数学家一旦构想出数学对象(例如数、函数、平行四边形、全等图形等)，就能研究这些数学对象的种种性质和对象间的各种关系，研究的结果往往是以数学命题的形式提出的。
实际上，数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等，都是数学命题，由此可见数学命题是数学知识的主体。数学命题与概念、推理、证明有着密切的联系：命题由概念组成，概念用命题揭示；命题是组成推理的要素，而很多数学命题是经过推理获得的；命题是证明的重要依据，而命题的真实性一般都需要经过证明才能确认。因此，数学命题的教学，是数学教学的重要组成部分。
(第一节 )命题的涵义
一、判断和语句
判断是对思维对象有所肯定或有所否定的思维形式。例如，对角线相等的梯形是等腰梯形；三个内角对应相等的两个三角形必定全等；菱形的四边相等；若∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△；π是有理数等。
由于判断是人的主观对客观事物的一种认识，所以判断有真有假，正确地反映了客观事物某种联系的判断，叫做真判断，否则是假判断。
判断作为一种思维形式、一种思想，其形式和表达离不开语言(包括符号的组合)。因此，判断是以语句形式出现的，我们把表达判断的语句称为命题。因此命题又可以说成是可以判断其真假的语句。
数学命题就是表示数学判断的语句，这种语句还可以用符号的组合来表达。在数学中，我们常用p，q，r等来代表任意的命题。这种代表任意命题的符号通常称为“语句变元”。通常我们还采用“1”代表任意一个真语句取的值，以“0”代表任意一个假语句取的值，“1”和“0”都称为“语句常项”。当语句变元p表示一个真语句时，我们说它取真值，记作“p=1”；否则，我们说它取假值，记作“p=0”。
二、判断的种类
1．分类标准及判断种类
我们可以按不同的标准对判断进行分类。例如，按判断本身是否还包含其他判断可把判断分为简单判断(本身不包含其他判断的判断)及复合判断(本身包含其他判断的判断)。又因为有些判断是断定某些属性是否属于这个或那个思维对象的，有些是断定思维对象之间的关系的，还有些判断是断定各对象之间的制约关系的，所以，对于简单判断和复合判断还可以进行分类，将其分类为性质判断和关系判断。而在性质判断中再按照判断的质和量以及质量结合，又可分为：肯定判断、否定判断；单称判断和全称判断；全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断和特称否定判断等。在关系判断中按照不同的关系可分为对称关系判断和传递判断。
对于复合判断，按照组成复合判断的各个简单判断之间的结合情况，又可将其区分为负判断、联言判断、选言判断、假言判断；在选言判断中又分为相容和不相容的选言判断；在假言判断中又分为充分条件、必要条件和充分必要条件假言判断。上述对判断的分类可用下图表示：判断简单判断性质判断关系判断复合判断负判断联言判断选言判断假言判断、判断的分类。
2．简单判断
性质判断是指断定事物具有或不具有某种性质的判断，性质判断由四个部分组成：主项，用来反映判断中的对象；谓项，用来反映判断中的对象具有或不具有的性质；联项，用来指明判断的主项和谓项之间所存在的联系语词；量项，用来反映主项的数量和范围，如“所有”“一切”“任何”等叫做全称量词，它们表示对主项的概念的全部外延作了判断；而“有些”“有的”“存在”等叫做特称量词或存在量词，表示对主项的外延的某些部分有所判断。根据使用量词不同，就得到不同的判断：全称判断，特称判断，又若判断是对某一个特定的个别对象作出判断，则可称之为单称判断。现举例如下：
特称肯定判断：有些整数是完全平方数。
全称肯定判断：任何一元二次方程在复数范围内都有两个根。
单称否定判断：△ABC不是等边三角形。
值得注意的是，因为单称判断的谓项是对主项全部外延的判定，所以单称判断也可以看作全称判断。
关系判断：是指断定对象与对象之间关系的判断。关系判断由三部分组成：关系、关系项、量项。关系用于表示事物之间的某种关系，关系项即关系判断所断定的对象，而量项则表示项的数量。数学中常见的关系有对称关系(包括对称关系、反对称关系和非对称关系)和传递关系(包括传递关系、反传递关系和非传递关系)。如AB垂直BC，则BC也垂直AB，所以垂直关系就是对称关系；实数关系：a大于实数b，则b就一定不大于a，所以“大于”关系就是反对称关系；又如a整除b，则b可能整除a，也可能不整除a，所以整除关系为非对称关系；a>b，b>c，则a>c，所以“>”是传递关系；在平面内，AB垂直BC，BC垂直CD，则AB一定不与CD垂直，所以在同一平面内的垂直关系是反传递关系。
3.复合判断
负判断(也称否定判断)是指在一个判断语句前面加上逻辑联词“并非”而构成的判断。
联言判断(也称合取判断)是指用逻辑联词“且”将两个判断结合起来得到的，用来断定几种事物情况同时存在的判断。
选言判断(也称析取判断)是指用逻辑联词“或”将两个判断联结起来得到的，用来断定几种事物情况中至少有一种事物情况存在的判断。
假言判断是指断定一类情况的存在是另一事物情况存在的条件的判断，所以又可称之为条件判断。
在假言判断中，有充分条件假言判断、必要条件假言判断和充分必要条件假言判断。下面我们着重讨论充分条件假言判断和充分必要条件假言判断。
充分条件是这样一种条件，有了它一定有某一结果。具有这种关系的假言判断称为充分条件假言判断。如“若某数能被6整除，则它必能被2整除”，就是充分条件假言判断。充分条件假言判断的逻辑联词为“如果……，那么……”，“若……，则……”等。
充分必要条件就是这样一种条件，有了它一定有某结果，而没有它就一定没有这一结果。具有这种条件关系的假言判断就是充分必要条件假言判断，其逻辑联结词为“当且仅当”，“必须且只须”，如一个三角形是等边三角形，当且仅当它是等角三角形。
否定判断、合取判断、析取判断、假定判断，是复合命题中最简单、最基本的形式。由这些基本形式，利用命题演算的规则，进行各种组合，可以得到更为复杂的复合命题。
(第二节 )数学命题学习
一、命题学习概述
命题学习是美国心理学家奥苏伯尔提出的有意义学习的重要基础之一。按照奥苏伯尔的观点，命题学习实际上就是指发现命题和领会命题语句的意义的学习，这又可分为接受学习和发现学习两种形式。由于命题是以语句来表达的，所以当学生有意义地学习命题时，所学习的语句与学生认知结构中已有的观念会建立联系。奥苏伯尔认为，所学习的命题与学生已有命题之间的这种关系，一般表现为三种类型。
1.下位关系：指新学习的命题内容类属于学生认知结构中已有的、包摄性较广的观念。这是新教材与学生已有观念之间最普通的一种关系。一种是派生类属，即新的命题内容仅仅是学生已有的、包括面较广的命题的一个例证，或是能从已有命题中直接派生出来的。对这种新命题，学生已有的、构成一般命题的意义的表征映象，只需稍作修改，就能产生出新命题的意义。因此，相对说来这种具体命题比较容易学习，只需少量认知活动就能领会其意义。
另一种是相关类属。当新命题的内容表现为扩展、修正或限定学生已有的命题，并使其精确化时，表现出来的就是相关类属。例如，学生已知“平行四边形”这一概念的意义，那么，我们可以通过“菱形是四条边一样长的平行四边形”这一命题来界说菱形。在这种情况下，通过对“平行四边形”予以限定，就产生了“菱形”这一概念。
2.上位关系：当学生学习一种包摄性较广，可以把一系列原有观念类属于其下的新命题时，新命题的意义便与学生认知结构中已有的观念产生了一种上位关系。例如，假定学生已知正方形、长方形和平行四边形的内角之和等于360°，那么“任何四边形内角之和等于360°”这个一般命题，就与已有观念产生一种上位关系。
3.组合关系：当学生有意义地学习与认知结构中已有观念既不产生下位关系，又不产生上位关系的新命题时，就产生了组合意义。许多新命题的学习，都具有这类意义。在数学中，很多关系的学习，既不类属于学生已掌握的有关观念，也不能总括原有的观念，但它们之间具有的某些共同的关键特征与已有知识的关系能并列地组合在一起，产生一种新的关系——组合关系。
奥苏伯尔根据命题学习的上述类型，提出了命题的接受学习理论和发现学习理论。接受学习理论解释了学生接受性学习命题和长期性保持知识的过程及其内部机制，认为命题的接受学习就是掌握命题的意义，把握事物内部实质性联系的学习。学习过程的实质乃是以符号为代表的新观念与学生认知结构中原有的适当观念建立实质性和非人为的联系。而命题的发现学习则是指不是把学习内容一开始以定论的方式呈现给学生的，而是要求学生在把最终结果命题并入认知结构之前，先要从事某些心理活动，如对学习内容进行重新排列、重新组织或转换。发现学习可以在前面提及命题的三种学习类型中发生，除此之外，发现学习还涉及其他三种学习类型：运用、问题解决、创造。
“运用”是指把已知命题直接转换到类似的新情境中去，有点类似于我们通常所讲的“练习”。“问题解决”是指学生无法把已知命题直接转换到新情境中去，学生必须通过一些策略，使一系列转换前后有序。学生已有的知识可能是与问题解决办法有关的，但需经过多次转换，而非直接运用或练习所能解决的。“创造”则是指，能把认知结构中各种彼此关系很遥远的观念用来解决新问题，而且，认知结构中那些命题与该问题有关事先是不知道的，而且各种转换的规则也是不明显的。
在问题解决中，学生现有知识与所要学习的知识之间应有一定的距离，以便需要学生去探求问题解决的办法。创造是指能产生某种新的产品。这个产品可以是对学生来说是新的，也可以是在人类认识意义上来说是新的，不管生产的是哪种产品，都应该被视为创造性行为。创造性行为与问题解决的差别在于前者表现出一定的综合水平，能够把各种要素组合在一起，形成新产品，而且这种综合水平应超过问题解决中所需要的水平。
二、数学命题的学习
数学命题的学习是指数学上的真命题的学习，即对公理、定理、公式的学习。下面按照奥苏伯尔的命题学习理论来分析课堂教学中数学命题的学习机制。
当教师把学习的数学命题采取直接呈现的方式教学时，学生对命题的学习就是接受式的。例如，教师通过语言讲述、使用幻灯或板书等多种教学媒体将“直线与平面平行的判定定理”的内容明确告诉学生。此时，学生学习的主要任务就是接受这个定理。
当新命题与学生已有的知识具有内在逻辑意义时，便使学生具有了理解新命题的心理倾向，那么就发生了有意义的接受学习。有意义的接受学习过程是一个积极的思维过程。它包括以下几个方面：①在已有的知识中找到与新命题相联系的数学知识(如在直线与平面平行判定定理的例子中直线与直线平行的概念，平面外和平面内的直线概念，直线与平面平行概念等)，经语义加工而明确新命题的前提和结论(在直线与平面平行判定定理的例子中是指理解定理的语言表述，明确定理的前提是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，结论是直线与平面平行)。②利用已有数学问题解决的经验，明确新命题与结论的内在联系(在上述的例子中是获得直线与平面平行判定定理的证明，从而明确“要证明直线与平面平行，只要证明(或寻求)平面外的一条直线与平面内的一条直线平行”)。③明确新命题与已有的数学知识之间的区别。这些思维活动都是积极的，即学生在已有的数学知识和问题解决经验的基础上，通过积极地思维而获得新命题的意义。
当新命题的内容不是直接呈现给学生，而是先通过提出某些问题或创设相应的问题情境，促使或引导学生通过思考现有问题的解决过程来发现命题或概括性结论时就发生了有意义的发现学习。例如，在“直线与平面平行性质定理”的学习中，可以向学生呈现如下问题：
如果a∥α，那么直线a与平面α内的任何一条直线是否平行？
如果a∥α，那么平面内的直线b在什么条件下一定与直线a平行？
如果a∥α，那么如何在平面内作出(或找到)一条直线与直线a平行。
引导学生思考、回答或解决这些问题，然后形成猜想，在此基础上进一步解决或修正猜想，最终导致新命题的发现。
综上所述，我们看到命题的接受学习和发现学习过程中，在学习条件、心理过程以及它们在认知功能中的作用均有不同。在命题的接受学习中，学习的主要内容基本上是以定论的形式传授给学生的。对学生来讲，学习不包括发现，只要求他们把教学内容加以内化(即把它结合进自己的认知结构之内)，以便将来能够再现或派做他用。因此，学习是否有意义，取决于学生是否建立了新命题与已有的知识之间的联系，而学习者的心理倾向取决于新知识与学生已有知识之间是否建立了联系；学生认知结构中新旧知识的相互作用导致新旧知识的同化，从而不仅使新知识获得了意义，而且旧知识也因此得到了修饰而获得新的意义。教师以这种方式设计命题教学内容、安排教学序列时，应适合于学生认知结构的组织特点，这样才能有助于学生对知识的学习、保持、迁移和运用。而在命题的发现学习中，学习的主要内容不是现成地给予学生的，而是在学习内化之前，必须由他们自己去发现这些内容。换言之，学习的首要任务是发现，然后便同接受学习一样，把发现的内容加以内化，以使以后在一定的场合下予以运用。所以，发现学习只是比接受学习多了前面一个阶段——发现，其他没有什么不同。
(第三节 )数学命题的教学步骤
一、导入步骤
导入步骤是指教师在命题教学开讲阶段使用的步骤的总称。
