Littlewood）证明了在充分大的数字范围时高斯的公式将会低估质数的个数。在1955年，斯奎斯（S.Skewes）显示这种低估在到达数字101010000000000000000000000000000000000之前就会发生。这是一个难以想象的数，也是无任何实际应用的数。哈代把斯奎斯的数称为“数学中迄今为止为确定的目的服务过的最大的数”。他计算过，如果一个人以宇宙中的全部粒子（1087）作棋子来弈棋，这里走一步棋指交换任何两个粒子，那么可能的局数就大致等于斯奎斯的那个数。
没有理由说费马大定理不会像欧拉猜想或高估质数猜想一样最终证明是靠不住的。
研究生
1975年安德鲁·怀尔斯开始了他在剑桥大学的研究生生活。在以后的3年时间里，180他致力于他的博士学位论文，以这种方式接受数学训练。每个研究生由一位导师指导和培养，怀尔斯的导师是澳大利亚人约翰·科茨（JohnCoates），他是伊曼纽尔学院的教授，来自澳大利亚新南威尔士州的波森布拉什。
科茨还记得他是怎样接纳怀尔斯的：“我记得一位同事告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部分考试的学生，他催促我收其为学生。我非常荣幸有安德鲁这样一个学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也是太困难了。”
在过去的10年中，怀尔斯所做的每一件事都是为他迎接费马的挑战而准备的，但是现在他已经加入了职业数学家的行列，他必须更讲求实际一点。他回忆他是怎样暂时放弃他的梦想的：“当我来到剑桥时，我真正地把费马问题搁在一边了。这不是因为我忘了它——它总在我心头——而是我认识到我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复用了130年，这些技术似乎没有真正地触及问题的根本所在。
研究费马问题可能带来的问题是，你也许会虚度岁月而一无所成。只要研究某个问题时能在研究过程中产生出使人感兴趣的数学，那么研究它就是值得的——即使你最终也没有解决它。判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。”
约翰·科茨的责任是为安德鲁找到新的钟情的东西，某种至少能使他在今后3年里有兴趣去研究一番的东西183：“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这过程中能做的一件事是使用他的实用的常识，他的对何为好的领域的直觉，然后，学生能在这个方向上有多大成绩就确实是他自己的事了。”最后，科茨决定怀尔斯应该研究数学中被称为椭圆曲线的领域。后来证明这个决定是怀尔斯职业生涯的一个转折点，为他提供了他攻克费马大定理的新方法所需要的工具。
“椭圆曲线”这个名称有点使人误解，因为在正常意义上它们既不是椭圆又不弯曲，它们只是如下形式的任何方程：
y2=x3+ax2+bx+c，这里a，b，c是任何整数。
它们之所以有这个名称，是因为在过去它们被用来度量椭圆的周长和行星轨道的长度。为了清晰起见，我将把它们就称为“椭圆方程”而不是椭圆曲线。
研究椭圆方程的任务（像研究费马大定理一样）是指出它们是否有整数解，并且如果有解，要算出有多少个解。例如，椭圆方程y2=x-2，这里a=0，b=0，c=-2，只有一组整数解，即52=33-2，即25=27-2。
证明这个椭圆方程只有一组整数解是非常困难的事情，事实上正是皮埃尔·德·费马发现了这个证明。184你可能记得在第二章中正是费马证明26是宇宙中仅有的夹在一个平方数和一个立方数之间的数。这等价于证明上面的椭圆方程只有一个解，即52和33是仅有的相差2的平方数和立方数，因而26是仅有的夹在一个平方数和一个立方数之间的数。
椭圆方程之所以特别吸引人，原因在于它们占有一个很有意思的地位——介于别的较简单的几乎是平常的方程与另一些复杂得多甚至是不可能解出的方程之间。通过简单地改变一般椭圆方程中a，b和c的值，数学家可以产生无穷多种的方程，每一种都有自己的特性，但它们都恰好是可解的。
椭圆方程最初是古希腊数学家研究的，包括丢番图，他把他的《算术》一书的大部分篇章用于揭示椭圆方程的性质。或许是受到丢番图的鼓舞，费马也接过来研究椭圆方程。而因为它们曾经被他心目中的英雄研究过，怀尔斯很乐意进一步探究它们。即使已经过了两千年，对怀尔斯这样的学生来说，椭圆方程依然有着许多艰难的问题要研究：“要完全理解它们还差得很远。对那些仍然未解出的椭圆方程，我仍能够提出许多表面上看来简单的问题。甚至费马本人考虑过的一些问题，至今也未解决。所有我完成的数学工作，在某些方面都可以追溯到费马，并不只是费马大定理。”
在怀尔斯做研究生时研究的方程中，决定解的确切个数是非常困难的，因而取得进展的唯一办法是将问题简化。例如，下面的椭圆方程几乎是不可能直接去解决的：
185x3-x2=y2+y。
挑战是断定这个方程有多少个整数解。一个相当平凡的解是x=0和y=0：
03-02=02+0。
一个稍微有点意思的解是x=1和y=0：
13-12=02+0。
可能还有别的解，但是有无穷多个整数要去研究，在这种情形下要列出这个特定的方程的全体解是一项不可能完成的任务。比较简单的任务是在一个有限多个数的范围（所谓的时钟算术）中寻找解。
以前，我们看到数可以被想象成为沿着一条伸展至无穷的数直线上的点，如图16所示。为了使数的范围有限，时钟算术采用了截断这条数直线并将它绕回去的方法构成一条环路，形成一个与数直线不同的数环。图17展示的是一个5格的时钟，其中数直线已经在5处被截断并绕回到0处成一环路。数5消失了，它变成等价于0，因而在5格时钟算术中仅有的数是0，1，2，3，4。
在正规的算术中，我们可以把加法设想成为沿数直线移动某个数目的间隔。例如，4+2=6与下列说法是一样的：从4开始，沿数直线移动2格，最后到达6。
然而，在5格时钟算术中：
4+2=1。
这是因为如果我们从4开始绕过2格，那么我们返回到1。我们对时钟算术可能不太熟悉，186但是事实上，如同它的名称提示的那样，它是人们谈论时间时每天都会用到的。11时过后的4个小时（也就是说11+4）一般不叫做15时，而是3时。这就是12格时钟算术。
与加法一样，我们可以做所有其他的普通数学运算，比如乘法。
在12格时钟算术中，5×7=11。可以如下理解这个乘法：如果你从0开始，然后绕过5个7格，你最后到达11。这是在时钟算术中思考乘法的一种方式，还有一条加快计算的捷径。例如，为在12格时钟算术中计算5×7，我们可以从算出它的正常结果即35开始，然后用12去除35，得出余数，这个余数就是原有问题的答案。35中包含两个12和一个余数11，因而足以肯定在12格时钟算术中5×7等于11。这等价于想象绕时钟转2圈而仍有11格要通过。
因为时钟算术涉及有限多个格子，对给定的时钟算术算出椭圆方程的所有可能的解就相对容易完成。例如，在5格时钟算术中可以列出椭圆方程x3-x2=y2+y的所有可能的解。187这些解是：
x=0，y=0，x=0，y=4，x=1，y=0，x=1，y=4。
虽然其中某些解在正规算术中是不正确的，但是在5格时钟算术中却是可以接受的。例如，第四个解（x=1，y=4）作用如下：
x3-x2=y2+y
13-12=42+4
1-1=16+4
0=20。
但是请记住，在5格时钟算术中20等价于0，因为5除20的余数是0。
由于在无限个数的范围内无法列出一个椭圆方程的所有解，数学家们（包括怀尔斯）就改为在各种不同的时钟算术中求出解的个数。188对于上面给定的方程，在5格时钟算术中解的个数是4，因而数学家们就说E5=4。在别的时钟算术中解的个数也可以算出。例如，在7格时钟算术中解的个数是9，即E7=9。
为概括这些结果，数学家们把每个时钟算术中解的个数列成一张表，称这张表为这个椭圆方程的L序列。这里L代表什么已经早被遗忘了，尽管有人说过它是GustavLejeuneDirichlet（古斯塔夫·勒瑞纳狄利克雷）中的字母L，他研究过椭圆方程。为清晰起见，我将使用术语E序列——从椭圆方程导出的序列。对前面给出的方程，它的E序列如下：
椭圆方程：x3-x2=y2+y，E序列：E1=1，E2=4，E3=4，E4=8，E5=4，E6=16，E7=9，E8=16，由于数学家们无法说出某个椭圆方程在普通的延伸至无穷的数的范围内有多少个解，所以E序列似乎是次一等中最好的东西了。事实上E序列浓缩着关于它描述的那个椭圆方程的许多信息。189如同生物中的DNA（脱氧核糖核酸）携带着构造生命组织所需的全部信息一样，E序列携带着椭圆方程的本质要素。数学家们希望通过研究E序列这个数学的DNA，最终能够算出他们曾想要知道的有关椭圆方程的一切。
和约翰·科茨一起工作，怀尔斯很快就作为对椭圆方程及其E序列具有深刻了解的数论家而出名。当取得一个个新的成果和发表一篇篇论文时，怀尔斯并没有意识到他正在积累着经验，这种经验许多年后将把他引向证明费马大定理的成功之路。
虽然在当时还没有人觉察，战后日本的数学家们已经做出了一连串的成果，这些成果使椭圆方程与费马大定理结下了不解之缘。由于鼓励怀尔斯研究椭圆方程，科茨已经将后来使怀尔斯得以实现他的梦想的工具交给了他。
