巴斯的阿德拉德是最早从事阿拉伯文献翻译的人之一。他是一位英国学者，据传青年时代曾踏遍古老文化之乡——希腊、小亚细亚、意大利和北非等，回到家乡后担任英国王储的家庭教师。当他了解到阿拉伯人手中有大量的希腊著作之后，就十分热衷于获取这些知识。为了能自由地活动于阿拉伯人控制的地区，他乔装成伊斯兰教信徒。他从阿拉伯文翻译的欧几里得《几何原本》，质量较高，发行也较早，在欧洲一直流行到16世纪。他还翻译了花拉子模的著作，使用了印度——阿拉伯数码。他还写了一本《自然的问题》，介绍他所了解的阿拉伯科学。
意大利学者杰拉德是12世纪最重要的翻译家。他一生中有很长时间在托菜多度过，在那里他把90多部阿拉伯著作译成拉丁文。包括数学、天文学、哲学、冶金术和医学等方面。例如托勒密的《天文集》、欧几里得《几何原本》、花拉子模的《代数学》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，以及亚里士多德的哲学著作和希波克拉底等人的医学著作等。
另两位著名的翻译家是英国的罗伯特和西班牙的希斯帕伦西斯。前者以翻译花拉子模的《代数学》而闻名。他还是最早把《古兰经》译成拉丁文的人。后者曾是基督教的传教士，翻译了许多数学和天文学著作，还利用阿拉伯原始资料写成《花拉子模实用算术书》，为传播印度——阿拉伯记数法作出贡献。
应该指出，12世纪所翻译的科学著作总的说来质量并不高，但也足以使欧洲人得以了解希腊和阿拉伯的数学，正是这些文献成为后来欧洲数学发展的基础。
另外，由于当时社会条件的变化，使原有的教会学校不能满足文化发展的需要。因此在12世纪以后，在教会学校的基础上，欧洲各地出现了许多大学。最早成立的有波伦亚大学、巴黎大学、萨莱诺大学(意大利)、牛津大学、剑桥大学和那不勒斯大学等。这些大学仍然控制在教会手里，用拉丁语授课，主要讲授“七艺”。大学的出现，使从穆斯林世界得到的新的学术思想迂回曲折地扩散出去。12世纪在数学史上是一个具有特殊意义的世纪，学者们为发现和传播古代文明所作出的重要贡献，其历史影响是巨大的。历时千年的黑暗时代总算出现了黎明前的曙光。
(三)斐波那契和13世纪数学
经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展。在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心。特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算。这时的欧洲出现了第一批理论数学家。意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家——斐波那契。
斐波那契，又称比萨的莱昂那多。他是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从——阿拉伯教师学习计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度——阿拉伯数系相媲美。斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成《算盘书》。这是向西欧介绍印度——阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度——阿拉伯数系而产生的“算法”。斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题。在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范。下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容。
《算盘书》共有15章。第1～5章介绍印度——阿拉伯数码记数法及其四则运算。他首先给出9个印度数码的写法及符号0的用途，以及如何记数。他还举例说明这种记数法的优越性。介绍了整数的四则运算及乘、除法的验算法，讨论如何把一个自然数分解为质数的乘积，以及能被2，3，5，9整除的数的特点，给出了大量的数表(乘法表、质数表等)。第6，7章介绍分数记法及其运算，混合分数(带分数)的记法按阿拉伯人的方式——分数部分写在整数部分的左边。作者指出用求最小公倍数的方法通分的优越性，阐述了把一个分数展开为几个单分子分数之和的方法，并列出有关的数表。包括商品价格、利润和利息的计算、金属合金的成色、混合物的比例、商品交换、货币转换及各种度量问题等。三位法的使用很普遍，还有较复杂的五位法(或称六个量法则)，即解两个三位法的问题。在第11章讨论的混合问题中出现了类似于中国古代数学家所熟悉的“百鸡问题”，不过问题被改为“三十钱买三十只鸟”：“今有30只鸟值30个钱币，其中，每只山鹑值3个钱，每只鸽子值2个钱，一对麻雀值一个钱，问每种鸟各多少？”9世纪阿拉伯数学家阿布卡米尔的数学著作中曾出现过“百鸡问题”，一般认为是由印度传入的。有资料表明，斐波那契接触过阿布卡米尔的著作，因此中国数学史家推测，这类问题是由中国经印度、阿拉伯国家而传入欧洲的。
第12章的内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法：算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等。几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册。问题的答案由下列和式给出：
1＋1＋2＋3＋5＋8＋…＋233
其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象。在12章中，有大量的问题可以化归为解一次方程。斐波那契称未知数为res，即一堆东西，没有引进代数符号。
值得指出的是，在第12章，还有两个问题也是由中国辗转传到欧洲去的：①求一数，它能被7整除，而被2，3，4，5，6除时均余1；②求一数，它被3，5，7除时分别余2，3，2
用双设法解线性方程，讨论了几种情况，计算过程用图表给出。这里还最早用单词minus和Plus表示不足和过剩，后来这两个词变成表示加法和减法的符号。第14章介绍平方根和立方根的近似计算，立方根的计算相当于使用下列公式
A=a3+r=a+r3a(a+1)
第15章是问题汇编，包括大量的几何和代数应用问题，许多内容取自花拉子模的《代数学》。除了未知数用res表示以外，在《算盘书》中，还采用了其他的术语，如根——radix，未知数的平方——census，根的平方——quadratus，自由项——numeres或denarins等。这些用语都是阿拉伯文中相应单词的拉丁文译文。
《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12——14世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响。
除了《算盘书》外，斐波那契还有三部著作传世：《实用几何》《花絮》《平方数书》。在《实用几何》中处理了大量的几何学和三角学的题材，共有8章。内容包括面积和体积的计算、平方根和立方根的近似计算，曲面的剖分，物体的测量以及关于圆的各种计算。应用了二次方程的求解，投影方法和几何图形的相似性等方法。在当时是一种很实用的小册子。《花絮》记载的是在罗马皇帝腓特烈二世的宫廷中举行数学竞赛时提出的问题。内容多是求代数方程的解，如解方程x2＋5＝y2，x2－5＝z2及x3+2x2＋10x=20等，他用逼近法给出第三个方程的近似解x＝1.3688081075，精确到小数点后9位。《平方数书》是一部专门讨论二次丢番图方程的著作，其中有许多是他本人的发现。书中系统地编排了各类问题，如详细讨论了上面提到的方程x2＋5＝y2，x2-5＝z2，给出了一系列重要结果及与此相关的命题，如“x2+y2和x2-y2不可能同是平方数”“x4－y4不可能是平方数”等。这部著作使斐波那契成为数论中介于丢番图和费马之间贡献最大的人物。
在13世纪以前，欧洲的记数法比较混乱，计算方法也十分复杂、笨拙。印度-阿拉伯数码及其计数法传入欧洲之后，使算术的面貌大为改观。但新计数法代替旧的计数法是一个漫长的过程。在斐波那契之后，又出现了一批介绍印度——阿拉伯算术的著作。在英国，有萨克罗博斯科的《算法书》；东罗马有普莱纽迪斯的《印度算术》；在法国有维尔迪厄的《算法歌》；在德国有约丹努斯的《算法论证》等。这些著作大多用拉丁文所著，后又从拉丁文译成多种文字，通行了几个世纪，对新记数法的引入和计算方法的改进起到重要作用。
(四)14世纪的数学
在14世纪，由于可怕的黑死病席卷欧洲，人死了三分之一还多。同时，使政治和经济上发生动乱的“百年战争”也始于这个世纪。这些因素使已经开始复苏的数学又失去了连续性。尽管如此，在14世纪也出现几位对数学有所贡献的学者，其中最重要的是奥雷姆和布雷德沃丁。
奥雷姆生于法国卡昂，祖先是诺曼底人。他早年研习神学，后成为一名神职人员，从牧师到主教，担任过多种职务。他一生著有多种著作，内容涉及哲学、神学、数学和天文学等多方面。在哲学方面，他翻译亚里士多德的著作并作出注释。在数学方面，他在《比例算法》一书中，首次引入分数指数的概念。根据他的方法，由43-64和6414-8，可以得出(43)12=8，即432=8，相当于现代(an)=amn。他还创设了分数指数的符号。他甚至还把指数推广到无理数的情形。奥雷姆的另一重要贡献是在他的著作《论质量与运动的结构》和《论图线》中开始研究运动和变化的量，提出一种图线原理，其实质相当于一种坐标几何。为表示随时间而变的速度，他用一水平线上的点表示时间，称之为经度；而不同时刻的速度则用纵线表示，称之为纬度。如图7-1，为表示一个从点O处为OA减到B处为零的速度，他画出了一个三角形，指出由AB中点E所定的矩形OBDC与三角形OAB等面积并表示以相同时间为底、平均速度为高的矩形，从而把物理变化同整个几何图形联系起来。他的中心思想是用图形来表示一个可变量的值，而这个量又依赖于另一个量的变化。也就是说用两个坐标(变化的量)来确定点的位置。这是从天文、地理坐标到近代坐标几何的过渡。但是他并没有指出代数和几何的本质联系。他的工作中已有函数及函数图示法的雏形。在一个世纪之后，《论图线》曾多次印刷，影响到文艺复兴时期的数学家，可能也包括笛卡儿在内。奥雷姆还研究了无穷级数的求和问题。例如，他证明了1+12·2+14·3+…12n+1·n+…=4。还证明了调和级数1+12+13+…+1n+…的值为无穷。他还把一些收敛级数与发散级数区别开来，并给出级数收敛的一种判别准则。
布雷德沃丁生于英国，早年在牛津学习神学，后来成为牛津大学神学教授和坎特伯雷的大主教。他在神学、哲学和数学方面都有贡献。在数学方面，他写了几本关于算术和几何的小册子。在他的《理论几何》中，研究了星状多边形和等周围形，得到一些重要结果，他还运用了表示正切和余切的概念，分别称之为“umbra versa”和“umbra recta”。在14世纪，由于一些哲学家的沉思导致了关于运动、无穷、连续等概念的思考和研究，布雷德沃丁就是一个代表人物。他考察了连续和离散、无穷大和无穷小等概念，他的工作被后人称为亚数学分析。
