我们分析一下三种煤的销售情况，好煤沫加工成的煤，煤质好，大家都愿意买这种煤，混合煤沫加工后的煤，因为好煤沫多一些，煤质就不如那两种煤了，火苗又小烧得时间又短，大家都不愿意买这种煤，如果厂家大量加工第三种煤，就卖不出去了。而另外两种煤，混合煤的利润高一些，且也很受大家欢迎，所以煤厂就大批加工这种煤。
按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元，贷款月利率为p，还款方式每月等额还本付息a元。设第n月还款后的本金为an，那么有：
a1=a0（1+p）—a，
a2=a1（1+p）—a，
a3=a2（1+p）—a，
……
an+1=an（1+p）—a，……（*）
将（*）变形，得（an+1—a/p）/（an—a/p）=1+p
由此可见，{an—a/p}是一个以a1—a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。
商品调价中的数学问题
若将某商品先涨价10%后再降价10%，所得的价格与原先的价格相比有无变化？不少人会不假思索脱口而出：那还用问吗？肯定不变。果真如此吗？
比如设这种商品原价为100元，则涨价10%后价格为100+10=110元，再降价10%就是110—11=99元，可见比原先的价格便宜了。所以很多事情不能想当然贸然下结论，还是动笔算一算为好，才能做到心中有“数”。
请研究下例：
某商品拟作两次调价，设p＞q＞0，有下列六种方案供选择：
（A）选涨价p%，再降价q%；
（B）选涨价q%，再降价p%；
（C）选涨价%，再降价p+q2%；
（D）选涨价pq%，再降价pq%；
（E）选涨价p+q2%，再降价pq%；
（F）选涨价pq%，再降价p+q2%。
若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案，请判断其中哪一个是好方案？
分析：设某商品原价为1，采用方案（A）、（B）、（C）、（D）、（E）、（F）调价后的商品价格分别为a，b，c，d，e，f，则
a=（1+p%）（1—q%）=1+p—q100—pq1002，
b=（1+q%）（1—p%）=1+q—p100—pq1002，
c=（1+p+q2%）（1—p+q2%）=1+（p+q）24·1002
d=（1+pq%）（1—pq%）=1+pq1002，
e=（1+p+q2%）（1—pq%）=1+p+q200—pq100—（p+q）pq2·1002，
f=（1+pq%）（1—p+q2%）=1+p+q2%）=1+pq100—p+q200—（p+q）pq2·1002
∴p>q，
∴a—b=p—q100—q—p100=2（p—q）100>0，
a—c=p—q100—pq1002+（p+q）24·1002
=p—q100+（p+q）2—4pq4·1002
=p—q100+（p—q）24·1002>0，
a—d=p—q100>0，
a—e=p—q100—pq1002—p+q200+pq100+（p+q）·pq2·1002
=p—3q+2pq200+pq（p+q—2pq）2·1002
=（p—q）+2q（p—q）200+pq（p—q）200+pq（p—q）22·1002>0，
a—f=p—q100—pq1002—pq100+p+q200+2pq（p+q）2·1002
=3p—q—2pq200+pq（p+q）—2pq2·1002
=（p—q）+2p（p—q）200+pq（p—q）22·1002>0.
∴a>b，a<c，a>d，a>e，a>f。
所以，方案（A）是好方案。
e和银行业
e跟我们日常的事情有什么关系呢？事实上它在我们日常生活中，跟任何一个特定的整数一样，尽管人们并不总能察觉到它的出现。只有人知道e是一个实际的数，如果问大家，可能多数人会说e是英语字母表里的第5个字母。大家知道它是一个奇怪的数，这是我们通过数学课了解到的。只有少数人知道它是一个无理数和一个超越数。
在今天的银行业里，e是对银行家最有帮助的一个数。人们可能会问，像e这样的数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢？要知道后者是专门跟“元”和“分”打交道的！
假如没有e的发现，银行家要计算今天的利息就要花费极其大量的时间，无论是逐日逐日地算复利，还是持续地算复利都无法避免。有幸的是，e的出现助了一臂之力。
e的定义是作为数列an=（1+1n）n的极限。我们通常写为e=limn→∞（1+1n）n。在利息计算中怎样借助于这个公式呢？实际的计算公式是：本利和A，A=P（1+rn）nt。
这里P本金，r=年利率，n=一年之内计算利息的次数，t=存钱的年数。
上述公式可以变形为对于e的公式。当人们投资1美元年利率为100%时，一年的本利和可达e美元。开头可能会有人以为总计会是一个天文数字，但看了下面的估计后就会知道它接近于e的值。
（1+1n）n∶n=1n=2n=3n=100n=1000
（1+11）1（1+12）2（1+13）3（1+1100）100（1+11000）100
22.252.370…2.704813…2.716923…
于是，我们看到：如果我们投资1美元，年利率为100%，那么收益决不会超过2.72美元。事实上e的小数点后头22位数是e＝2.7182818284590452353602。
下一个问题是怎样对A=P（1+rn）m进行工作。最好先通过尝试来确定看。比如说我们从1000美元开始以年利8%存入银行，让我们看看当按一年期计算，然后按每半年期计算，再按每三个月期计算复利时会出现什么。
一年期
1000（1+8%）1（1）
=1000+80（利息）
=1080
每半年期
1000（1+8%2）2（1）
=1000（1+0.04）2
=1000（1+0.04）（1+0.04）
P1（半年后的本金）
=P1（1+0.04）
=P1+P1（0.04）
（下半年本金）（下半年利息）
每三个月期
1000（1+8%4）4（1）
=1000（1+0.02）4
=1000（1+0.02）（1+0.02）
（1+0.02）（1+0.02）
P1（1+0.02）（1+0.02）（1+0.02）
P2（1+0.02）（1+0.02）
P3（1+0.02）
P4
如果逐日计算复利，可用公式1000（1+8%365）365。这个公式如果用手算则要花好多时间，但今天用电子计算器和专门的计算机顷刻间便能得出结果。
关于世界末日的传说
有这样一段关于“世界末日”的传说。
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由大到小放了64片金片。每天24小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在哪根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有64片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到来。
这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这64片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。让我们来算算看。
设原来放置金片的宝石针为甲，其他两根针为乙、丙。
1.设金片只有一片。显然，只要移动1次即可。
2.设金片只有二片。可先将较小金片移至乙针上，较大金片移至丙针上，再将较小金片从乙针移至丙针上，共移动3次。
3.设金片有三片。可先将上面两片金片移到乙上。按2可知，共需移动3次。再把第三片移至丙，又移一次。下面把乙上两片移至丙同2，还需三次。以上共需：2×3+1=7（次）。
4.设金片有四片。先把上面三片移至乙，按3需7次。再把第四片从甲移到丙上，又移一次。最后，把较小的三片从乙移至丙，又需移7次。以上共需移动：2×7+1=15（次）。
依此递推下去。设有k片金片，先将k—1片移至乙，需移动Sk—1次。然后再把第k片移至丙，又移一次。最后把k—1片从丙移至乙，又需Sk—1次。以上共需移动：
（2·Sk—1+1）次。
这样，我们可以得到如下的递推式：
Sk=2·Sk—1+1。
根据这个递推公式，分别令k=1，2，3，……64，得：
S1=1＝21—1；
S2=2S1+1=2（21—1）+1=22—1；
S3＝2S2+1=2（22—1）+1=23—1；
S4=2S3+1=2（23—1）+1=24—1……
S64=264—1=18446744073709551615。
如果僧侣移动金片一次需要1秒钟，移动这么多次共需约5845亿年。把这个寓言和现代科学推测对比一下倒是有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在三十亿年前由不定形物质形成的。我们还知道，给恒星特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100—150亿年。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于二百亿年。可见，远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了。
页码与铅字
问一本书的页码在印刷排版时要用1392个铅字，这本书有多少页？在这些页码中，铅字“1”共出现多少次？
这是经常见到的问题，但要迅速、正确地做出回答，各人情况很不一样——也许一位细心、善于思考的学生能令人满意，而粗心、思维紊乱的学生可能使人失望。
不信，请先自己试试看。它的正确答案是：本书共有500页，其中铅字“1”共出现200次。
不妨先用手边的一本书，一页一页地数下去，边数边想，你就会发现：
最初的9页（1~9页）共用铅字9个；
紧接的90页（10~99页）共用铅字90×2=180（个）。
余下的若干页，设为x页（x为三位数），用铅字3x（个），
得方程
9+180+3x＝1392。
解得x=401。
故本书共有9+90+401=500（页）。
注意解题的关键是采用了分类思想——将本书的页码分为三类：
（1）页码为一位数（1~9页）；
（2）页码为两位数（10~99页）；
（3）页码为三位数（100~500页）。
在这500页的页码中，铅字“1”共出现多少次？——为了正确、迅速地回答本问，仍要采用分类思想：铅字“1”在页码的个位数出现的次数；铅字“1”在页码的十位数出现的次数；铅字“1”在页码的百位数出现的次数。
（1）铅字“1”在页码的个位数出现的状况为
00［1］~49［1］
这说明铅字“1”在页码的个位数出现50次。
（2）铅字“1”在页码的十位数出现的状况为
0［1］0~4［1］9
这说明铅字“1”在页码的十位数出现50次。
（3）铅字“1”在页码的百位数出现的状况为
［1］00一［1］99
这说明铅字“1”在页码的百位数出现100次。
故铅字“1”共出现50+50+100＝200（次）。
天书的秘密
在神秘的王国里有一个图书馆，其中有一本书是国王特别珍爱的，有一天他对自己的大臣说起来。
“把这本书随便翻到哪一页，告诉我那里写着什么数！”国王吩咐说。顺从的大臣说出了数4783。
“现在，随你翻多少页，告诉我你翻到的那一页上写着什么数！”执行了这个命令后，大臣说出了数1955。
“现在，随你取两个四位数！”国王继续说。大臣选了2079和7081。
“请你从第一个得到的数（即4783）开始，到第二个（即1955）为止，按照书上的次序，大声地读出2079和7081之间的所有的数。”
顺从的大臣也完成了这个不容易的任务，他必须念完2000个左右的数，从中去掉大约1000个。
然后，国王叫大臣检查一下，剩下来的数所形成的数列相邻项之差等于什么，结果，这些差仅仅只取三个不同的值！
大家能不能以一个不大的模型（国王的书里有一万个数）为例，说明这本魔书的秘密在哪里？
其实国王的魔书是以下述原则为基础的。
考虑10000对数（n，nz—【nz】），其中，z=（5—1）/2是（与“黄金分割”联系在一起的）“黄金数”，凡是从1到10000的自然数列，符号【x】是数x的整数部分，即不超过x的最大整数。把这些数偶这样地分布，使它们的第二个数nz—【nz】形成增列，然后，按照这种次序写出每个数偶对应的第一项n，所得的表叫铁数表。
例如，我们对n=10，即对自然数1到10作铁数表。
因5≈2.236，则z=（5—1）/2≈0.618，对这10个数有
nnz—【nz】nnz—【nz】
10.61860.708
20.23670.326
30.85480.944
40.47290.562
50.090100.180
nz—【nz】这一列中最小的数是0.090，因而，对头十个自然数构造的铁数表，它的第一个位置应该放5，然后是10，2，7，4，9，1，6，3，8。
这样一来，自然数列从1到10这一段的铁数表是
5，10，2，7，4，9，1，6，3，8
类似地，对自然数列随便多长的一段可以构造铁数表。
任何一张铁数表，不管用哪些数构造它，都有下列性质：相邻两数之差至多取三个值。
例如，上面这张表里，相邻两数之差是
5，—8，5，—3，5，—8，5，—3，5
它只取5，—8，—3这三个值。
当从铁数表里去掉所有比任意指定的某个数大的数，或者去掉所有比任意指定的某个数小的数，或者去掉任意两个数之间的数时，铁数表的这种性质仍然保持，例如，在上面所举出的表里去掉比3小的所有的数，便得到：
5，10，7，4，9，6，3，8。
它的相邻项之差仍然只有两个：
5，—3，—3，5，—3，—3，5。
国王珍视的魔书，就是建立在铁数表的这种性质上的。
最古老的数学趣题
在七间房子里，每间房子里都养着七只猫；在这七只猫中，不论哪只，都能捕到七只老鼠；而这七只老鼠，每只都要吃掉七个麦穗；如果每个麦穗都能剥下七颗麦粒，请问：房子、猫、老鼠、麦穗、麦粒，都加在一起总共该有多少数？
答案：
总数是19607
房子有7间，猫有72＝49只，鼠有73＝343只，麦穗有74＝2401个，麦粒有75＝16807合。全部加起来是：
7+72+73+74+75＝19607.
（顺便提一下，在这里不必考虑为什么把不同种类的东西加起来这个问题）。
史话
可以说这是世界上最古老的数学趣题了。大约在公元前1800年，埃及的一个僧侣名叫阿默士，他在纸草书上写有如下字样：
家猫鼠麦量器
749343240116807
但他没有说明是什么意思。
两千多年后，意大利的裴波那契在《算盘书》（1202年）中写了这样一个问题：“7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各有多少？”受到这个问题的启发，德国著名的数学史家M·康托尔认明阿默士的题意和这个题所问是相同的。
这类问题，在19世纪初又以歌谣体出现在算术书中：
“我赴圣地爱弗西，
途遇妇女数有七，
一人七袋手中提，
一袋七猫数整齐，
一猫七子紧相依，
妇与布袋猫与子，
几何同时赴圣地？”
数学谜语（三）
一、打数学名词
1.剃头；
2.负荆请罪；
3.扳手腕；
4.大同小异；
5.用手算；
6.从最后一个数起；
7.批评得当；
8.不足为奇；
9.左顾右盼；
10.再见了妈妈；
11.诊断之后；
12.追本溯源；
13.长相一般；
14.问君知多少；
15.风止柳练静；
16.寻找单据；
17.并驾齐驱；
18.剩下十分钱；
19.两角钱；
20.三十分。
二、打数学家的名字
21.爷爷打先锋。
谜底
1.除法；
2.求和；
3.比例；
4.近似；
5.指数；
6.倒数；
7.有理数；
8.偶数；
9.移项；
10.分母；
