（3）取最大值、最小值情况：
正弦函数y=sinx，当x=kπ＋π2时，（k∈Z）函数值y取最大值1，当x=2kπ-π2时，（k∈Z）函数值y取最小值－1。
余弦函数y=cosx，当x=2kπ，（k∈Z）时，函数值y取最大值1，当x=（2k＋1）π，（k∈Z）时，函数值y取最小值－1。
（4）正负值区间：sinx＞0x∈（2kπ，（2k＋1）π）
sinx＜0x∈（（2k＋1）π，2（k＋1）π）
cosx＞0x∈-π2＋2kπ，π2＋2kπcosx＜0x∈π2＋2kπ，3π2＋2kπ（k∈Z）
（5）零点：sinx=0x=kπ（k∈Z）
cosx=0x=kπ＋π2（k∈Z）
例题分析
例1求下列函数的定义域、值域：
（1）y=2-sinx；（2）y=-3sinx；（3）y=lg（sinx）。
解：（1）x∈R，1≤y≤3
（2）由-3sinx≥0sinx≤0（2k-1）π≤x≤2kπ（k∈Z）
又∵0≤-3sinx≤3，∴0≤y≤3
∴定义域为[（2k-1）π，2kπ］（k∈Z），值域为[0，3］。
（3）由sinx＞02kπ＜x＜（2k＋1）π（k∈Z），又由0＜sinx≤1
∴lg（sinx）≤0
∴定义域为（2kπ，（2k＋1）π）（k∈Z），值域为[-∞，0］。
指出：求值域应注意用到|sinx|≤1或|cosx|≤1有界性的条件。
例2求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：（1）y=cosx＋1，x∈R；（2）y=sin2x，x∈R；（3）y=|a|sinx＋b（4）y=asinx＋b。
解：（1）当cosx=1，即x=2kπ（k∈Z）时，y取得最大值ymax=2
∴函数的最大值为2，取最大值时x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z｝。
（2）当sin2x=1时，即2x=2kπ＋π2x=kπ＋π4（k∈Z）时，y取得最大值ymax=1。
∴函数的最大值为1，取最大值时x的集合为{x|x=kπ＋π4，k∈Z｝。
（3）若a=0，y=b，此时函数为常数函数。
若a≠0时，|a|＞0
∴sinx=1时，即x=2kπ＋π2（k∈Z）时，函数取最大值ymax=|a|＋b，∴a≠0时函数的最大值为|a|＋b，取最大值时x的集合为x|x=2kπ＋π2，k∈Z。
（4）若a＜0，则当sinx=-1时，函数取得最大值ymax=-a＋b。
若a=0，则y=b，此时函数为常数函数。
若a＞0，当sinx=1时，函数取得最大值ymax=a＋b。
∴当a＜0时，函数取得最大值-a＋b，取得最大值时x的集合为x|x=2kπ-π2，k∈Z；当a＞0时，函数取得最大值a＋b，取得最大值时x的集合为x|x=2kπ＋π2，k∈Z，当a=0时，函数无最大值。
指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对sinx或cosx的系数进行讨论。
思考：此例若改为求最小值，结果如何？
例3要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1）sinx=1-m2-m；
（2）cosx=a2＋b22ab。
解：（1）由|sinx|≤11-m2-m≤1，（1-m）2≤（2-m）2m≤32
∴当m≤32时，式子有意义。
（2）由cosx≤1a2＋b22ab≤1（a2＋b2）2≤（2ab）2（a2-b2）2≤0a2=b2，即a=±b∴当a=±b时，式子有意义。
演练反馈
（1）函数y=1＋sinx，x∈[0，2π］的简图是（2）函数y=2sinx＋2的最大值和最小值分别为A．2，－2B．4，0C．2，0D．4，－4
（3）函数y=cos2x-3cosx＋14的最小值是A．-74B．－2C．14D．-54
（4）如果sinx=a-1与cosx=2a同时有意义，则a的取值范围应为A．-12≤a≤12
B．0≤a≤2
C．0≤a≤12
D．a=25或a=0
（5）y=sinx与y=cosx都是增函数的区间是A．2kπ，2kπ＋π2，k∈Z
B．2kπ＋π2，2kπ＋π2，k∈Z
C．（2k＋1）π，2kπ＋3π2，k∈ZD．2kπ＋3π2，2kπ＋2π，k∈Z（6）函数y=2cosx-1的定义域，值域，y=0时x的集合为。
【参考答案】
1B2B3A4C5D
62kπ-π3，2kπ＋π3k∈Z；[0，1］；x|x=2kπ±π3，k∈Z【总结提炼】
（1）y=sinx，y=cosx的定义域均为R（2）y=sinx、y=cosx的值域都是[-1，1］（3）有界性：|sinx|≤1，|cosx|≤1
（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的x集合为无限集。
（5）正负敬意及零点，从图上一目了然。
（6）单调区间也可以从图上看出。
板书设计
1定义域
2值域例2
3最值
4正负区间例3
5零点课堂练习
例1
课后思考题：求函数y=sin2x-4sinx＋3的最大值和最小值及取最值时的x集合提示：y=（sinx-2）2-1
正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）
教学具准备
直尺、投影仪。
教学目标
1理解y=sinx，y=cosx的周期性概念，会求周期。
2初步掌握用定义证明y=f（x）的周期为T的一般格式。
教学过程
设置情境
自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等。数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角α的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sinα，cosα的值也具有周而复始的变化规律。为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）
探索研究
（1）周期函数的定义
引导学生观察下列图表及正弦曲线
-2π-3π2-π-π20π2π3π22πsinx010-1010-10
正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现。
联想诱导公式sin（x＋2kπ）=sinx（k∈Z），若令f（x）=sinx则f（x＋2kπ）=f（x），由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）=f（x），那么函数f（x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
如2π，4π，……及-2π，-4π……都是正弦函数的周期。
注意：周期函数定义中f（x＋T）=f（x）有两点必须重视，一是T是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立。
师：请同学们思考下列问题：①对于函数y=sinx，x∈R有sinπ4＋π2=sinπ4能否说π2是正弦函数y=sinx的周期。
生：不能说π2是正弦函数y=sinx的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式sinx＋π2=sinx成立，所以不符合周期函数的定义。
②f（x）=x2是周期函数吗？为什么
生：若是周期函数，则有非零常数T，使f（x＋T）-f（x），即（x＋T）2=x2，化简得T（2x＋T）=0，∴T=0（不非零），或T=-2x（不是常数），故满足非零常数T不存在，因而f（x）不是周期函数。
（2）最小正周期的定义
师：我们知道……-4π，-2π，2π，4π，……都是正弦函数的周期，可以证明2kπ（k≠0且k∈Z）是f（x）=sinx的周期，其中2π是f（x）=sinx的最小正周期。
一般地，对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。
今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期。
依据定义，y=sinx和y=cosx的最小正周期为2π。
（3）例题分析
例1求下列函数的周期：
（1）y=3cosx，x∈R；
（2）y=sin2x，x∈R；
（3）y=2sin12x-π6，x∈R。
分析：由周期函数的定义，即找非零常数T，使f（x＋T）=f（x）。
解：（1）因为余弦函数的周期是2π，所以自变量x只要并且至少要增加到x＋2π，余弦函数的值才能重复取得，函数y=3cosx，x∈R的值也才能重复取得，从而函数y=3cosx，x∈R的周期是2π。
即f（x）=3cosx=3cos（x＋2π）=f（x＋2π），∴T=2π（2）令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=sinz，z∈R的周期是2π，就是说，变量z只要并且至少要增加到z＋2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复取得，而z＋2π=2x＋2π=2（x＋π）所以自变量x只要并且至少要增加到x＋π，函数值就能重复取得，从而函数y=sin2x，x∈R的周期是π。
即f（x）=sin2x=sin（2x＋2π）=sin2（x＋π）
∴T=π
