复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面(一维复流形)的自然推广，但是许多自然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流形。因为不是每一点都有一个邻域与Cn双全纯等价。显然这是因为有奇点的缘故。为此，必须把研究对象由复流形大大推广，这就是复空间或解析空间的概念。它们首先是由贝恩克和施泰因在1951年引进的。20世纪50年代中期起，运用层上同调理论，格劳尔特、雷姆尔特及施泰因等人得出一系列基本结果。
解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射(紧集的原象是紧的)。关于正常映射的基本结果是1960年格劳尔特证明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚层的各次直接象都是Y的凝聚层。特别地f(X)是Y的解析子空间。另外，广中平祐还把奇点解消定理推广到解析空间。
与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价(存在一对一的保角或共形映射)。庞加莱早就指出二维复数空间C2中球体丨Z1丨2＋丨Z2丨2＜1与双柱丨Z1丨＜1，丨Z2丨＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出。也知道Cn中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构。一般的解析空间的自同构群，只有个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如果Cn中两个严格伪凸域D1，D2之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同胚。1980年以后，有人给出简短的证明。
与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年外尔的《黎曼面的概念》一书。由于紧黎曼面与光滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，但在方法上却有微分几何学及分析上的好处。最重要的一类复流形是凯勒流形，特别是所有非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流形(浩治流形)才是代数流形。凯勒流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来的，它可看成黎曼面上调和函数论在复流形上的推广。调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和积分表示出来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲率与拓扑性质联系起来。
特别是强伪凸流形，解决σ——纽曼问题，开创了一个新时期，利用这种方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治——小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非紧、带边缘复流形上。
五、抽象代数几何学和丢番图方程
古典代数几何学主要研究三维复射影空间Pn(C)中的代数曲面和代数曲线，实际上与复分析不可分。但是无论从理论上还是从应用上讲，都要求对代数几何学作推广。例如把基本定理——黎曼——洛赫定理推广到代数曲面及高维代数簇上，多个代数簇的交截问题，舒伯特的计数几何的严密基础问题(这是希尔伯特第十五问题)等，尤其是许多数论问题更要求有限域的求解。这些都促使代数几何学的抽象化。从20世纪30年代起，抽象代数学、代数拓扑学、微分几何学的发展为代数几何学的抽象化提供了许多新工具，尤其是四五十年代层论中层的上同调及纤维丛的思想及同调代数方法更导致代数几何学基础的两次革新，并在不定方程上取得两次大突破，这是抽象代数几何学的突出成就。
第一次革新是抽象代数几何学的基础的建立，它反映在魏伊1946年出版的《代数几何学基础》一书中。虽然从20世纪30年代起，范·德·瓦尔登在十几篇论文中已经为代数几何学一些概念(如“一般点”)给了严密的定义，但“交截重数”的概念仍然成问题。魏伊解决了这个问题，他还把定义域由复数扩充到一般的代数封闭域(特别是特征不等于0的域，从而为数论问题的解决打通道路)。他还第一次把代数簇的概念由射影空间中解放出来，也就是给出一个“内在的”定义。相应地对于代数簇的其他概念也作了推广。1949年魏伊又把纤维空间概念引进理论当中。运用新的代数几何学工具，他于1948年成功地证明有限域上曲线的黎曼猜想，1949年提出更一般代数簇上的黎曼猜想，并证明一些特殊情形。这个所谓“魏伊猜想”推动了其后二三十年的代数几何学再一次更新。
第二次革新主要是格罗登迪克所建立的“概型”的庞大理论。概型理论把所有交换代数学都包括进去。它来源于1955年塞尔的工作。塞尔把多复变函数论中层的语言引到抽象代数簇上，把抽象代数簇定义为环式空间，这样代数簇成为具有查瑞斯基拓扑的拓扑空间，从而可以建立上同调理论，这样可以给出算术亏格等古典不变量一个上同调解释。1958年，格罗登迪克定义了比代数簇远为一般的概型概念，在其后十多年里，运用上同调理论，不仅推广了一系列古典定理，如查瑞斯基的主要定理，而且得出了一系列辉煌的新成就。
1.黎曼——洛赫定理的推广
1951年小平邦彦把代数曲线的黎曼——洛赫定理推广到代数曲面情形，把原来意大利数学家的不等式变成等式。照这样推广下去到高维存在许多困难，德国数学家希策布鲁赫当时在普林斯顿高等研究院同小平邦彦的讨论得知塞尔了解如何把黎曼——洛赫定理中的不变量用上同调来表示，从而得出一般代数簇的黎曼——洛赫定理的表达式，1953年底又知道托姆的配边理论，于是在1954年一举证明一般情形的黎曼——洛赫定理。1958年格罗登迪克又推广到更一般情形，最后纳入阿拉雅——辛格指标定理。
2．奇点解消
奇点解消是通过坐标变换把奇点消去或化简。19世纪已知代数曲线的奇点可以通过双有理变换消去，而代数曲面则一直到1935年才由沃克及查瑞斯基用不同方法给出证明。三维代数簇一直到1944年时查瑞斯基给出证明。高维代数簇的奇点解消越来越复杂，正由于一般理论的建立，1964年日本数学家广平中祐一举证明特征为0的情形，但特征为P的情形还未解决。
3．代数曲线的参模空间结构
1965年，美国数学家曼福德证明，任意代数闭域亏格为g的代数曲线的参模空间Mg具有抽象代数簇(概型)结构。1969年德林及曼福德证明Mg是不可约拟射影代数簇。塞梵利曾猜想它们是有理的，并证明g≤0时是有理簇的象，但曼福德等人证明g≥23非但不成立，而且还是一般型的。
与参模空间结构有关的变形理论于1955年由小平邦彦及斯宾塞系统给出。
4．高维代数簇的系统分类
高维代数簇要比代数曲线和曲面复杂得多。单有理代数曲线是有理的，也即同射影曲线双有理等价。但是对于三维及三维以上代数簇，长期以来并不知道，1970年左右，三组数学家用不同方法举出反例，由此可以看出高维问题极为困难。
但1972年左右，日本年轻一代数学家饭高茂仿照代数曲面的分类，引进小平维数对n维代数簇分成四类。其后其他日本数学家也对高维代数簇进行更细微的探讨，其中突出的结果有1978年森重文对光滑完全不可约n维代数簇是有理簇给出充分必要条件，即具有丰富的切丛，而且对特征大于0的代数闭域也成立。1987年森重文等完成三维代数簇的分类工作。
代数几何学在数论上取得两项突破：
第一个突破是德林在1973年证明的魏伊猜想。魏伊猜想是关于有限域上代数簇的同余ζ函数的黎曼猜想，对于代数曲线惰形，阿廷在1924年仿照黎曼ζ函数对于特殊情形定义了同余ζ函数。1931年施密特把它推广到一般情形。1934年哈塞证明椭圆曲线的同余ζ函数的黎曼猜想。对于亏格≥2的曲线，魏伊用他的抽象代数几何学工具于1940年给出了证明，1948年全文发表。1949年他对于一般的代数簇，定义类似的同余ζ函数并提出类似的黎曼猜想即所谓魏伊猜想。他还对一些特殊情形作了证明。以证明魏伊猜想为目标，格罗登迪克学派发展一系列新工具，特别是平展上同调使德林走完最后一步。魏伊猜想对许多数论问题的解决有极大的促进，特别是证明拉曼努詹猜想以及三角和的估计。
第二个大突破是法尔廷斯关于莫德尔猜想的证明。莫德尔猜想是说：如果K是任何数域，x是K上定义的亏格大于1的任何曲线，则x只有有限多个K有理点。它的最简单的情形是指如果n次多项式方程f(x，y)=0的系数是有理数，且n≥s，则这方程的有理数解的个数只有有限多个。如果方程系数是代数数，类似的结果也成立。1928年魏伊证明解构成的点群是有限生成的。1929年西格尔用丢番图逼近的方法证明多项式方程的整数解是有限的。其后30年间这问题进展不大。代数几何学的进展有助于得到一些结果，特别是1963年到1965年许多数学家独立证明，如果把代数数域换成代数函数域则答案是肯定的。1962年沙法列维奇提出一个猜想，1968年证明了由沙法列维奇猜想可以推出莫德尔猜想。而沙法列维奇猜想又与1963年发表的泰特猜想有关。这样利用代数几何学的工具在这些猜想之间来回穿梭，终于在1983年完成了莫德尔猜想的证明。
(三)应用数学的发展
数学并不是一门自然科学，它不讨论外在世界的实体与现象以及它们之间的相互关系。但是，长期以来，数学的成果却是与天文学、地理学、物理学(包括力学)乃至其他自然科学的研究联系在一起的。在这种背景之下，纯粹数学家、应用数学家、计算数学家往往三者集于一身，牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、高斯就是这方面的突出代表。19世纪中期以后，随着专业化的发展，除了最优秀的大数学家之外，只能在一个狭窄专业里取得一定成就，而且纯粹数学家以搞纯正的数学问题(如数论问题)为荣，对于应用数学不屑一顾，甚至一些应用数学家也以进行数值计算为耻，认为这些是下手活。这种分化对于整个数学乃至自然科学的发展是不利的。尽管如此，最优秀的一些数学家仍然在理论数学、应用数学甚至数值方法诸方面均作出一定的贡献。其中有法国的傅里叶、柯西、刘维尔·厄米特一直到庞加莱，德国的雅可比、狄里克雷、黎曼一直到克莱因、希尔伯特及闵科夫斯基。19世纪末开始编纂的德国《数学科学百科全书》公平地把数学一分为二：前半分为数论和代数、分析及几何学三部分，后半分为力学、物理学、天文学及测地学三部分。在克莱因的倡导下，应用数学受到一定的重视并且取得巨大的成绩。但同时国际上也越来越兴起越无用越纯粹的数学越好的说法：德国的数论专家朗道等讥讽普兰托等搞的应用数学为“润滑油技师”，英国的哈代说自己搞的数学都是没用的，而法国的两代数学家，20世纪初的函数论学派以及30年代兴起的布尔巴基学派都是以抽象为荣。直到第二次世界大战前后，纯粹数学、应用数学及计算数学和它们之间的关系有了巨大的变化，这表现在：
1.应用数学的领域大大扩展了，它不仅把以微分方程为主的数学物理学扩展到化学、生物学、地学乃至社会科学，而且所用的数学工具也扩张到群论、微分几何学、拓扑学。
2．随着电子计算机的出现，数值方法必须要适应机器的需要，从而使应用数学取得越来越多的成果。
3．反过来，应用数学的发展及计算机上的数值试验也推动了一系列纯粹数学问题的提出及解决，如唐纳逊由规范场理论出发导致四维拓扑学的突破，计算机试验导致KdV方程的解。
一、数学物理学
第二次世界大战之前，物理学的各项重大成就都与数学及数学家的贡献分不开。在爱因斯坦于1905年发表狭义相对论之前，对该理论贡献最大的有荷兰物理学家洛伦兹与法国大数学家庞加莱，而且有人认为庞加莱有不亚于爱因斯坦的功绩。为了对它给出数学表述，1907年闵科夫斯基第一个提出四维时空(即闵科夫斯基空间)概念，他的思想后来还引导爱因斯坦走向广义相对论。1912年爱因斯坦在他的同学格罗斯曼的帮助下，发现数学家早已发展起来的黎曼几何学及张量分析是广义相对论的适用工具。他于1915年11月25日最后得出对坐标变换协变的引力方程，稍早一些，希尔伯特也独立地得出该方程。1918年，外尔在他的《时间、空间和物质》中首次进行统一引力场及电磁场的尝试，虽然没有成功，但他提出的“规范不变性”的概念在二次大战后直接导致规范理论的发展。
同时，克莱因、希尔伯特及E诺特利用不变式理论得出物理原理，特别是诺特原理，它把对称变换的不变性与物理量的守恒性联系在一起。
1900年，德国数学家普朗克提出量子概念，到1925年发展成海森伯的矩阵力学及1926年薛定愕的波动力学，这标志着量子力学的诞生。而1924年出版的库朗——希尔伯特《数学物理方法》似乎早就为物理学准备好数学工具。矩阵力学及波动力学的等价性早在几十年前已在希尔伯特的掌握之中。海森伯写道“希尔伯特对哥廷根量子力学的发展的影响最为巨大。……现已表明，量子力学的数学方法原来是希尔伯特积分方程理论的直接应用”。希尔伯特说“无穷多个变量的理论研究，完全出于纯数学的兴趣，我甚至管这个理论叫‘谱分析’，当时也没有预料到它后来在实际的物理学光谱理论中获得应用”。希尔伯特同诺德海姆及冯·诺伊曼合写了《量子力学的公理基础》。冯·诺伊曼发展了希尔伯特空间及其算子理论，他推广希尔伯特的自伴算子成为量子力学适用的厄米特算子并发展其谱理论从而给量子力学建立了完整的数学基础。他的《量子力学的数学基础》成为这方面的经典著作。
第二次世界大战后，基本粒子的分类及规范场理论深刻地影响物理及数学的发展，由于李群表示论及代数几何学的进步，超弦理论成为当前最广泛的大统一场论。
二、计算数学
