阿喀琉斯与乌龟赛跑
当“神话”与“好莱坞”相遇时……
2004年轰动一时的电影《特洛伊》相信大家都看过吧。这部电影虽有众多很有魅力的人物登场，但无论怎么说主人公还是非布拉德·彼特饰演的阿喀琉斯莫属。
作为希腊的传奇斗士，又是马拉松选手的阿喀琉斯，在哲学家齐诺所提出的悖论里也出现过。按悖论所说，即使是天下无敌的阿喀琉斯，在赛跑时如果比乌龟后出发的话，也永远无法赶上乌龟。
假设阿喀琉斯的跑步速度比乌龟快10倍，而乌龟在阿喀琉斯前100米处出发。
与乌龟同时出发的阿喀琉斯在向乌龟前进的方向赶去的同时，乌龟也会向前行进一定距离。乌龟以阿喀琉斯的1/10的速度行进，在阿喀琉斯到达100米处时，乌龟向前行进了10米，阿喀琉斯再赶到此位置时，乌龟又会在阿喀琉斯前面10米的1/10即1米处。
如果照此进行下去，乌龟与阿喀琉斯之间的距离会逐渐缩小，但乌龟总是在阿喀琉斯的前面，哪怕是一点点。最终即使阿喀琉斯的速度比乌龟快10倍也无法超越乌龟。
解析一下逻辑的谬误
如果实际进行赛跑，阿喀琉斯肯定能够追上乌龟，这是众人皆知的事实。但是要想有理有据地反驳齐诺悖论并不是一件简单的事情。而在数学史上出现“两数无限次相加其和也是有限的”理论之后，我们就可以以数学方式推翻此悖论了。
阿喀琉斯在追赶乌龟过程中，跑100米、10米、1米、0.1米……所用的时间都比0大，但是将其所用时间无限相边得到的值却是有限的。所以阿喀琉斯不是永远无法超过乌龟，而只是在一定的时间内而已。
比如说，阿喀琉斯跑最初的100米需要10分钟，那么计算一下超过乌龟所需总时间的话就是1+1/10+1/100+……按照“无限序列数之和”的求解方法计算的话其和就是10/9，也就是说在10/9分钟后阿喀琉斯将超过乌龟。
还可以更简单地解释这一问题。出发1分钟后，阿喀琉斯在距出发点100米处，而乌龟在110米处。但是在2分钟后阿喀琉斯在距出发点的200米处，而乌龟在120米处而已，所以至多2分钟后阿喀琉斯就已经超过乌龟了。
说谎者悖论
在古希腊时期曾经流行很多悖论，其中“克里特人艾皮米尼第斯说‘所有克里特人都说谎’”这一悖论就很有名。
这同我们所熟知的“这篇文章说谎”的“说谎者悖论”是一样的。如果这篇文章说的是真实的，那么，根据文章所表达的含义该文章也在说谎，则这篇文章本身是真实的；如果这篇文章说谎，那么它所叙述的那篇文章就是真实的，从而出现即使是真实的，也是在说谎的现象。
悖论就是包含着这样的逻辑性矛盾。有这样一个故事，有一个程序员试着在电脑里输入悖论命令，正确的结果和错误的结果被无限次反复输出。
在数学史上出现的这些悖论就像令电脑混乱一样也曾使当时的数学家很困惑，但同时它们也为巩固数学理论基础做出了贡献。
自己能给自己理发吗？
此外，还有数理哲学家伯特兰·罗素提出的“理发师悖论”。这一悖论描述某人问某村的理发师有没有竞争对手。理发师回答说：
“没有竞争对手。这个村子除了自己理发的以外，都是我给理发。”
得到这个回答的人很想知道这个理发师是否会给自己理发。这个理发师给自己理发，还是不给自己理发呢？
如果这个理发师给自己理发，就与他所说的只给不自己理发的人理发的前提相违背。因此这个理发师不能给自己理发。
相反，这个理发师不给自己理发，那么他就成为“不自己理发的人”中的一员，因此根据自己的观点最终要自己给自己理发。
这不是烟斗
画家勒内·玛格利特的画，使人联想起“说谎者悖论”。玛格里特精心画了一个漂亮的烟斗，然后写上“Ceci n’est pas une pipe”(这不是烟斗)。
明明画了个烟斗却说不是烟斗，确实很荒唐。但是严格来说画布上画着的只是有烟斗样子的画而已，并不是真实的烟斗。
作者作此画的目的在于批判那些将与实物相近的形象当成实物的人，同时也传达了希望人们摒弃这种根深蒂固的连带性习惯的信息。看到这幅画就会联想起数学的悖论，这可能也是数学研究者的通病吧。
