像运用正数一样运用负数。但是在有关一次方程的问题中没有见到负数解。
印度学者解二次方程的方法比丢番图优越。在《阿耶波提亚》中就有关于求解完全二次方程的问题。其中一个问题是根据算数级数的和S、第一项a和公差d求项数，相当于方程：dn2＋(2a-d)n=2S他用文字给出了一个正根。
婆罗摩笈多的著作对二次方程进行了详细的讨论，他的长足进步在于给出了解方程ax2+bx+c=0(a＞0，b、c可为负数)的一般方法。
在婆罗摩笈多的著作中，人们发现了对负数进行加法和减法的解释。他把正数称为“财产”，负数称为“债务”。加减法的运算法则是：“两个‘财产’之和是‘财产’，两个‘债务’之和是‘债务’，‘财产’和‘债务’之和是他们的差，而如果它们相等则和是零，‘债务’与零之和是‘债务’，‘财产’与零之和是‘财产’，两个零之和是零。”对于减法，婆罗摩笈多指出，“如果大减小，则‘财产’减‘财产’得‘财产’，‘债务’减‘债务’得‘债务’，如果小减大，则结果刚好相反，零减‘债务’得‘财产’，零减‘财产’得‘债务’，‘债务’减零得‘债务’，‘财产’减零得‘财产’；为了从‘债务’中减‘财产’或从‘财产’中减‘债务’，必需求出它们的和，前者应得‘债务’，后者应得‘财产’。”
婆罗摩笈多的法则本质上与中国古代《九章算术》的相同，但增加了：
(＋a)＋(－ a)＝ 0
0＋0＝ 0
(±a)-0=±a
在婆什迹罗Ⅱ的著作中出现了负数的乘、除法法则。即两个“财产”或两个“债务”之积是“财产”“财产”乘“债务”是“债务”；除法相同。他还进一步说明了正数的平方根计算。他说，“财产”有两个平方根，一个是“财产”，一个是“债务”。这就给出了正数平方根的双值性。但对虚数没有认识，他声称“债务”不能是平方数。
由于婆什迦罗Ⅱ认识到了正数平方根的双值性，所以对于二次方程他也求出了两个根，但他并不是第一个发现这一事实的数学家，这要归功于九世纪上半叶巴格达学者花拉子模。
婆什迦罗Ⅱ的著作中有这样一个题目：“一群猴子在玩耍，其八分之一的平方数个猴子在树林中蹦跳，余下的12只猴子在山顶大声喊叫，请你告诉我一共有多少只猴子？”这个问题经变换得：
(x－32)2＝256
婆什迎罗Ⅱ着重指出，32大于256的平方根，所以256的正负两个平方根对此问题都有意义，一般情形他是不取负根的。对于不合题意的正根，他也放弃不取。
在印度学者的著作中还发现一些可以化为二次方程的方程。
在印度数学中，高次方程的解法没有什么进展。只出现几例简单的，或经变换后化为简单的三次或四次方程。婆什迦罗Ⅱ给出下列两个方程：
x3-6x2＋12x＝35
x4－2x2－400x＝9999
经变换后分别化为：
(x－2)3＝27
和(x2＋1)2＝(2x＋100)2
在婆什迦罗Ⅱ的著作里出现了无理数和无理式的运算。他把无理数和有理数一样看待，从而获得了相当复杂的关系。
根据这些关系式，他可以任意化简各种复杂的关系式。
在不定方程方面，印度学者取得了很大成就，他们建立了自己的独特方法。这种方法出现在婆罗摩笈多和婆什迦罗Ⅱ的著作中，即所谓的“扩散法”或“研细法”。
为解形如ax＋b＝cy (1)的方程，婆什迦罗首先说明如何求两个数的最大公因数。并指出，如果自由项b不能被未知量系数的最大公因数整除，那么方程无解。婆什迦罗解方程的方法本质上与现代借助于连分数的方法没有区别。我们用现代的符号简要说明之。
通常把这个连分数缩写为：
［q0，q1，q2，…，qn-1，qn］
x＝(-1)nbQn-1＋Qnt
y=(－1)nbPn-1＋Pnt
连分数中的qk是在求a与c的最大公约数的过程中得到的，即运用欧几里得辗转相除法：
a=cq0+c1
c=c1q1＋c2
……
cn-2=cn-1qn-1+cn
cn-1=cnqn
此处cn=(a，c)，如果cn＝1，则(a，c)＝1
考虑婆什迦罗Ⅱ的一个例子：
60x+16=13y(n为奇数)
于是x=-80＋13t，y=-368＋60t
当t＝7时得到方程的最小正整数解。
x=11， y=52
婆什迎罗Ⅱ的计算简写为：
1·16＋0＝16
1·16＋16＝32
1·32+16＝48
1·48＋32＝80
4·80+48＝368
用13减80得x＝－67，y＝60－368＝－308。然后他把6·13加在-67上，得x=11，把6·60加在-308上，得 y＝52。
在婆什迦罗Ⅱ的著作中还有一个不定方程问题与中国古代《张邱建算经》中的“百鸡问题”相类似，称为“百禽问题”，这类问题可能是从中国传入印度的。
印度学者在不定方程方面的重要贡献是解整系数方程
y2＝ax2＋b(1)
及其特殊情形
y2＝ax2+1(2)
这类方程最早出现在古希腊的著作中。例如方程
y2＝2x2＋1
婆罗摩笈多和婆什迦罗Ⅱ研究了方程(1)和(2)。他们证明：如果从方程的一个解x，y出发(xy≠0)，可以求出无穷多个解来。方程(2)后来又由费马、欧拉和拉格朗日研究，1769年，拉格朗日建立了解方程(2)的完整理论。
从阿耶波多Ⅰ开始，算术级数的求和法就引起了印度数学家的兴趣。他们采用特殊的术语并计算了许多级数的和。
阿耶波多Ⅰ精通算术级数的各种性质，他知道中项、通项和求和公式。他还引进了三角形数、平方数和立方数的求和公式。马哈维拉推广了阿耶波多Ⅰ的结果，得到了算术级数各项平方、立方，以及以算术级数和为通项的级数求和公式。
大约在同一时期，在中国也得到类似结果。
据记载，早在公元前2世纪，印度人就知道了组合数的求法以及公式，婆什迦罗Ⅱ还建立了允许重复的排列数和组合数的计算方法。在《丽罗娃提》中有——个有趣的排列问题：“湿婆神的十只手拿着十件东西：绳子、钩子、蛇、鼓、头盖骨、三叉戟、床架、匕首、箭、弓。如果将这些东西交换，共有多少种不同的方式？正象哈利神四只手交换拿着的狼牙棒、铁饼、莲和贝壳一样。”婆什迦罗Ⅱ也许想使他的学生对这个庞大的数目大吃一惊！
排列组合问题的研究可能与印度人见长于诗歌有关，为求出n个诗步中长短音的配置方法而出现了组合学。
(四)几何学
印度学者在几何学方面的贡献明显地逊色于他们在算术和代数方面的成就。在很多情形下，他们的几何知识并不比亚历山大几何学家有多少进步。例如，婆罗摩笈多与亚历山大的塞翁的著作中的几何部分就有许多相似之处。
婆罗摩笈多著作中的几何部分有这样的特点：在某些计算问题中，除给出精确的公式(当然有些问题得不到精确公式)外，还给出在实际中便于应用的近似法则。
两个世纪以后，马哈维拉用类似的方法求出三组整数，并用这些毕达哥拉斯数来构造圆内接四边形。
婆什迦罗Ⅱ应用代数知识解直角三角形，表现出一定的技巧。例如他曾解决这样一个问题：已知周长和面积求直角三角形的三边。如用现代符号表示，相当于假设：
xy＝p(1)
x＋y＋z=q(2)
由此可得：
(x＋y)2－(x2+y2)=2p
(x＋y+z)(x＋y－z)＝2p
于是有：
由(2)，(3)联立得
xy=p(5)
再由(4)及(5)可以确定x和y。
在另一个问题中，已知xyz=p，x＋y＋z＝q，求x，y，z。婆什迦罗Ⅱ也是先求出z来，然后求x和y。印度学者解直角三角形的方法与中国古代算书的方法有些相似之处。
在印度的几何学中很少见到命题的证明，偶尔见到的证明也十分简短，多数情形是把证明压缩为图形和指示语“请看！”
迦涅挲类似地解释了圆面积的公式：圆面积等于边长分别为周长之半和半径的矩形的面积。他给出的图形具有古希腊数学家的原子论思想。婆什迦罗Ⅱ用类似的方法建立了球体积和表面积的公式，他把球看成由顶点在球心、底在球面的大量针形锥体所组成。
印度几何著作的主要特点是结论的简要性和用仅有“请看！”字样的图形来代替证明。
一般说来，印度数学著作的书写以简单、格言式或诗歌形式著称，而命题或法则更加言简意赅。教学时则需详细讲解方能领会，具有“请看！”字样的图形作为直观上的注释为理解命题提供了方便。
(五)三角学的开端
印度学者对三角学的研究晚于其他学科，但是他们所做的工作十分重要。
早期的三角学，是伴随着天文学而产生的。在希腊化国家中，由于天文学的发展，越来越多地利用三角关系作为辅助的计算工具。例如，托勒密的著作中曾论述制作日晷的原理，并保留有世界上最早的三角函数表，即从0°到90°每隔半度的弦表。
希腊的天文学影响了印度天文学的发展，这无疑也推动了三角学的进步。许多从希腊人那里继承的计算法则发生了系统的变化。首先是用正弦，即半弦代替全弦，它们之间的关系是chord2α=2sinα。从形式上看，弧2α的弦等于弧α正弦的二倍，只差一个常数因子，似乎这种变换没有本质的区别。但事实上，由全弦向正弦的转化有深远的意义，因为这就自然而然地引进了与直角三角形的边与角有关的各种函数。
在《阿耶波提亚》和一些历数书中已经出现正弦、余弦和正矢函数(即半径与余弦之差，关系为versα＝1－cosα，现已不用)。阿耶波多Ⅰ称正弦为jva，是猎人的弓弦的意思。后来传到阿拉伯国家，译为dschba。由于阿拉伯文书写中只保留辅音和长元音，这个词就写成dschaib，意为“胸膛”。12世纪，欧洲人译为拉丁文的“胸膛”(Sinus)，最后演变成Sine。
印度人称余弦为kotijva，即余角的正弦，或简写为koti。译为阿拉伯文为dschaib altamam。12世纪，由克雷莫那的杰拉德译为拉丁文Sinus residui。15世纪的数学家开始使用Sinus complementi，即余角的正弦。1620年第一次出现缩写符号co·sinus表示余弦。
三角量之间第一个关系式是毕达哥拉斯定理的直接表达式：
sin2α＋cos2α＝1
这些关系式在瓦哈拉米希拉的著作中就有很清楚的表述。12世纪的婆什迦罗还使用了两角和与差的正弦法则。当半径不等于1时，印度学者则用文字来描述这些命题。
在天文学中应用三角学自然要制造三角函数表。印度最早的正弦和正矢表出现在《太阳的知识》和《阿耶波提亚》中。在后一著作中列表给出了正弦和正矢从3°45′(225′)开始，间隔225′的24个值。显然没有任何一个希腊的弦表是它的原型。下表列出了古印度三角函数表中开头和末尾各四个值，取自《阿耶波提亚》中。表中的二阶差分Δ2和正弦值精确到分的百分之一。阿耶波多Ⅰ把圆周分为360°，再把每1°分为60′，而直径和三角量的测量也用弧的单位来表示。如表中所见，印度人采用半径等于3438′的圆进行计算。这个数字是由2πr=21600′当π＝31416时计算的结果。这个π值出现在《阿耶波提亚》中。
这个表的计算方法，在《阿耶波提亚》中没有记载。据科学史家推测，阿耶波多可能首先计算出30°，60°和45°的正弦值，如sin30°等于圆内接正六边形边长之半，即sin30°=1719′。
然后应用半角的正弦法则和平方根的计算求出22°30′，11°15′，15°，7°30′，3°45′的正弦值。对于3°45′即225′，印度人认为当弧长足够小时，其正弦值应等于弧长，他们取sin3°45′＝225′。
在《太阳的知识》中，给出了从sin225′开始利用差分方法制造的同样函数表的法则。而瓦拉哈米希拉则与亚历山大的数学家相同，他所造的正弦表取直径为120。
婆什迦罗造的表比阿耶波多的精确得多。
在印度的数学文献中，没有建立解三角形的一般法则。在《太阳的知识》中，隐含着某些球面三角学的定理。例如，通过不太复杂的变换可以把其中的法则化为直角三角形的正弦定理和一般的余弦定理。但是作者并没有把这些法则视作三角形诸元素之间的普遍关系。在《丽罗娃提》的第九章“论日晷的测量”中，利用日晷影长和相似三角形的定理测量物体的高度和距离。但是印度学者没能由此引出正切和余切概念——这是由9世纪上半叶伊斯兰国家的学者完成的。
在中世纪，政治动乱抑制了数学的发展。然而，西南部的喀拉拉地区在某种程度上能置身于政治动乱之外，因而在15～17世纪之间仍能取得突出的成就。这一时期最著名的学者是尼拉坎塔，他以对《阿耶波提亚》的重要评注而著称。1501～1502年间，尼拉坎塔著有《科学文集》，书中研究出一整套包含在微积分和级数论萌芽中的方法。
尼拉坎塔和东方的某些学者一样，确信圆周长与直径之比是无理数。他在对《阿耶波提亚》的注释中说“如果直径用某个单位来测量，那么周长就不能准确地用这个单位来测量；而如果对某个单位而言，周长能够测量时，直径就不能准确测量。”
