因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧作简谐运动（等同于摆长为R的单摆），则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的14，即tB=T4=π2Rg>tA，所以A球先到达C点。
例3如图所示为一双线摆，它是在一水平天花板上用两根等长细线悬挂一小球而构成，每根摆线的长均为l，摆线与天花板之间的夹角为a，当小球在垂直纸面的平面内做简谐运动时，其振动的周期是多少？
出题目的：此题主要考查振动周期公式中摆长的实际确定。
解析：双线摆可等效为摆长为lsina的单摆，利用单摆振动的周期公式得双线摆的周期为T=2πlsinag例4北京地区重力加速度g1=9/812m/s2，南京地区重力加速度g2=9.795m/s2。在北京地区准确计时的摆钟搬到南京地区时，该钟是“走”快了还是“走”慢了？一昼夜相差几秒？应如何调节，该钟在南京地区才能准确计时？
出题目的：此题主要考查重力加速度对振动周期的影响情况。
解析：（1）该钟在北京和南京的摆动周期比：T1T2=g2g1=9.7959.812=0.9991
（或T1T2=g2g1=1.00087）
T2>T1，在南京一天摆动的次数少了，所以“走”慢了。
（2）在北京计时准确，一昼夜摆动的次数为：n1=24×60×60T1
该钟搬到南京时摆动周期为T2，摆动n1次实际时间为n1T2，所以走时差为：△t=n1（T2-T1）=24×60×60（T2T1-1）=75.2（s）
即一昼夜慢了75.2s
（3）调整的办法是将摆长缩短一点，使T2=T1，即：2πl1g1=2πl2g2
l2=（g2g1）l1=0.9983l1
例5如图，摆长为L的单摆，若在悬点O的正下方A点固定一颗钉子，A点距悬点O的距离为L／3，试求这个单摆完成一个全振动的时间是多少？
出题目的：此题主要考查振动周期公式的灵活使用情况。
解析：在摆角很小时，单摆的振动可视为简谐运动，当摆线不碰到钉子时，A点成为“悬点”，单摆的摆长由L变为2L／3由题意知，T=2πlgT=T12＋T22=2πLg2＋2π2L3g2
=πLg＋π2L3g
例6试确定下列几个摆球在平衡位置附近来回振动的周期。
（1）如图（甲）所示。悬挂在水平横梁上的双线摆球。摆线长为l，摆线与水平横梁夹角θ。
（2）如图（乙）所示。光滑斜面上的摆球。斜面倾角为θ，摆线长为l（3）如图（丙）所示。悬挂在升降机中的单摆，摆长为l，升降机以加速度a竖直向上做匀加速运动。
出题目的：本题主要考查等效摆长、等效重力加速度的实际运用情况。
解析：（1）双线摆在垂直于纸面的竖直面里作简谐运动，等效摆长为lsinθ，故振动周期为T=2πlsinθg（2）摆球在光滑的斜面上来回振动，回复力由小球重力沿斜面向下的分力mgsinθ决定，等效重力加速度为gsinθ，其振动周期为T=2πlgsinθ（3）升降机竖直向上作匀加速运动时，摆球“超重”，回复力由m（g＋a）决定，等效重力加速度为g＋a，摆球振动周期为T=2πlg＋a习题精选（一）
1.如图所示演示装置，一根张紧的水平绳上挂着五个单摆，其中A，E摆长相同，先使A摆摆动，其余各摆也摆动起来，可以发现A.各摆摆动的周期均与A摆相同
B.B摆摆动周期最短
C.C摆摆动周期最长
D.C摆振幅最大
2.关于简谐振动，以下说法正确的是：
A.振子在不同时刻通过同一位置时速度、动能必定相同B.回复力方向总与位移方向相反C.在平衡位置回复力为零，振子的惯性维持了振动D.单摆在平衡位置时回复力为零，加速度也为零3.同一地点的甲，乙两单摆的振动图像如图所示，下列说法错误的是A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的机械能比乙摆小
C.甲摆的最大速率比乙摆小
D.在1/4周期时振子具有正向最大加速度的是乙摆4.质点做简谐振动，从质点经过某一位置时开始记时，下列说法正确的是A.当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期B.当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期C.当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期D.当质点经过的路程为振幅的4倍时，经过的时间为一个周期【参考答案】1.BC2.BC3.B4.D
习题精选（二）
1.关于单摆，下列说法正确的是
A.摆球受到的回复力的方向总是指向摆球的平衡位置B.摆球受到的回复力是重力和绳子拉力的合力C.在摆角很小的情况下，摆球所受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比D.摆球经过平衡位置时，所受合力为零2.如图：两个单摆A和B的摆长LA＞LB，将它们都拉离竖直方向一个很小的角度θ然后释放，那么这两个摆球到达最低点时的速度v的大小和经历时间t的多少应满足A.vA＞vB，tA＞tBB.vA＞vB，tA＜tBC.vA＜vB，tA＜tBD.vA＜vB，tA＞tB3.摆长为L，摆球质量为m的单摆，以摆角θ（θ＜10°）摆动，它从最大位移处摆到平衡位置的过程中，下面说法正确的是A.重力的冲量为πmgL2
B.重力做的功为mgLcosθ
C.合外力的冲量为2gL（1-cosθ）
D.合外力的冲量为零
4.同一地点的甲、乙两单摆的振动图像如图所示，下列说法中错误的是A.甲乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的机械能比乙摆小
C.甲摆的最大速率比乙摆小
D.在14周期时振子具有正向加速度的是乙摆5.升降机中装着一只单摆，当升降机匀速运动时，单摆的周期为T，现升降机做变速运动，设加速度的绝对值小于g，则A.升降机向上匀加速运动，单摆振动周期大于TB.升降机向上匀加速运动，单摆振动周期小于TC.升降机向下匀加速运动，单摆振动周期大于TD.升降机向下匀加速运动，单摆振动周期小于T6.在相同的时间内，单摆A摆动了6次，单摆B摆动了8次，若两摆摆长相差14cm，那么A摆摆长为cm，B摆摆长为cm.
7.有一单摆，摆长为L，周期为T，若在悬点正下方距悬点距离为L2处和34L处的A、B两点分别固定一个光滑的圆钉，A钉在绳左侧，B钉在绳右侧，并使单摆做振幅很小的振动，则周期将变为T.
8.下列单摆的周期相对于在地面上的固有周期变大的是A.加速向上的电梯中的单摆
B.在匀速水平方向前进的列车中的单摆
C.减速上升的电梯中的单摆
D.在匀速向上运动的电梯中的单摆
9.一个单摆在地面上的周期为T，当将此摆放到离地面某一高度的地方时，周期变为3T，则此高度为地球半径的。
A.2倍B.3倍C.8倍D.9倍
10.一绳长为L的单摆，在悬点正下方（L-L′）处的P处有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是A.T＝2πLg
B.T＝2πL′g
C.T＝2π（Lg＋L′g）
D.T＝π（Lg＋L′g）
【参考答案】
1.A2.A3.C4.BC5.BC6.32；187.128.C9.A10.D相位【教学目标】
知识目标：
1.了解简谐运动位移方程中各量的物理含义。
2.理解相位的物理意义。
能力目标：
1.能利用简谐运动位移方程，确定简谐运动中的各物理量。
2.能利用简谐运动位移方程，判断两个振子物理量的对比问题。
情感目标
1.培养利用数学知识。解决物理问题的思维意识。
2.培养利用图像解决物理问题的思想方法。
【教学设计方案】
（一）导入新课
我们已引入了振幅来描述振动的强弱，周期和频率描述振动的快慢，但振幅、周期和频率不能反映振动物体在某时刻处于怎样的状态，不能比较两个振动的步调是否一致，这说明仅有振幅、周期和频率来描述振动还不够全面。
（二）教学过程
1.相位
两相同的单摆：①将摆球向同一侧拉离平衡位置达相同偏角后同时释放，它们的振幅相同，周期相同，并且可观察到它们运动的步调一致。②将摆球向同一侧拉离平衡位置达相同偏角后先后释放，它们虽振幅、周期相同，但可观察到它们运动的步调不一致。
（1）概念的引入：为了描述振动物体所处的状态和为了比较两振动的物体的振动步调，引入物理量相位。
（2）相位决定了振动物体的振动状态，两个振动的步调一致称为同相，步调完全相反称为反相。
2.简谐运动的振动方程
简谐运动的位移和时间的关系可以用图像来表示为正弦或余弦曲线，如将这一关系表示为数学函数关系式应为：x=Asin（△t＋φ）
说明：简谐运动的位移和时间的关系也可以用余弦函数表示。
（1）简谐运动的振动方程：我们称简谐运动的位移随时间变化的关系式：x=Asin（△t＋φ）为振动方程（位移方程）。
（2）圆频率：振动方程中的ω叫做圆频率（相当于匀速圆周运动中的角速度），也叫做角频率，它与周期或频率之间的关系为ω=2πT=2πf（3）相位的定义：我们把振动方程中正弦（或余弦）函数符号后面相当于角度的量（△t＋φ），叫做振动的相位，相位也叫位相、周相，或简称为相。
【注意】
同一个振动用不同函数表示时相位不同。
①相位（△t＋φ）是随时间变化的一个变量。
②t＝0时的相位φ，叫做初相位，简称初相。
③相位每增加2π，就意味着完成了一次全振动。
（4）相位差：顾名思义，是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异。
设两简谐运动A和B的振动方程分别为：
x1=A1sin（△t＋φ1），x2=A2sin（△t＋φ2）
它们的相位差为：
△φ=（△t＋φ2）-（△t＋φ1）=φ2-φ1可见，其相位差恰等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以对频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
若△φ=φ2-φ1>0，则称B的相比A的相超前△φ，或A的相比B的相落后△φ；若△φ=φ2=φ1<0，则称B的相比A的落后|△φ|，或A的相比B的相超前|△φ|（1）同相：相位差为零，一般地为△φ=2m．（n=0，1，2……）（2）反相：相位差为π，一般地为△φ=（2n＋1）π．（n=0，1，2……）比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。
例1两个简谐运动分别为x1=4asin（4πbt＋π2），x2=2asin（4πbt＋3π2）．求它们的振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差。
解析振幅之比A1A2=4a2a=21.它们的频率相同，都是f=ω2π=4πb2π=2b.它们的相位差△φ=φ2-φ1=π，而振动为反相。
例2一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5Hz，在t＝0时，位移是4cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程x=Asin（△t＋φ）解析简谐运动振动方程的一般表达式为。
根据题给条件有：A＝0.08m，ω=2πf=π所以x=0.08sin（△t＋π）（m）．将t＝0时x＝0.04m代入得0.04=0.08sinφ，解得初相φ=π6或φ=5π6．因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ=5π6.
所求的振动方程为x=0.08sin（π＋56π）（m）（三）课堂反馈测试1．有两个振动的振动方程分别是：x1=0.3sin（100π＋π3）m，x2=0.5sin（100π＋π4）m，下列说法正确的是
A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相差恒定
D．它们的振动步调一致
2．一质点做简谐运动，其振动方程为x=0.60sin（5t-π2）m，则振动的振幅为，周期为，t＝0时质点的位移为，振动的初相为3．一个简谐运动的振动方程是x=5cos（2π＋π2）cm，这个振动的最大位移值为，频率为，t＝0.1s时的相位是，在1s内物体通过的路程是【参考答案】1．BC
2．0.60m；1.26s；－0.60m；π/2或－3π/2
3．5cm；1Hz；0.7π；20cm．典型例题例题1有两个振动的振动方程分别是：x1=3sin（100π＋π3），x2=5sin（100π＋π4），下列说法正确的是A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相差恒定
D．它们的振动步调一致
出题目的：巩固并掌握简谐运动方程中各物理量的意义。
解析：依据两个振动方程我们知道：
方程1代表的振子振动振幅为3；圆频率为ω=2πf=100π，则f=50；初相为π/3.
方程2代表的振子振动振幅为5，圆频率为ω=2πf=100π，则f=50；初相为π/4.
所以，答案A错；B对；由于他们的振动周期相同，所以他们的相位差为π/3-π/4有确定的值，故选项C正确。
