值得注意的是，未经严格证明的分析工具仍被广泛使用，在获得新结果方面显示威力。格林首先使用了位势函数的极小化积分存在的原理，即现称的狄利克雷原理，它的严格理论迟至1904年才为希尔伯特阐明，但是在19世纪50年代就已成为黎曼研究分析学的重要工具。
随着分析工具的逐步完善，数学家开始更自觉地在数学其他分支使用它们。除微分几何外，解析数论也应运而生。1837年，狄利克雷在证明算术序列包含无穷多素数时，精心使用了级数理论，这是近代解析数论最早的重要成果。刘维尔则在1844年首次证明了超越数的存在，引起数学家对寻找超越数和证明某些特殊的数为超越数的兴趣。在下半世纪，林德曼利用埃尔米特证明 e为超越数的方法，证明了π的超越性，从而彻底解决了化圆为方问题。
(四)数学新思想的深化阶段
这一阶段从19世纪50年代到19世纪70年代。
1851年，黎曼的博士论文《单复变函数一般理论的基础》第一次明确了单值解析函数的定义，指出了实函数与复函数导数的基本差别，特别是阐述了现称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。黎曼本人利用这一思想出色地探讨了阿贝尔积分及其反演阿贝尔函数，1854年，黎曼为获大学讲师资格，提交了两篇论文，其中《关于作为几何学基础的假设》是数学史上影响最深远的作品之一。
在19世纪前半叶，数学家已认识到存在不同于欧氏几何的新几何学，并发展了内蕴几何和高维几何的理论，但它们处于分散与孤立的状态。黎曼以其深刻的洞察力将三者统一于 n维流形的理论，开始了现代微分几何学研究。
这是关于任意维空间的内蕴几何，黎曼以二次微分形式定义流形的度量，给出了流形曲率的概念。他还论证了能在球面上实现二维正的常曲率空间。据说黎曼的深刻思想当时只有高斯能理解。经19世纪60年代贝尔特拉米等人的介绍与推进，黎曼的理论才开始为广大数学家领悟，他们对微分不变量的研究，最后导致里奇创立张量理论。
在另一篇论文中，黎曼探讨了将积分概念推广到间断函数上去，提出了现称为黎曼积分的概念。他构造了具有无穷间断点而按他的定义仍可积的函数。寻找这类函数是19世纪70～80年代很时髦的课题。沿着扩展积分概念的方向，后来的数学家得到各种广义积分，最著名的当属20世纪初出现的勒贝格积分。
1859年，黎曼研究ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想，在几何、分析、数论领域长盛不衰，有力地影响着19世纪后期以至20世纪的数学研究。
魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”。
当德国学者在分析与几何领域大放异彩之时，英国学者继续发挥他们在代数中的优势。1854年，布尔发表了《思维规律的研究》，创立了符号逻辑代数，这是使演绎推理形式化的有力工具。布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。
1855年，凯莱在研究线性变换的不变量时，系统地提出矩阵概念及其运算法则。矩阵是继四元数之后的又一类不满足乘法交换律的数学对象，它们和群论都是推动抽象代数观点形成发展的重要因素。在凯莱之后，矩阵理论不断完善，不仅成为数学中的锐利武器，还是描述和解决物理问题的有效武器。
基于对矩阵和四元数的认识，凯莱还引进了抽象群的概念，但未立刻引起重视，抽象群论的发展还有待于对各种具体的群作深入的研究。
19世纪60年代末，若尔当担起了向数学界阐明伽罗瓦理论的重任，在发表于1870年的《置换论》中，他对置换群理论及其与伽罗瓦方程论的联系作出清晰的总结，为群论在19世纪最后30年间的发展奠定了基础。
在这一时期，数学家对射影几何及非欧几何的认识也日趋深化。1859年，凯莱论证了欧氏空间的度量性质并非图形本身的届性，而可以借助某种特定图形按射影概念加以建立，说明欧氏几何是射影几何的一部分。克莱因发挥凯莱的思想，同样论证非欧几何也可以包括在射影几何之内。这样便彻底澄清了射影几何与那些度量几何的关系，铺平了几何公理化发展的道路。
1868年，贝尔特拉米在伪球面上实现了罗巴切夫斯基几何，在欧氏空间中给出直观上难以想像的非欧几何模型。之后克莱因和庞加莱分别给出各自的非欧几何模型，说明非欧几何本身的相容性(即无矛盾性)与欧氏几何一致，加速了人们接受非欧几何的进程。
在60年代末70年代初，由高斯在19世纪初开辟的代数数论研究，经由戴德金和克罗内克等人的推进，形成为内容丰富的现代数学分支。戴德金引进一种代数数类代替库默尔的理想数，重建了代数数域中的唯一因子分解定理，创立了理想论。克罗内克则另辟蹊径，得到相似的概念，并创立有理函数域论，引进在域上添加代数量生成扩域的方法。
这里，需要提及概率论中的几项重要成果。在19世纪，概率论的发展不像数学其他分支那样突出。自拉普拉斯之后，泊松曾得到著名的泊松分布。更重要的是切比雪夫关于独立随机变量序列的大数律和某类独立随机变量序列的中心极限定理，概率论的系统理论到20世纪才完成。
综上所述，可看到19世纪前半叶出现的新思想，在这20多年间变得更成熟，形成了众多独立的研究方向或分支学科。
(五)数学公理化运动的初创期
这一阶段从19世纪70年代初到19世纪末。数学经过19世纪前70年的发展，讨论基础问题的条件已趋成熟。与以前的世纪不同，19世纪的数学家最终选择算术而不是几何作为本门科学的基础。
几何中普吕克有关齐次坐标的研究，分析中魏尔斯特拉斯的静态方法都反映了这种倾向。但是算术中最基本的实数概念始终是模糊的。柯西的实数定义有严重缺陷，犯了循环定义的错误。
1872年，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金和其他一些数学家，在确认有理数存在的前提下，通过不同途径给无理数下了精确定义。又经过不少数学家的努力，最终由意大利学者皮亚诺完成了有理数理论。1881年，他在《算术原理新方法》中，给出了自然数的公理体系，由此可从逻辑上严格定义正整数、负数、分数、无理数。
康托尔在探讨实数定义的同时，研究了傅里叶级数收敛点集的结构，1874年起发表一系列有关无穷集合的文章，开创了集合论这一基础性的数学分支。康托尔的成果是高度独创性的，他把无穷集本身作为研究对象，通过一一对应方法，区分无穷集的大小，定义了集合的基数(或称势)，引进序型、序数以及一些属于拓扑学的基本概念。他提出了著名的连续统假设。
康托尔的工作影响十分深远：首先是重新唤起人们对实无穷的研究，开拓了点集拓扑的领域；第二，使人们把函数的定义域建立在一般的点集之上，推动了测度论和泛函分析的研究；第三，由于集合论的内在矛盾，激发起对数理逻辑和数学基础的深入研究。
但集合论问世之初，曾遭到一些著名数学家的激烈反对，以至康托尔晚年处于精神崩溃状态。到19世纪末，阿达马等证实了康托尔的理论在分析学中的重要应用，才使这一理论得到转机，终于成为20世纪数学研究的一个基础。
分析的严格化以皮亚诺的自然数公理体系的建立而告一段落。这种公理化的倾向也同样在其他数学分支蔓延。弗雷格提出了逻辑公理体系，帕施得到了射影几何的公理体系。最著名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性，并证明欧几里得几何的相容性可归结为算术的相容性。
希尔伯特的工作掀起了公理化的热潮：一方面，数学家为各数学分支建立公理体系；另一方面，通过略去否定或其他方式改变所论体系的公理来探索新体系、新问题。
公理化运动并没有限制新思想的萌生和对各种具体课题的研究，后者始终是数学发展中最活跃的因素。群论的应用在这一时期特别引人注目，1872年，克莱因受聘任埃尔朗根大学教授时，发表题为《关于近代几何研究的比较考察》的讲演(即著名的埃尔朗根纲领)，他指出每种几何可由特定的变换群来刻画，各种几何的研究内容是在相应的变换群下的不变量，一种几何的子几何则是研究原变换群的子群的不变量。根据变换群的观点，克莱因对几何进行了系统分类，揭示了群的概念在几何中的统一作用(不包括一般的黎曼几何和代数几何)开拓了研究几何的一种有效的方法。克莱因的工作体现了数学专门化趋势中蕴含的统一因素。
1874年，挪威数学家李在研究常微分方程与保持这些方程的解不变的变换群之间的关系时，创建了连续变换群理论(现称李群)以及相应的代数(现称李代数)。有了对具体的群的广泛研究，抽象群论获得了新生。1882年，德国数学家迪克受凯莱工作的鼓舞，引进用生成元和生成元之间关系来定义群的抽象观点，开始抽象群论的系统研究。与此相伴的是分析与经典代数方法对群论的应用，即群的表示理论应运而生。
组合拓扑学作为一门学科在19世纪末登上了数学舞台。庞加莱是这一领域的主要奠基者。庞加莱是当时领头的数学家之一，兴趣广泛，研究涉及众多数学分支以至天体力学和物理科学。在探讨描述行星运动的微分方程周期解时，他采用了拓扑观点分析奇点及积分曲线的结构，开创了微分方程定性理论。在研究一般”维图形的结构时，引进了一套系统的组合方法，为组合拓扑奠定了基础。拓扑和抽象代数的观点和方法成为20世纪最有影响的研究手段。
与庞加莱齐名的另一位著名数学家是希尔伯特。他不仅积极创导了公理化方法，而且特别重视数学中单个重大问题的研究，认为这是数学活力之所在。他本人就通过解决一系列具体问题，得到许多重要方法。19世纪末，他发表了两个报告。《数论报告》系统总结了代数数论的全部成果，开辟了类域论的研究方向。
1900年，在第二届国际数学家大会上，希尔伯特作了影响深远的题为《数学问题》的报告，成为迎接20世纪挑战的宣言。
在数学分成几十个分支各自独立发展的形势下，希尔伯特坚信数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各部分之间的联系。在19世纪末，领头数学家对数学前途充满了信心，与18世纪末的情景形成鲜明对照。庞加莱和希尔伯特的业绩展示了20世纪数学大发展的曙光。
(六)数学学会与数学期刊
随着近代科学的诞生，数学在各种科学院、学会和期刊中就占据了重要的地位。1662年成立的英国皇家学会，1666年成立的法国科学院，1700年成立的柏林科学院，1724年成立的彼得堡科学院，都有为数众多的数学家。1665年开始出版的第一批科学刊物《博学者杂志》、《皇家学会哲学汇刊》就刊有数学文章，在1700年以前，约有17种杂志刊登数学文章。值得指出的是，1619年牛津大学首先设立了数学教授席位，其后1663年在剑桥大学设立了著名的卢卡斯数学教授席位。18世纪大约有200种期刊杂志发表数学文章，其中1794年创刊的法国《高等工艺学院学报》最引人注目。
1810年出现了第一份纯数学的杂志《纯粹与应用数学记事》，它是由热尔岗创办的，一直持续到1831年。1826年，克雷尔创办了德文版《纯数学与应用数学杂志》，历史上称为《克雷尔杂志》。1836年刘维尔创办了法文版《纯粹与应用数学杂志》，史称《刘维尔杂志》。这两个杂志刊登了19世纪许多著名数学家的论文，尤其是它们发表了阿贝尔、伽罗瓦等人被埋没的文章，因而在数学史上享有极高声誉。此外，1841年创刊的《数学和物理成就》，1842年创刊的《新数学年刊》都属于较早的数学专业期刊。19世纪后半叶数学期刊就更多了，其中主要有1870年达布创办的《数学科学通报》，1868年创刊的《数学记事》，1882年创刊的《数学学报》，以及1878年由西尔维斯特创办的第一个美国数学杂志《美国数学杂志》。出版高质量数学杂志的语言在19世纪末已近10种。刊登数学研究成果的刊物达950种。
19世纪许多国家成立了数学会。1865年成立了世界第一个数学会——伦敦数学会，1872年成立了法国数学会。1884年，意大利成立了数学会，与此同时，爱丁堡数学会也成立了。1888年成立了美国数学会。1890年成立了德国数学家协会。1887年成立了日本数学会的前身——东京数学会。
每个数学会都出版自己的刊物，有的甚至出版几种杂志，每个学会还致力于数学教育，因而为数学发展创造了良好环境。
到19世纪末叶，数学研究日趋复杂、深入，因而使得纵览、研究全部数学变得极为困难。在这种情况下，人们开始计划编写数学百科全书。1898年由迈尔首先倡导，在柏林科学院的支持下，开始编写《数学百科全书》。
这是19世纪数学的鸟瞰图。这件巨大的工程直到20世纪才完成。这是今日各种数学百科全书的先声。
