1707年4月15日，瑞士巴塞尔城附近的里恩村，有一位叫保尔·欧拉的牧师家里诞生了一个男孩，这就是后世称其为“百科全书式的数学家”欧拉。
小欧拉自幼聪颖，7岁那年，父亲把他送到巴塞尔神学校去学习神学。起初，他对上帝创世深信不疑。一次，他问老师：“天上有多少颗星？”老师答不出来，只是说：“天上的星星都是上帝亲手嵌上去的。”于是，小欧拉问：“既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？”他对上帝的信仰开始动摇，也不专心听课了。不久，学校开除了他。
父亲保尔通数学，见儿子不愿学神学，就开始向他传授数学知识。小欧拉如鱼得水，立刻入了迷。
1719年，欧拉12岁。父亲为了考一考儿子的能力，正赶上家里要修羊圈。于是，他给出了一个固定长度，让欧拉围成一个面积最大的方形羊圈。欧拉想来想去，把它围成了一个正方形。于是，小欧拉“巧围羊圈”的故事不胫而走，被巴塞尔大学的著名数学教授伯努利约翰知道了。这位教授竟亲自出城，找到欧拉的父亲，说要保举小欧拉去大学学数学。老欧拉却说：“教授，我希望他将来是一位神学家，而不是数学家。”约翰说：“可你知道吗，这孩子是个数学天才。如果你固执己见，会葬送这孩子的前程。”
在约翰教授的劝说下，老欧拉终于点头了，13岁的小欧拉被巴塞尔大学破格收录了。欧拉不负老师厚望，入学后勤奋好学，广闻博览，又善于独立思考，不久就可以与那些年龄大的同学比肩。他的老师约翰则根据他的特点因材施教，循循善诱，每周六的下午都挤出时间为他个别辅导，使他的学业突飞猛进。17岁时，欧拉便成为巴塞尔大学第一位最年轻的硕士。1726年，欧拉发表了讨论船桅最佳位置选择的论文，荣获巴黎科学院的奖金。
1727年，欧拉由丹尼尔推荐，受俄罗斯女王叶卡捷琳娜的聘请，来到彼得堡科学院任院长，做丹尼尔的助手。1733年，丹尼尔回国，欧拉接替丹尼尔的工作，成为数学教授及彼得堡科学院的学部领导人。由于当时俄国统治集团长期陷入权力之争，无心科学事业，科学院的生存岌岌可危。1733年至1741年，欧拉的工作条件相当艰苦。他的许多不朽著作，都是在“膝上坐着孩子，肩上趴着猫”的情况下写出来的。欧拉还担负着许多社会责任，如承担菲诺运河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定，为俄国学校编写教材，帮助政府绘制地图，制定度量衡标准，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析……由于他长期疲劳工作，又长期观测太阳，使他的视力迅速衰退。1735年，年仅28岁的欧拉右眼失明了。就在这时，有关“七桥问题”传入彼得堡科学院，欧拉出于对数学的热爱，又潜心研究起“七桥问题”。
“七桥问题”是古希腊人留下的一道难题。18世纪初，波罗的海沿岸的古城哥尼斯堡（今加里宁格勒），普雷格尔河横贯市区。这条河在市区内分成两个支流，把奈发夫岛截成两段并把两岛环抱起来，形成了一个美妙的“8”字。有好事者根据古人的“七桥问题”，就在这里建起了七座桥，把两个小岛和两岸连接起来。
于是，这个问题直观地摆在游人面前：一个人怎样才能一次走过七座桥，而且每座桥只经过一次，最后又回到出发点。
从此，无论是稚气未退的少年还是白发苍苍的老者，都想试一试自己的智力。他们在这七座桥上穿来走去，但都没有一个人能成功过。因此，这七座桥便很快地名扬欧洲，又引来一批批游客。但是，又有多少年过去了，还是没人成功。
这时，29岁的独眼青年欧拉也来到了哥尼斯堡，他在桥上走了几次之后，想道：“千百万人的无数次失败，是不是说明这样的走法根本就不存在呢？”
猜想是需要证明的。于是，欧拉埋头对这个猜想进行证明。他先用“穷举法”，即把所有可能的走法列成表格，逐一检查哪种走法能行得通。结果他发现这是一件相当繁琐的事情，要列出7×6×5×4×3×2=5040条路线来！这太困难。另外，他又想到，如果存在更多的桥，或一个城市有更多的街道，那可如何列呀？
于是，他换了一种思维方式，想到了莱布尼茨的“位置几何学”。经过细心推想，他把两个小岛和两岸陆地看成A、B、C、D四个点，而把7座桥看成是7条线，就画成了一幅图：
由于此图有点像蝉，所以后人称之为“欧拉金蝉”。通过这个图形，欧拉严谨地证明：不可能不重复地的一次走遍这7座桥。
很明显，“七桥问题”是一个几何图形问题。但是，在此之前的传统几何学却把它排除在外，因为人们所熟知的几何理论，都是与“量”（长短、大小等）有关，而这个问题居然与“量”无关。“七桥问题”提出了一个新的几何学的分支——“拓扑学”。欧拉一举证明了“七桥问题”一时引起人们的敬慕和惊叹，求教的人络绎不绝。后人称他为“拓扑学的鼻祖”。接着，欧拉又继续研究，他的几何学超出了欧几里得的范围，从而奠定了“网络论”几何学科的基石。
1741年，欧拉不能忍受俄国统治者的昏庸腐败，离开了生活14年的彼得堡，踏上了普鲁士国土。1759年，他成为柏林科学院的领导人，为普鲁士王国解决了大量的社会实际问题。如社会保险、运河水力、造币规划等。他成功地将数学应用到各种实际的科学和技术领域。
1762年，俄国的叶卡捷琳娜二世继位。在这位有为的女王邀请下，欧拉重返彼得堡，继续他的研究和工作。1766年，欧拉的左眼又失明了，使他完全成了一个盲人。但他仍以顽强的毅力，采用口述，由别人记录的方法，坚持他的研究。
1777年，更大的不幸降临，欧拉的家里不慎失火，他的著述几乎全都变为灰烬。这对于70岁高龄的欧拉来说，是一个致命的打击。然而，欧拉却以惊人的毅力，重新开始他的著述。他的头脑里如一卷百科全书，他不停地口述，助手为其记录，居然把他葬身火海的著作全都重新写了出来，而且还进行了一次订正！
1783年9月18日，欧拉走过了76年的历程与世长辞。他死后，数学家们把他的著作编成全集出版，竟达72卷之多。
在欧拉的著作中，“无限小分析”方法是从欧拉开始的；变分学基础是欧拉方程；拓扑学中有欧拉数；刚体力学有欧拉角；复变函数中有欧拉函数；数论中有欧拉定理……后人称欧拉为“数学分析的化身”。在世界数学发展史上，人们把18世纪称为“欧拉时代”。
