无限不循环小数只能用小数表示不能用分数表示，而所有的有限小数和无限循环小数均能用分数表示，小数分为有限小数和无限小数，有限小数如1/5，无限小数包括无限不循环小数（如0.010010001……）和无限循环小数（如1/3）。
有理数是能精确地表示为两个整数之比的数。
如3，-98.11，5.72727272……7/22都是有理数。
整数和通常所说的分数都是有理数。有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数。
在数的十进制小数表示系统中，有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数。这一定义在其他进位制下（如二进制）也适用。
小数乘以整数：把小数乘法转化成整数乘法计算。
先把小数扩大成整数，按照整数乘法去计算，因数扩大了多少倍，积就要缩小多少倍。
积的小数位数与被乘数的小数位数有关，被乘数有几位小数，积就有几位小数。因为要把小数乘法转化成整数乘法，被乘数扩大了多少倍，乘数不变，积也随着扩大了多少倍。因此必须再把积缩小多少倍。
计算小数乘以整数，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看被乘数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
40.“几何学”一词是怎样产生的
几何学的诞生，首先来源于实践。
３０００多年前的尼罗河，年年泛滥成灾，汹涌的洪水淹没沿河两岸的土地。洪水退后，年年都得重新测量土地，逐渐形成了几何知识。几何学这个名词，在希腊文中就是“量地术”的意思。古埃及的皇帝叫“法老”，金字塔就是法老的坟墓。尼罗河三角洲南面，有７０多座金字塔，人们在建造这些巨大建筑物的过程中，也积累了丰富的几何学知识，后来发展成为一门独立的学科，被誉为“理智的财富”。在古希腊，人们十分重视几何学的研究，当时一个人若不懂几何学，就不能认为是有学问的人。
我国是文明古国之一，几何上的成就也很多，如商高定理、祖冲之圆周率、刘徽割圆术等等，都比西方国家要早得多。
大约在公元前３００年，古希腊数学家欧几里德把几何知识加以系统地整理，写了一本书，叫做《几何原本》，后来译成多国文字，今天各国的学校里讲授的几何学的主要内容，也是来自欧氏几何学。
明代万历三十五年（１６０７年），我国科学家徐光启与意大利传教士利玛窦合作翻译了《几何原本》的前六卷。徐光启利用英文几何一词即ｇｅｏｍｅｔｒｙ的字头ｇｅｏ音译为“几何”，而汉文“几何”的意义是“多少”，这个译名与原名的音与义都很贴切，译得很好。于是，“几何学”开始在我国广泛使用。
41.你知道世界上最大的质数吗
１９９２年，在质数研究方面，国际上又有重大突破。
３月２６日，英国科学家用超高速计算机，发现了到目前为止的最大质数，即２７５６８３９－１。
这个质数拥有２２７８３２位，个位数字是７。它将被载入《吉尼斯世界纪录大全》。
42.单位、单位名称有什么区别与联系
人们在计量物体的重量、长度、体积等时，要有一个量作标准；在计算数值或比较数值的大小时，也要有一个数值作标准。这些用作标准的量或标准的数，统称为单位。例如：米、厘米、分米是计量物体长度的单位；吨、千克、克是计量物体质量的单位；１是自然数的单位；是分数的单位等等。单位的作用很多。例如：单位相同，才能进行数的加减计算。整数相加减数位一定要对齐，小数相加减小数点一定要对齐，分数相加减，是异分母的，一定要先通分才能运算，就是这个道理。例如，５３＋４，５和４不能相加，因为５的单位是１０，而４的单位是１；６－３.５８，６与５不能相减，因为６的单位是１，而５的单位是十分之一；加法的单位不同，不能直接相加，必须先通分，两个分数的单位相同了，就可以相加。在比和比例的运算中，单位也要统一，如３小时和５０分的比，就不能写成３∶５０，必须化成同单位的比即１８０∶５０或３∶5060，才能进行化简和求比值的运算。
在计量、计数运算中作标准的那个量和那个数值，都有个名称，这个名称就叫单位名称。如十、百、千、万等是整数的单位名称；十分之一、百分之一等是小数的单位名称，千克、克等是物体质量的单位名称。特别要注意的是，在计量物体的长度、质量、面积等时，只能用各种不同的计量单位去计量，不能用“单位名称”去计量。如只能说某同学漏写了单位名称或写错了单位名称，而不能说忘了写“单位”了。实际上，忘记“单位”是不能运算的，没有“单位”也是不能计量的。
43.体积和容积有什么区别与联系
同学们从课本上可以看到，物体所占空间的大小叫体积；而箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。
显而易见，容积与体积有着紧密的联系。因为容积是箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，所以计量容积时的计算方法与所使用的计量单位，跟计量体积基本上是一样的。
但是，体积与容积还有诸多不同之处。首先，从概念上看，对空体（即中间是空的物体如箱、桶、罐一类）来说是容积，对实体来说是体积；从计量方法上看，计算物体体积时要按容器的外部尺寸计算，计算物体容积时，由于容器有一定的厚度，因此，要按内部尺寸计算；从所使用的计量单位看，计算体积使用的是立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米，计算容积时，一般也使用这些单位，但容积还有自己的计量单位——升和毫升，这是在计算物体体积时所不能使用的，它只限于计量液体（如水、油、药水、墨水等）时使用。
例如：用厚２厘米的木板做一个外长８０厘米、宽６０厘米、高４０厘米的长方体带盖木箱。试求：１.这个木箱占空间大小是多少？ ２.这个木箱容积是多少？
解：求这个木箱占空间大小是多少，就是求这个木箱的体积：
８０×６０×４０＝１９２０００（立方厘米）
求这个木箱的容积，应在木箱的长、宽、高中减去木箱的厚度：
（８０－４）×（６０－４）×（４０－４）＝１５３２１６（立方厘米）
答：１.木箱所占空间大小是１９２０００立方厘米。
２.木箱的容积是１５３２１６立方厘米。
从上面的例题可以看出，在计算实际问题时，要区别是求体积还是求容积，不能把求体积和求容积混为一谈。
44.直线、线段、射线三者之间有什么区别
直线——一点在平面上或空间沿着一定的方向和它的相反方向运动所成的图形叫做直线。我们在中年级时初步形成直线的概念，即“把一条线拉紧，就成一条直线。”直线可以向两个方向无限延长，因此，直线是不可度量的。
线段——直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段是直线的一部分，这两点叫做线段的端点，线段是可以度量的。
射线——是指在直线上某一点一旁的部分。课本上初步介绍了射线的定义，即“把线段的一端无限延长就得到了一条射线。”射线只有一个端点，另一方向可以无限延长，因此射线也是不可度量的。
45.“一把随身带的方便尺子”指的是什么
为了到实地去测量，首先需要有一把方便的尺子，这把尺子就在你自己身上，随身带着。例如：你量量自己中指宽大约是１厘米，手掌宽大约是７厘米。又如人们常用的“一拃”（ｚｈǎ），它是指大拇指与中指之间的最大距离。
一拃的长度是因人而异的，有的人约是１８厘米，有的人约是１６厘米……再如人们常用的“一庹（ｔｕǒ）”，即两臂左右平伸，掌心向前时两中指尖之间的距离。一庹的长度也是因人而异的，有的人约是１１５厘米，有的人约是１２３厘米……还有人们最常用的“一步”，即一只脚的脚尖到另一只脚的脚尖之间的距离。一步也叫做一“自然步”。因为人有高矮之别，步也有大小之分。有的人一步长约是６４厘米，有的人约是７２厘米……你身上的这把尺子要在日常生活中充分运用起来。
46.“除”和“除以”的区别是什么
下面这道算式应该怎么读？４５０÷１５。是的，这道算式既可读成４５０除以１５，又可读成１５除４５０。但是，千万不能读成１５除以４５０（或４５０除１５），那样，就大错而特错了。
“除”字有“等分”的意思。１５除４５０也就是说１５等分４５０，也可读成４５０被１５除。
“除以”的“以”含“用”的意思。４５０除以１５也就是说４５０用１５去分。
“除”和“除以”仅一字之差，其意思却截然相反。同学们可不要轻视这一字之差哟。
47.“乘”和“乘以”有区别吗
我们知道乘法有交换律：两个数相乘，交换乘数与被乘数的位置，它们的积不变。即：ɑ×ｂ＝ｂ×ɑ。如此看来，区分“乘”或“乘以”是毫无意义的吗？
要回答这个问题，首先要明确乘法的意义。在小学阶段，乘法有两种意义，一种是求几个相同加数和的简便运算。一般规定，相同的加数作被乘数，相同加数的个数作乘数。另一种是把一个数扩大若干倍数，其中这个数作被乘数，扩大的若干倍数作乘数。因此，对初学乘法的人来说，如果不能正确区分“被乘数”与“乘数”，就不能理解“乘”和“乘以”的概念，所以也就不能正确运用乘法的意义来解题了。
概念的形成有一定的阶段性。在把数量更进一步抽象化以后，我们也可以不再区分“被乘数和乘数”，而把它们统称为“因数”。
48.“增加了”和“增加到”有什么区别
在学习应用题时，我们常会遇到“增加了”、“增加到”等术语，这些术语虽然只有一字之差，但其意义却大不相同。
例１：一个工地用５辆汽车来运石头，每辆汽车一天可运１０吨石头。后来又增加了同样的汽车２辆，每天可运多少吨石头？
解：（５＋２）×１０＝７０（吨）
答：每天可运７０吨石头。
例２：某机械厂原来每年可生产车床３０００台，采用新技术后，每年生产的车床比原来增加了４３％，现在每年生产车床多少台？
解：３０００×（１＋４３％）＝４２９０（台）
答：现在每年生产车床４２９０台。
从上面的例子可以看出，“增加了”是指在原数的基础上增加的部分，不包括原数在内。与“增加了”说法相同的还有“增加”、“增长”、“增长了”、“多”、“多了”等等。在应用题数量关系中不涉及倍比关系时，“扩大”、“扩大了”与“增加了”也是同一个意思。
例３：一个学校原有学生５００人，现在的学生已增加到７００人，比原来多多少人？
解：７００－５００＝２００（人）
答：比原来多２００人。
例４：某机械厂原来每年生产车床３０００台，采用新技术后，每年生产的车床增加到原来的１４３％，现在每年生产车床多少台？
解：３０００×１４３％＝４２９０（台）
答：现在每年生产车床４２９０台。
从上面的两个例子可以看出，“增加到”是指在原数的基础上加上“增加了”的数所得到的总和，包括原数在内。与“增加到”说法相同的还有“增长到”、“增长为”、“提高到”、“提高为”、“增加为”、“达到”等。当应用题中数量关系不涉及到倍比关系时，“扩大到”与“增加到”也完全是一个意思。
和“增加了”、“增加到”一样，“降低了”、“降低到”等的意思也是不同的。同学们可以自己思考一下。
49.什么叫一一对应
如果集合Ａ中每一个元素都与集合Ｂ中的每一个元素对应，反过来，集合Ｂ中的每一个元素都与集合Ａ中的每一个元素对应，那么称集合Ａ与集合Ｂ建立了一一对应。例如，当电影院里的每一个座位都有一个观众，反过来，每一个观众都有一个座位，那么，电影院中座位的集合与观众的集合建立了一种一一对应关系。
50.解数学题一般有哪些步骤
做任何事情，都有一个从准备、进行到完成的过程，解数学题也是如此。一般来说，解数学题有下列四个步骤：
１.审题。即通过仔细读题来弄清楚：这是一道什么样的题？题的结构如何？题中的已知条件是什么？题中的问题或要求是什么等等。
２.分析。即在审题的基础上，弄清楚条件与条件以及条件与问题之间的联系或关系，并根据要求分析解题途径，探求解题方法，从而实现由已知向未知的转化。分析的基本思路一是回忆，二是推想。如回忆有关的定义、定律、性质、法则、公式，联想有关的典型问题的解法和注意事项等等，以确定如何解题。推想则是对解题途径的推测和尝试。
３.叙述。即做好上述两项工作以后，把解题付诸实践，也就是按照解题要求写出解题过程。这一步是同学们经常做的工作。
４.检验。即对解题过程进行复核、验算。如审题是否失误？公式是否用错？运算是否正确？格式是否符合要求等等。
同学们，你在解题时是按照上述步骤进行的吗？
四则混合运算的顺序，为什么要规定“先乘除，后加减”。
