说明：函数具有奇、偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称，故难证f（-x）=f（-x）或f（-x）=-f（x）成立之前，要先判断定义域是否关于原点对称。
例2求下列函数的单调区间：
（1）y=3tan12x＋π4
（2）y=tan-3x＋π6
分析：利用复合函数的单调性求解。
解：（1）令μ=12x＋π4，则y=3tanμ∵μ=12x＋π4为增函数，y=3tanμ在μ∈kπ-π2，kπ＋π2，k∈Z上单调递增，∴y=3tan12x＋π4kπ-π2＜12x＋π4＜kπ＋π2，即x∈2kπ-3π2，2kπ＋π2上单调递增。
（2）令y=tan-3x＋π6，则y=tanμ∵y=tan-3x＋π6为减函数，y=tanμ在μ∈kπ-π2，kπ＋π2，k∈Z上单调递增，∴y=tan-3x＋π6在kπ-π2＜-3x＋π6＜kπ＋π2上单调递减，即y=tan-3x＋π6在kπ3＋π18，kπ3＋7π18上单调递减。
例3求下列函数的周期：
（1）y=3tan2x＋π4
（2）y=7tanx3-π7
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期来解。
解：（1）f（x）=3tan2x＋π4
=3tan2x＋π4＋π
=3tan2x＋π2＋π4
=fx＋π2
∴周期T=π2
（2）f（x）=7tanx3-π7
=7tanx3-π7＋π
=7tan13（x＋3π）-π7
∴周期T=3π
师：从上面两例，你能得到函数y=Atan（ωx＋φ）的周期吗？
生：周期T=πω
例4有两个函数f（x）=asinωx＋π3，g（x）=btanωx-π3（其ω＞0中），已知它们的周期之和为3π2，且fπ2=gπ2，fπ4=-3gπ4＋1，求a、b、ω的值。
解：∵f（x）的周期为2πω，g（x）的周期为πω，由已知2πω＋πω=3π2得ω=2
∴函数式为f（x）=asin2x＋π3，g（x）=btan2x-π3，由已知，得方程组asinπ＋π3=btanπ-π3asin2×π4＋π3=-3btan2×π4＋π3＋1
即-32a=-3ba2=-b＋1
解得a=1b=12
∴a=1，b=12，ω=2
[参考例题］求函数y=lg（tanx-1）＋sin2x的定义域。
解：所求自变量x必须满足
tanx-1＞0sin2x≥0kπ＋π4＜x＜kπ＋π2kπ≤x≤kπ＋π2（k∈Z）
kπ＋π4＜x＜kπ＋π2（k∈Z）
故其定义域为x｜kπ＋π4＜x＜kπ＋π2，k∈Z演练反馈（1）下列函数中，同时满足①在0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是A．y=tanxB．y=cosx
C．y=tan12D．y=-tanx
（2）作出函数y=tanx1＋tan2x，x∈（0，2π），且x≠π2，3π2的简图。
（3）函数y=tan2x＋π4的图像被平行直线隔开，与x轴交点的横坐标是，与y轴交点的纵坐标是，周期，定义域，它的奇偶性是。
【参考答案】
（1）C。
（2）y=sinxx∈0，π2∪32π，2π-sinxx∈π2，3π2
（3）x=kπ2＋π8k∈Z；kπ2-π8k∈Z；1，T=π2；x｜x∈R且x≠kπ2＋π8，k∈Z非奇非偶函数。
【总结提炼】
（1）y=Atan（ωx＋φ）的周期公式T=πω，它没有极值，正切函数在定义域上不具有单调性（非增函数），不存在减区间。
（2）求复合函数y=Atan（ωx＋φ）的单调区间，应首先把A、ω变换为正值，再用复合函数的单调性判断法则求解。
板书设计
课题例1
例2
例3
例4
[参考例题］
演练反馈
总结提炼
【习题精选】
一、选择题
1函数y=tanxa的最小正周期是
A．πaB．π｜a
C．πaD．π｜a｜
2函数y=tanπ4-x的定义域是
A．x｜x≠π4，x∈R
B．x｜x≠-π4，x∈R
C．x｜x≠kπ＋π4，k∈Z，x∈R
D．x｜x≠kπ＋34π，k∈Z，x∈R3函数y=tan-π4≤x≤π4且x≠0的值域是A．[-1，1］B．[-1，0）∪（0，1］C．（-∞，1］D．[-1，＋∞）
4下列函数中，同时满足①在0，π2上是增函数；②为奇函数；③以x为最小正周期的函数是A．y=tanxB．y=cosx
C．y=tanx2D．y=｜sinx｜5已知函数f（x）=1tan2x-π3，下列判断正确的个数是①f（x）是定义域上的减函数，周期为π2。
②f（x）是区间（kπ，（k＋1）π）上的减函数，周期为2π。
③f（x）是区间23π，76π上的减函数，周期为π2。
④f（x）是区间π6，23π上的减函数，周期为π4。
A．0B．1
C．2D．3
6函数y=｜tanx｜的图像对称于
A．原点B．y轴
C．x轴D．直线y=x
7要得到y=tan2x的图像，只需把y=tan2x＋π6的图像A．向左平移个单位π6
B．向左平移个单位π12
C．向右平移个单位π12
D．向右平移个单位π6
8函数y=2tan3x＋π4的一个对称中心是A．π3，0
B．π6，0
C．-π4，0
D．-π2，0
9函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图像相邻的两支截直线所得线段长为y=π4，则fπ4的值是A．π4B．0
C．1D．－1
10在区间-3π2，3π2范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图像交点的个数为A．1B．2
C．3D．4
11要得到函数f（x）=tan2x-π3的图像，须将函数f（x）=tan2x的图像A．向右平移π3个单位B．向左平移π3个单位C．向右平移π6个单位D．向左平移π6个单位12函数y=tan12x-13x在一个周期内的图像是二、填空题
13函数y=1-tan22x1＋tan22x的最小正周期是。
14函数y=-tan2x＋（3＋1）tanx-3的定义域是。
15函数y=tan（sinx）的值域是。
16已知函数y=f（x）是以3为周期的奇函数，且f（-1）=1若tana=5＋12，则f（tan2a）=。
三、解答题
17试求函数y=2tanx＋｜tanx｜的定义域，并作出区间（-π，π）上的图像。
18已知lg12-cos（x＋π6）≤1求函数y=1tan2x＋5-2tanx的值域。
19求函数y=-2tan3x＋π3的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性。
20求证：函数y=Atan（ωx＋ψ）（A、ω≠0）为奇函数的充要条件是ψ=kπk∈Z。
【参考答案】
一、选择题
1B2D3B4A5A6B
7C8C9B10C11C12A二、填空题13π2
14x｜kπ＋π4≤x≤kπ＋π3，k∈Z15[-tan1，tan1］16－1
三、解答题
17由tanx＞0得函数的定义域为x｜kπ＜x≤kπ＋π2，k∈Z。
又当x∈（-π，π）时，
y=ctgx，x∈-π，-π2∪0，π2，无意义，x∈-π2，0∪π2，π其图像如图所示。
18由已知条件得0≤lg12-cos（x＋π6）≤1，解得-12≤cosx＋π6≤12，∴kπ＋π3≤x＋π6≤kπ＋2π3k∈Z，∴kπ＋π6≤x≤kπ＋π2k∈Z，∴0≤ctgx≤3，于是y=1tan2x＋5-2tanx=ctg2x-2ctgx＋5=（ctgx-1）2＋4。
∴当x=kπ＋π4（k∈Z）时y取最小值4，当x=kπ＋π2（k∈Z）时x取最大值5从而函数的值域为[4，5］。
19由3x＋π3≠kπ＋π2，得x≠kπ3＋π18（k∈Z），∴所求的函数定义域为：x｜x≠kπ3＋π18，k∈Z，x∈R；值域为R；周期为π3；它既不是奇函数，也不是偶函数；在区间kπ3-5π18，kπ3＋π18（k∈Z）上是单调减函数。
20充分性：
∵ψ=kπ，
∴y=Atan（ωx＋ψ）=Atan（ωx＋kπ）=Atanωx为奇函数，必要性：∵y=Atan（ωx＋ψ）是奇函数。
∴Atanω（-x）＋ψ=Atan（ωx＋ψ），∴tan（-ωx＋ψ）=-tan（ωx＋ψ），∴-tanωx＋tanψ1＋tanωxtanψ=--tanωx＋tanψ1-tanωxtanψ，∴-tanωx＋tanψ＋tan2ωxtanψ-tanωxtan2ψ=-tanωx-tanψ-tan2ωxtanψ-tanωxtan2ψ，∴2tanψ＋2tan2ωxtanψ=0，∴2（1＋tan2ωx）tanψ=0，∴tanψ=0，∴ψ=kπ（k∈Z）。
