罗朗·施瓦尔兹
如果说1936年的两位数学家是因古典分析而获得菲尔兹奖的话，那么施瓦尔兹则可以说是以在现代分析上的造诣而获奖的。他的主要贡献是创立了广义函数（分布）论，这个理论已成为泛函分析的重要分支，而且也成为研究现代数学尤其是分析数学的重要工具。
罗朗·施瓦尔兹于1915年出生于巴黎。在中学时期，他热衷于学习拉丁文和希腊文，同时也爱好数学、物理学、化学与生物学。尽管他后来研究的理论十分抽象，却始终不同于那些专钻牛角尖的数学家，他们除了眼前一点点东西之外，什么也不知道。他对于物理等“实际”问题始终怀有莫大兴趣，为此，他年纪轻轻就已下定决心：把他所知道的数学理论做成一个融会贯通的体系，或者把已知的理论进行系统的整理。这一方面当然是为了追求数学的美，更主要的是为应用创造有用的工具。这个想法的确预示了他后来的成就，广义函数论正是这种思想的集中体现。
1934年，施瓦尔兹考上了万人竟试的高等师范学校。他在学校学习了当时法国老一辈数学家所擅长的分析理论，像勒贝格积分、单复变函数、偏微分方程、微分几何学等课程。虽然这些老古董仍处于统治地位，但是变革的新风已不断地吹了进来。1935年，高等师范学校一批年轻的毕业生结成了布尔巴基学派，标榜新数学向旧数学发起冲击。当时他所接触的泛函分析主要来自勒瑞。施瓦尔兹看到，泛函分析正在改变着整个分析的面貌。
正在这个时候，他碰到了他未来的岳父保尔·列维。列维是一位伟大的数学家，他不像其他法国数学家那样受过正规训练，走着按部就班的学术道路，他是自修出身的。他搞的数学也远远偏离当时时髦的函数论，他是现代概率论的主要奠基人之一。在列维的影响下，施瓦尔兹写的第一篇论文就是关于概率论方面的。虽然以后他受布尔巴基学派的影响转向其他方面，但在他整个工作中仍然留下了这些最初培养的印记。
1937年，他从高等师范学校毕业，取得了教师资格。这时，希特勒的铁蹄就要踏上欧洲，年轻人都去服兵役。刚刚毕业的施瓦尔兹在兵营里当了三年兵。
1940年6月希特勒长驱直入，大学跟着政府纷纷南迁，斯特拉斯堡再度落入德国人的手中。布尔巴基学派许多成员先后跑到法国中部克莱孟—弗兰避难，小卡当、魏伊、丢东涅、德国尔萨特、埃瑞斯曼都来了，可以说是布尔巴基学派的大集中。施瓦尔兹也来到这里，同布尔巴基诸人的接触大大改变了他的学术道路。这期间他接触了一套一套的新概念、新理论。他懂得抽象代数学、拓扑学、泛函分析这些“新玩意儿”正是他今后所需要的工具。
这时，施瓦尔兹进入刚刚成立的法国国家科学研究中心任助手，开始写关于指数和的博士论文，可是他用的是泛函分析新方法。这都是布尔巴基学派的影响，连题目也是丢东涅在泛函分析课上提出来的。1943年他取得博士学位。1944年到格林诺布当讲师。1945年以后，转到布尔巴基学派的中心南锡，后来升任南锡大学教授。这时他开始系统地建立广义函数理论。
早在伽利略时代，数学中就开始引进变量的概念，从而使数学由常量的时代进入变量的时代。变量相互依存的关系称为函数，随着变量数学特别是分析数学的发展，函数概念也不断地发展变化。这正如数的概念的发展变化一样，完全来自数学发展的需要。17世纪微积分发展时，伴随着许多初等函数的研究，18世纪尤其是19世纪偏微分方程的发展，出现了许多特殊函数，于是要求一般的函数概念。德国数学家狄里赫利提出一般函数的概念之后，出现了许许多多病态的函数，比如不可微的连续函数等等。开始，这些病态函数只不过是数学家的创造，而到20世纪，物理学中也用到这种函数了。量子力学中的狄拉克δ函数就是一例。所谓δ函数在0处取值∞，在其他各点取值为0，而由-∞到+∞积分又等于1。这是一种连数学家也不承认的“怪”函数。
施瓦尔兹在大学中已经考虑过如何把函数的概念加以推广。使之可容纳像δ函数这类的函数。但是，他当时学的那一套经典理论是根本达不到这个目的的。现在他有了新工具，建立新的理论的希望更大了。1944年他在格林诺布一个人研究弗雷歇空间的对偶理论，这使他在1945年初几乎很快地就“发现”他所需要的广义函数。1945到1946年他发表了四篇广义函数的论文并在法兰西学院的讲课中加以讲授。
在他“发现”广义函数之前，他并不知道许多数学家已经有许多具体的广义函数概念了，有的概念甚至可以追溯到19世纪30年代。不过，施瓦尔兹的功绩在于建立一个完整的体系，而这点是其他数学家没有做到的。而现代的几乎所有应用都建筑在这个系统之上。这种问题使人想到微积分的发明。丢东涅说，施瓦尔兹对广义函数论所起的作用正像牛顿和莱布尼兹在微积分历史上的作用一样。牛顿和莱布尼兹并不像一般人所认为的那样“发明”
了微积分，早在他们还是小学生时，许多人就已经运用微积分的方法了。他们的贡献在于把微积分的概念和算法系统化，使之成为我们现在非常熟悉的一种强有力的多面手式的工具。同样，施瓦尔兹只是把以前的零散思想铸造成一种统一和完全的理论，并且加进许多新定义及结果（像张量积和卷积等重要概念）。这个结果集中地写在《广义函数论》两卷书中，它们分别于1950年及1951年出版。
广义函数论的理论体系形成之后，施瓦尔兹和他的学生不断发掘理论的潜在威力，并且寻找各种应用。这些年来，广义函数论已经成为分析的重要工具。
近30年来，施瓦尔兹在泛函分析、偏微分方程、概率论等方面做出了许多贡献。在1964年同嘉当合作组织的“阿提雅—辛格指标定理”的讨论班之后。独立主持“施瓦尔兹讨论班”，培养起一代新人，对当代分析、概率论产生了巨大的影响。
施瓦尔兹不仅是著名学者，他还是政治家、社会活动家。他甚至还用过整整半年时间，专门研究法国的教育改革问题，他说，这是他毕业后惟一没有搞数学的半年期间。他对于第三世界的数学发展也很关心，在世界各地有很大影响。
赛尔伯格
在菲尔兹奖的早期得奖者中，赛尔伯格在数学界活跃的时间相当长。他在20世纪40年代就崭露头角，1950年得奖之后，又继续在许多分支上做出重要的工作。在本世纪的数学史上（特别是数论史上），留下了一些以他命名的数学名词：赛尔伯格不等式、赛尔伯格等式、赛尔伯格渐近公式、赛尔伯格筛法、赛尔伯格ξ函数、赛尔伯格猜想……赛尔伯格是一位挪威血统的美国数学家。1917年6月14日，他生于挪威的朗根松。赛尔伯格的全部教育都是在挪威国家内接受的。挪威，是一个产生过阿贝尔这样伟大数学家的北欧国家，数学教育水平颇高。赛尔伯格在奥斯陆大学上学，大学毕业后又留下当研究生。1943年他获得了博士学位学位论文题为《论黎曼ζ函数的零点》。这篇1942年发表的长达59页的论文使他崭露头角，其影响远远超出了斯堪的纳维亚半岛。今天，每当人们谈到求证黎曼猜想这一难题的漫长历史时，总还得提起这一成果。
1959年，黎曼提出了一个八页的论文《论小于给定数的素数个数》，其中包含着好几个猜想。最著名的，就是迄今未获解决的“黎曼猜想”：
ζ（s）的所有其他零点的实部都是12，即若ξ（s），则s=б+it中б=12。
在希尔伯特23问题中，这个猜想是第八问题的核心。
然而从1859年起，已经过去100多年了，这个问题仍然是一个未解决的超级难题。
和其他一切困难问题一样，当人们无力从正面一下子加以解决时，就只好迂回地分阶段地对付它。现在进攻黎曼猜想的一个重要途径，是比较N（T）0（T）和N，这里N（T）是矩形｛0＜t＜T，0≤б＜1｝中ζ（s）的零点个数。黎曼猜想无非是说：对任何T＞0，有N0（T）=N（T）0由于上述线段是矩形的一部分，N0（T）≤N（T）是显然的。于是黎曼猜想等价于要证：N0（T）≥N（T）。
赛尔伯格的博士论文，在这个方向上跨出了重要的第一步。他证明了：
存在一个常数A，使得N0≥ATlogT。这大体上相当于：N0（T）≥A·N（T）。
赛尔伯格并没有具体算出其中的A是什么，事实上用他的方法得出的A非常小。离黎曼猜想所要求的A=1还很远。但他的成果毕竟是开拓性的，并因此而载入史册。
1942年到1947年间，赛尔伯格在奥斯陆大学作研究员。由于上述成果，他的名声远扬国外。1947年，赛尔伯格结了婚并应邀赴美，从此以后就一直留居美国。
赛尔伯格是1947年到达普林斯顿的，并在1951年成为普林斯顿高等研究院的教授。普林斯顿高等研究院是美国也是世界上的一个著名研究院。第二次世界大战期间及其后，这个研究院因为拥有爱因斯坦这样伟大的物理学家和外尔、冯·诺意曼这样杰出的数学家，而成为享誉世界的科学中心。赛尔伯格是20世纪50年代这个研究院数学方面的骨干之一。良好的环境，使他在这以后做出了多方面的成果。比较早而有趣的，当推1949年他给出的素数定理初等证明。
勒让德和高斯曾经根据大量的具体数字材料猜测到，不超过自然数x的素数个数（记为π（x），这是一个著名的数论函数）当π→∞时与xlogx很接近。
这就是所谓的“素数定理”。过了将近100年，这个定理才由阿达玛和达拉瓦勒布桑分别独立地给出用到复变函数方法的证明。以后，维纳又给出了一个方法也不初等的新证明。许多人怀疑这个定理最终是否会有初等证明出现。例如，英国解析数论大师哈代1921年在哥本哈根数学会发表讲演时就说过：虽然“断言一个定理肯定不能用某种方法证明是轻率的”，但是素数定理的初等证明照他看来是格外不可能的。“如果谁给出了素数定理的初等证明，那他就证明了（我们现在关于数论、解析函数论中何谓深刻，何谓肤浅的）见解是错误的……，从而到了该丢掉一些著作并重写理论的时候了。”
在哈代说了这句话28年以后，赛尔伯格和另一位同样年轻的匈牙利数学家爱多士同时用初等方法证明了素数定理。他们俩人的证明都依靠了同一个不等式——现在习称为赛尔伯格不等式，它的意义甚至超过了这个初等证明。
1950年，战后的第一次国际数学家大会在美国坎布里奇举行。赛尔伯格成了战后第一届菲尔兹奖的获得者之一。
得奖以后，赛尔伯格的研究兴趣曾遍及多个主题。1952年，他对布隆筛法作出了重要的改进，克服了后者定出的上下界过于宽泛的缺点。1956年，他写出了《弱对称黎曼空间中的调和分析和不连续群及其对于狄里赫莱级数的应用》一文，开拓了一个新的研究方向。从20世纪60年代起，他的研究兴趣转向连续群的离散子群。
斯梅尔
继托姆、米尔诺之后的又一位以微分拓扑学的重要成就而获得菲尔兹奖的科学家——斯梅尔。他的主要工作是证明广义庞加莱猜想。在1960年之后，他转向微分动力系统理论的研究，是现代抽象动力系统理论的创始人之一。这个理论也是20世纪60年代趋于成熟的新领域——大范围分析的重要组成部分。
斯蒂芬·斯梅尔1930年7月15日生于美国密执安州福林特。18岁考入密执安大学，1952年毕业，1953年获得硕士学位。然后继续在密执安大学跟着著名拓扑学家鲍特攻读博士学位。他的学位论文的题目是微分流形的浸入问题。这个问题是微分拓扑学的根本问题，要解决它需要很强的几何直观能力，而斯梅尔正是以此著称的。
1956年对斯梅尔是不平常的一年，他在这一年取得了博士学位，然后偕夫人克拉拉一起去墨西哥旅行。他参加了在墨西哥城举行的国际代数拓扑学会议，这是他头一次参加数学会议，也是他第一次进入国际数学界。这次会议对他的影响很大，几乎所有的名家大师都来了，其中有卡当、爱伦堡、斯廷洛德、怀特海等人，他们的工作奠定了战后代数拓扑学的发展新方向。会上一些新秀也都报告了他们最新的工作，像塞尔、托姆、米尔诺，他们都先后获得菲尔兹奖，尤其是他同托姆的会面更是对他的科研方向有着决定性的意义。开完会以后，托姆到芝加哥大学做报告，而斯梅尔也正好在芝加哥大学找到工作，因此他有机会直接学习托姆的理论。
斯梅尔喜欢旅行，而且饱览了许多国家的美丽风光。1958年到1960年，他得到国家科学基金会的奖学金，在普林斯顿高等研究院呆了一年之后，便带着妻子和孩子乘着出租汽车，穿过巴拿马的原始丛林南下，进入厄瓜多尔，在饱览安地斯高原风光之后，从厄瓜多尔首都基多乘小火车经过丛林到瓜亚基尔，然后乘飞机到巴西的里约热内卢。
在巴西，斯梅尔结交了一些新成长起来的拉丁美洲数学家，同他们一起研究动力系统。无疑，斯梅尔是其中的领袖人物。他经常一大清早在大西洋岸边，拿着一张纸、一支笔，一个人在那里沉思默想，他的思想丰富，他有许多思想就是那时在海滩上得到的。
这时，他证明了微分拓扑学中最重要的定理之一——广义庞加莱猜想。
庞加莱是法国著名数学家，他从19世纪末到20世纪初开创了组合拓扑学这个方向，是现代代数拓扑学的奠基人。他猜想，如果一个三维封闭流形是单连通，也就是它上面的圆圈都能收缩成一点的话，则这个流形就是三维球面。
尽管几代数学家下了很多工夫，这个宠加莱猜想至今尚未得到证明，成为拓扑学发展的一个严重阻碍。
三维庞加莱猜想证不出来，四维、五维乃至更高维的所谓广义庞加莱猜想似乎就更加没有希望了。而斯梅尔了不起的地方，就在于他知道三维、四维庞加莱猜想太难，索性绕过它，直接去攻大家认为没什么希望的五维以上的广义庞加莱猜想。他敢想敢干，最后取得了成功。这个伟大的成就，使他成为加州大学柏克利分校教授，1965年得到了范布仑奖。20年后，四维庞加莱猜想通过极其复杂的途径得到证明，三维的还没有成功。而斯梅尔早已不钻那牛角尖，转而研究动力系统了。
