用铅笔尖发现的新行星
在1871年以前，人们只知道除地球以外有五大行星：金、木、水、火、土星。1766年提替斯总结出一个经验公式：设地球与太阳的平均距离（即一个天文单位）是10，那么各行星与太阳的距离可表示如下：
水星4=4+0（3.9）
金星7=4+3（7.2）
地球10=4+6（10）
火星16=4+12（15.2）
？28=4+24（？）
木星52=4+48（52.0）
土星100=4+96（95.4）
括号内是实际距离，它和左边计算出来的数很接近。左边的数是用数列0、3、6、12，……加上4得出来的，这数列除第一项外，每一项都是前一项的2倍。
1772年，德国天文学家波德对此进行整理后公开发表，并定名为“波德定律”。于是引起了天文学家的极大兴趣，大家都认为在相当于28那个空当里，可能有一个未被发现的行星。
1781年3月13日，赫歇尔发现土星之外还有一个行星，后来被定名的天王星，它和太阳的距离是192，和波德定律计算的结果196很接近。这更增强了人们寻找与太阳距离为28的那个空当里的新行星的信心。终于在19世纪的第一个晚上，皮亚齐在意大利西西里岛的巴勒莫天文台上核对星图时，在金牛星座附近偶然发现一颗8等星与星图不合。第二天晚上他发现它已向西移动。他连续观测了40天，一直到2月11日，终于因劳累过度病倒了。后来他将观测结果写信告诉欧洲大陆的天文学家。当时正值拿破仑远征埃及，英国舰队封锁了地中海。直到1801年9月，大陆上的天文学家才知道这件事，但那时这颗星已接近太阳，被太阳光所掩，望远镜不管用了，怎么办？
对此，有人提出一个设想，能否根据有限的观测数据确定出新行星的轨道？当时很多天文学家曾致力于研究这一问题，但未能成功。而当时年仅24岁的德国数学家高斯，没有用望远镜，只在办公室里夜以继日地用铅笔在纸上计算，经过几个星期的努力，创造了一种只需要三次观测数据就可以定位行星椭圆轨道的计算方法，从而成功地解决了这一问题。
于是天文学家查赫根据高斯的方法，造了一个觅星表，并预报了距离太阳为28的这颗星的位置。直到这年的除夕，天气大晴，天文学家终于在预报的位置上找到了这颗星。这颗星的发现显示了数学理论的巨大威力。
这颗星后来命名为谷神星，与太阳的距离27.7和波德定律大致相符。
斐波那契数列
莱昂纳多·斐波那契（1175—1250年）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？
这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用Fn表示第n个月初时兔房里的兔子的对数，则有F1=1，F2=2，F3=3，第n+2个月初时，兔房内的兔子可以分为两部分：一部分是第n+1个月初就已经在兔房内的兔子，共有Fn+1对；另一部分是第n+2个月初时新出生的小兔子，共有Fn对，于是有Fn+2=fn+1+Fn。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为xn+2=pxn+1+qxn（n≥1，p，q为常数q≠0），其特征方程为x2=px+q，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根α、β，则其通项公式为xn=Aαn+Bβn（n≥1），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为xn=［Aα+B（n—1）αn—1］（n≥1），其中A、B由初始值确定。
因此对于斐波那契数列Fn+2=Fn+1+Fn，对应的特征方程为x2=x+1，其特征根为：x1=1+52，x2=1—52：
，所以可设其通项公式为Fn=A1+52n+B1—52n，利用初始条件F1=1，F2=2得1+52A+1—52B=11+522A+1—522B=2，解得A=1+525，B=—1—525。
所以Fn=151+52n+1—1—52n+1。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多重要有趣的性质，如：
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：
（1）斐波那契数列的前n项和Sn=Fn+2—1；
（2）F2n+1—Fn·Fn+2=（—1）n；
（3）4Fn<3Fn+1<6Fn（n≥3）；
（4）Fm+n+1=Fm+1Fn+FmFn—1（m，n∈N*，n>1）；
（5）F2n=F2n+1—F2n—1（n∈N*，n>1）。
分群数列
将给定的一个数列{an}：a1，a2，a3，a4，a5，a6，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。如在上述数列中，我们将a1作为第一组，将a2、a3作为第二组，将a4、a5、a6作为第三组，……依次类推，第n组有n个元素，即可得到以组为单位的序列：（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），……我们通常称此数列为分群数列。
一般地，数列{an}的分群数列用如下的形式表示：（a1，a2，…，ap），（ap+1，ap+2，…，ar），（ar+1，ar+2，…，a5），…，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……第n个括号称为第n群，而数列{an}称为这个分群数列的原数列。如果某一个元素在分群数列的第m个群中，且从第m个括号的左端起是第k个，则称这个元素为第m群中的第k个元素。
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。如对数列{an}分群，还可以得到下面的分群数列：
第n个群中有2n—1个元素的分群数列为：（a1），（a2，a3，a4），（a5，a6，a7，a8，a9）…；
第n个群中有2n个元素的分群数列为：（a1，a2），（a3，a4，a5，a6），（a7，a8，a9，…，a14）…等等。
周期数列
对于数列{an}，如果存在一个常数T（T∈N*），使得对任意的正整数n>n0恒有an+T=an成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列。若n0=1，则称数列{an}为纯周期数列，若n0≥2，则称数列{an}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：
（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
（3）如果T是数列{an}的周期，则对于任意的k∈N+，kT也是数列{an}的周期；
（4）如果T是数列{an}的最小正周期，M是数列{an}的任一周期，则必有TM，即M=kT（k∈N+）；
（5）已知数列{an}满足an+1=an（n，t∈N+，t为常数），Sn，Tn分别为{an}的前n项的和与积，若n=qt+r，0≤r<t，q，r∈N+，则Sn=qSt+Sr，Tn=（Tt）q·Tr；
（6）设数列{an}是整数数列，m是某个取定大于1的自然数，若bn是an除以m后的余数，即bn≡an（modm），且bn∈{0，1，2，…，m—1}，则称数列{bn}是{an}关于m的模数列，记作{an（modm）}。若模数列{an（modm）}是周期的，则称{an}是关于模m的周期数列。
（7）任一k阶齐次线性递归数列都是周期数列。
阶差数列
对于一个给定的数列{an}，把它的连续两项an+1与an的差an+1—an记为bn，得到一个新数列{bn}，把数列{bn}称为是原数列{an}的一阶差数列；如果cn=bn+1—bn，则称数列{cn}是数列{bn}的一阶差数列，{cn}是{an}的二阶差数列；依此类推，可以得到数列{an}的p阶差数列，其中p∈N+。
如果某一数列p的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为p阶等差数列。其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：
（1）如果数列{an}是p阶等差数列，则它的一阶等差数列是p—1阶差数列；
（2）数列{an}是p阶等差数列的充要条件是：数列{an}的通项是关于n的p次多项式；
（3）如果数列{an}是p阶等差数列，则其前n项之和Sn是关于Sn的p+1次多项式。
高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前n项和，更深层次的问题是差分方程的求解。解决问题的基本方法有：
（1）逐差法：其出发点是an=a1+∑n=1k=1（ak+1—ak）；
（2）待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an与前n项和Sn是确定次数的多项式（关于n的），先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得；
（3）裂项相消法：其出发点是an能写成an=f（n+1）—f（n）；
（4）化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的；
设数列{an}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。一般地说，如果某一个数列它的p—1阶等差数列不是等比数列，而p阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为p阶等比数列，其中p=N+。
0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。
“数学”名称的由来
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种“已学会或被理解的东西”或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”。数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（1877年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suidas”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”一词。“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。
首先，亚里士多德提出，“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯对欧几里德的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日食。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成分。赫拉克利特有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，“人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克利特却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元2世纪的拉丁作家格利乌斯和公元3世纪的希腊哲学家波菲利以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是惟一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（1214—1292年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡尔还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼兹引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而20世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
在18世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”。这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其他知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学、辩证法、语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里德的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而19世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。
代数学领域的历史与发展
1.算术
算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象有限的集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。
