学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。其中，美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的。事情的经过是这样的：
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是加菲尔德不再散步，立即回家，潜心研究小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的，如图所示：
∵S梯形ABCD=12（a+b）2
=12（a2+2ab+b2），
又∵S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED
=12ab+12ba+C22
∴比较上二式便得c2=a2+b2.
1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，加菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
波浪曲线
有一个故事说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。有一天，老和尚对小和尚说：“从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，有一天……”无须再写下去，大家都知道如何继续这个故事。
在文学家的笔下，对于循环模式的描述，往往是很精彩的，但在数学家中，所有出现的事件y，都是时间x的函数：
y＝f（x）
而循环模式则表示对于变量x的任何值，存在一个常量T，使得：
f（x+T）=f（x）
这里的T称为周期。上式表明，同样的事件，在经历了一个周期之后又回到了原先的状态，周而复始，如此而已！
拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断，再把卷起的纸展开，那么你将会看到一个波浪型曲线的截口。让我们看一看这是怎样的一条曲线？
如下图，设圆柱体为蜡烛的一段，底半径为R，截口中心为S。过S作垂直于圆柱轴线的截面，与原截口曲线交于两点。取其中一点0为原点，在过O且与圆柱相切的平面内建立直角坐标系XOY，使OY为圆柱的一条母线。显然OX切于圆S。
设想卷在圆柱上且已被切断的纸是慢慢展开的。令P为截口曲线上一点，Q是它在圆S上的射影，又展开角：∠OSQ=α。则：
x=OQ=αR
y=PQ=（Rsinα）tgθ
式中θ为斜截面与圆S平面的夹角，为一常量。
把上述变量y表示为变量X的函数，即得
y=（Rtgθ）sin（1R）x
令A=Rtgθ，ω=1R，立得
y=Asinωx
原来得到的是振幅为A，频率为ω的正弦曲线！容易明白，当纸张从O开始，展开一圈又回到O时，完成了一个循环，这一循环的周期T，恰等于圆S的周长，即：
T=2πR=2πω
后一个式子对于求一般正弦函数的周期是很有用的。
自然界里正弦曲线是很多的。往水池里扔一块石头，便会看到圆形的水波逐渐向四周扩展；拿一根长绳，抓住其中一头上下振动，你会看到一个个波浪传向前方，即使振动的那一头已经停止动作，已经形成的波形仍会继续传向远处！
在数学家眼里，上面的一系列现象称为波的传送。数学家们运用自己的智慧，巧妙地把这种运动用函数表示了出来！
上图是一个弦振动的例。弦起初静止，t=0时，给它一个初位移。令初始位移函数为f（x），图中：
f（x）=1—xx≤1
0x＞1
而表示图中波传播的函数式可以写为
u（x，t）=12\[f（x+vt）+f（x—vt）\]
式中v是波的传播速度。
值得注意的是，大多数的波未必就是正弦波。例如声波就常常具有令人难以置信的复杂波形。
公元1822年，法国数学家傅里叶（1763—1830年）证明了任何曲线都可以由正弦曲线叠加而成，他甚至找到了构成叠加的方法。傅里叶的出色工作，使一门近代的数学分支，以他的光辉名字命名！
出类拔萃的“建筑师”
生物的进化，几亿年的优胜劣汰，仍能繁衍至今的，往往包含着“最经济原则”的启迪。出类拔萃的“建筑师”蜜蜂建造的蜂窝，大概是最使人心悦诚服的实例！
如果你细细地观察蜂窝的立体截面图，你可以清楚地看到：虽然蜂窝的横断面是由正六边形组成，但蜂房并非正六棱柱，房底是由三个菱形拼成。图1是一个蜂房的取样，底朝上是为了看得更加清晰。对于图1的形成，我们甚至可以想象得更加具体一点：拿来一枝正六棱柱的铅笔，未削之前，铅笔一端的形状是如同图2所示的正六边形ABCDEF，通过AC，一刀切下一角，然后沿着AC把切下的那一角翻到顶面上去；过AE、CD各切同样一角，同AC一般翻转上去，便堆成了蜂房那样形状。而蜂窝则是由这样的蜂房底部和底部相接而成的。
蜂房为什么是正六边形的？因为周长一定的所有图形中圆的面积最大，然而圆是不能铺满平面的，因此不得不让位给正多边形。那么，究竟有多少种正多边形能够铺满平面呢？我们只需注意到，这样的正多边形内角必能拼成一个周角，就容易明白：这样的正多边形只能有三个，即正三角形、正方形和正六边形。从下表可以看出，以上三种图形中正六边形是最经济的一种。
但是，蜂房底部的构造就不那么一目了然了。
18世纪初，法国学者马拉尔琪曾实测了蜂房底部的菱形，得出一个令人惊异的有趣结论：拼成蜂房底部的每个菱形蜡板，钝角都等于109°28′，锐角则等于70°32′。
不久，马拉尔琪的发现传到了另一位法国人列奥缪拉的耳朵里。列奥缪拉是一名物理学家，他想，蜂房底部的结构，大概应该是最节省材料的！然而列奥缪拉却没有理出个头绪，只好去请教巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格。克尼格经过精心计算，得出了更加令人震惊的结果：根据理论上的计算，建造同样大小的容积，而用材料最少的蜂房，其底部菱形的两角应是109°26′和70°34′。这与实测的结果仅差2′。
人们对克尼格的计算技巧和聪明才智倍加赞赏，同时认为蜜蜂在这样细小的构筑上仅仅误差2′是不足为奇的！
然而，一个偶然的事故，证明了蜜蜂确实是出类拔萃的，建造的蜂房是毫厘不差的。一艘船只应用克尼格用过的对数表确定方位，不幸遇难。在调查事件起因时，发现船上用过的那张对数表竟然有些地方印错了！这件事引起了一位著名的苏格兰数学家马克劳林（1698—1746年）的注意。公元1743年，马克劳林重新计算了最经济的蜂房结构，得出菱形钝角应为109°28′，锐角为70°32′，与马拉尔琪的实测结果丝毫不差！克尼格由于对数表的差误，算错了2′。
大家一定很想了解克尼格和马克劳林的计算。不过两个半世纪来，人们已经找到了许多有别于他们的更加简便的算法。
让我们把问题先作一番简化。开头讲过，蜂房底部的构造可以看成是把正六棱柱切去三个角，然后翻转到顶面堆砌而成。这样的图形显然没有改变原来正六棱柱的体积，现在问题的症结是：翻转后的表面积是增加呢还是减少？
图4图5
如图5，假定正六棱柱边长为1，切去三个角的高为x，很显然，经过切割翻转后的蜂房模型，比起原正六棱柱来说，表面积少了一个面积为332的顶面和六个直角边长为1和x的小直角三角形（图中阴影部分为一个小直角三角形）；但却多了三个边长为1+x2，又一条对角线为3的菱形面积。由此不难算出菱形面积S为：
S=3·（1+x2）—322
=123·1+4x2
这样，表面积的增加量，便可以表示为x的函数f（x）
f（x）=3S—6S—332
=3321+4x2=3x—332
显然，使表面积增加量f（x）达最小值的x，便是最经济蜂房所要求的。让我们介绍一种，求f（x）的最小值的方法：
令y=f（x）+332
则y+3x=3321+4x2
两边平方并加以整理得；
x2—（y3）x+（38—y218）≥0
由于x必须为实数，从而上述二次方程的判别成
=y29—4×（38—y218）≥0
∴y23—32≥0
∵y>0
∴ymin=322
将上述y的最小值代入求x得
x=24
所以菱形的边长为324，利用三角函数定义可以算出菱形的钝角α和锐角β：
sinα2=32334=63=0.8165
查反正弦函数表可得：
α2=54°44′
∴α=109°28′β=70°32′
纸扇能否按照黄金比例设计？
在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是最好的方法。纸扇在美观设计上，可考虑用料、图案和形状。若从数学角度看，我们能否利用黄金比例（0.618）去设计一把富有美感的白纸扇呢？
在设计纸扇张开角（θ）时，可考虑从一圆形（半径为）分割出来的扇形的面积（A1）与剩余面积（A2）的比值。若假设这比值等于黄金比例，便可以找出θ。
若A1A2=12r2θ12r2（2π—θ）=0.618，θ以弧度表示。
则θ=0.618（2π—θ）。
∴θ=0.764π≈140°（精确至最接近的10°）。
除了找市面上的纸扇去量其张开的角度外，我们更可自制不同形状的纸扇，去测试一下θ接近140°的设计是否最美。
驾驶着波峰的数学
如果你是冲浪运动员，你知道有时难以预料何时浪会升起。有时浪在岸边完整地出现，但是当你进入水中时，它已经消失了，因此你就得等待完整波的到来，有时似乎要好几小时。在另外一些时候，完整波一个接一个地来到，可有许多个供你选择。不用说，波理论和波活动性是一个复杂的系统，许多因素影响着和创造着海浪。风、地震、船的尾波，当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力，都扰动着海洋。海浪在水面上行动。当有多重的扰动或因素互相作用时，这些波动形式多少有点随机性。19世纪初，对海浪的数学开展了很多研究。在海上和在受控制的实验室中所做的观测，帮助科学家们获得了有趣的结论。1802年在捷克斯洛伐克，弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论。在他的观测中，他记录着波中水粒是如何做圆周运动的。位于波峰（最高点）的水的运动方向与波相同，位于波谷（最低点）的水的运动方向则相反。在水面上，每一水粒都沿着圆形轨道运动，然后回到原位。圆的直径被发现等于波的高度。水的整个深度中水粒都在生成圆。但水粒愈深，它的圆愈小。事实上，人们发现在相当于波长（两个相邻峰之间的水平距离）的1/9的深度，圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半。
因为波浪与这些做圆周运动的水粒有关，并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关，这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不奇怪了。但是人们发现，波浪即不是严格的正弦曲线，也不是任何别的纯粹的数学曲线。水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已。今天研究波浪时，用到了概率、统计学和复杂性这些数学工具。人们考察了大量小波，并从所收集到的数据提出预测。
海洋波浪的另外一些有趣的数学特性是：
（1）波长与周期有关。
（2）波高与周期的波长都无关（有一些例外，但周期和波长的影响很小）。
（3）当峰角超过120°时，波会破裂。波破裂时，它的大部分能量都消耗掉了。
（4）确定波何时将会破裂的另一方法是把波高与波长比较。当这比率大于1/7时，波将破裂。
波高从峰到谷的垂直距离
波长相邻两峰间的水平距离。
波周期波峰行经一个波长所需的时间（以秒为单位）
正弦曲线是一种周期性（有规则地重复它的形状）的三角函数曲线。
摆线是指一个圆在一直线上平稳地滚动时圆上一定点的轨迹。
伦纳多·达·芬奇的笔记簿上充满着与波和水动力学有关的草图和文字。马德里II药典第24页上的这幅草图描写的是冲击岩边的波浪的涡动作用。他在这里写道，“海波没有从岸边带走什么。海把抛入海中的一切都抛回岸边。水面把波的印记保留一些时间。”他关于波如何在岸边破裂又跳回继续到来的波中去描写是准确的猜想，与后来人们表述的波运动的原理相符合——即一个波所打击的每一点变成发生新扰动的点，而所有扰动都影响着波的形状。
三角函数实际应用
三角函数的实际应用通常涉及生产、生活、军事、天文、地理、物理等实际问题。如：
【例1】某地欲修一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本必须减少水与水渠的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角θ（0<θ<π2）应为多大时，方能使修建成本最低？
解：作BE⊥DC于E，
在BEC中，BC＝hsinθ，CE＝hctgθ，
由AB—CD＝2CE＝2hcotθ和AB+CD＝2sh，得CD＝sh—hctgθ
设y＝DC+AD+CB，则
y=sh—hctgθ+2hsinθ=sh+h（2—cosθ）sinθ（0<θ<π2）。
易得，当θ＝π3，y的值最小。
∴当水渠壁的倾角θ为π3时，方能使修建成本最低。
【例2】已知扇形薄铁板的半径为1m，中心角为60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，P点在怎样的位置上，截得的矩形面积最大？最大面积是多少？
解：连结OP，令∠POS＝α，
在RtPOS中，PS＝OP·sinα，OS＝OP·cosα，
在RtQOR中，OR＝QR·ctg60°＝33QR＝33PS=33sinα
RS=OS—OR=cosα—33sinα
S矩形PQRS=RS·PS=cosα—33sinα·sinα
=sinαcosα—33sin2α
=12sin2α—33·1—cos2α2
=33sin（2α+30°）—36，当sin（2α+30°）＝1，
即2α+30°＝90°，α＝30°时，S矩形PQRS有最大值
∴当P为AB的中点时，S矩形PQRS有最大值，最大值为36m2
密位制
密位制是一种军用的角度计量法中
以密位为单位来量角的制度。把圆周6000等分，每一等分的弧所对圆心角称为1密位的角。密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如15密位记为“015”，1370密位记为“1370”。角度制和密位制的换算关系是：1密位=3′36″，1°≈167密位。
