除非考虑了下面这个更简单且与之有关的问题，否则这个问题的解答将是比较困难的。能否作出这样的正方形，使得它的两个顶点在三角形的同一边上，它的第三个顶点在三角形的另一边上，而对正方形的第四个顶点的位置没有限制？下图说明了几个这样的正方形。把点D，E，F与三角形顶点A联系起来，能观察出什么关系？对不同的几个三角形作这种图，会使你确信：点D，E，F与A是共线的，这个结果应该暗示了这个问题的解法。
几个符合条件的正方形
这个解法是基于下面这个由归纳方式建立的猜想：点D，E，F以及所有构作的正方形的第四个顶点都与已知三角形的相应顶点共线，能证实这个猜想吗？实际上要证明它只需确立下面几点的共线性：任意两个正方形的第四个顶点M和T与已知三角形的顶点A共线。那么一般能使用什么策略证明三个点的共线性呢？如果利用解析几何，就可以使用两种策略：一种是利用斜率，另一种是利用距离公式。下面我们使用斜率概念来证明。
为了利用解析几何知识，我们必须给三角形ABC的各顶点赋予坐标。显然把A点置于原点，把AB放在正X轴上是合适的。赋予K的坐标为(a，o)，并假定正方形K，L，M，N的边长为b，那么L，M，N的坐标分别是什么？又赋予R的坐标为(c，o)，并假定正方形R，S，T，V的边长为d，那么S，T，V的坐标各是什么？利用斜率的概念验证A，M，T的共线性，必须建立起什么关系？对这些问题的考虑将导致这个关系的证明。
当问题解决的目的是建立数学命题时，那么问题解决的教学教师实际上是在上一堂发现课。因此，完全可以这样说，问题解决的探索经历其实就是发现课。
2．鼓励学生寻找和介绍问题的不同解法
教师应该虚心接受学生发现的别的解法。人们往往容易满足于某一种解答方法，而排斥其他的方法。教师如果不能虚心地接受或让学生提出不同的解题方法就可能会窒息学生的创造性，甚至会使学生受到这样的危害，认为其他的解答方法没有根据或不正确。通过鼓励学生介绍新颖的解法，教师就获得了以实例说明数学的相互关系及其魅力的机会，同时也获得了促进学生数学方面的自我概念的机会。
有时学生们能凭着他们各自的聪明智慧，想出各种各样的解题方法，他们会乐意介绍新颖的解法，尤其是当他们的思路比其他同学甚至比老师的思路巧妙时更是如此。教师不应当美化自己解题的技能，相反，应该热情评价和鼓励学生的聪明智慧，或许还应该为自己创造了学生作出发现的机会而骄傲。如果另外的解法看起来并未显示出不同之处，那么教师就可以要求他们重新把注意力集中到这个问题的不同方面，以此来鼓励他们挖掘出不同的思路。
3．激励学生研究给定问题的变式题
向学生介绍源于给定问题的富有启发性和挑战性的问题，能激起学生数学上的好奇心，通过改变问题的某些条件，你就能设计出可供学生研究的另一些问题。例如，一旦学生解决了前面的棋盘问题，就可以向他们介绍下面这些变式问题：(1)n×n棋盘上含有多少个正方形？(2)8×8×8方体含有多少个立方体？解答过原来这个棋盘问题的学生很快就会意识到：第一个问题的答案不是n2，第二个问题的答案也不是8×8×8(=512)个立方体(为什么)，教师可能愿意把这些颇具启发性和挑战性的问题留给学生思考，并在以后再返回看看学生考虑得怎么样。上面的方法常常是激发兴趣的有效方法。
如同棋盘问题的情况一样，在一般情况下通过把二维的情形改为三维的情形也能对其他一些问题进行改编。例如，在学生已经发现平面上到给定两点等距离的点所构成的直线的方程以后，可以激励他们描述空间中到给定两点等距离的点所构成的集合。
通过修改问题的其他方面也能产生变式题。例如改变它的已知或者所要求的条件。比如求作等边三角形问题，可以把它变化成：给定等腰三角形的底边上的中线和另外一条中线，求作这个等腰三角形。进一步还可变成下面这个复杂的变式题：给定任意三角形的三条中线，求作这个三角形。还比如在讨论两个非全等圆的外公切线的作图时，所介绍的变式题实际上就是其后的求作内公切线的问题。给定问题的变式题常常是一些颇为类似的问题，这类问题有时可以借助于类似于原问题的求解分析过程加以解决。
（第五节 ）解题准则的运用
一、问题解决教学过程中师生的相互作用
前面介绍的各种准则主要着眼于问题解决教学中如何帮助学生解决问题。在教学中，还应设法让学生把这些准则体现在他们的行为中。要做到这一点，一种可行的方法就是，在和学生一起解决问题时，有意识地、明显地指出用到的准则，从而使学生意识到此准则的运用。也就是说，当教师帮助学生解决问题时，应该经常地使用那些准则中体现的想法和主意。类似于下面这样的同题和陈述应该刻画了问题解决教学过程中师生相互作用的特点。
①让我们来看看你是否真正理解了这个问题，你能用自己的语言复述这个问题吗？
②你能画出草图吗？你画了草图吗？
③这个答案和什么相像？了解这一点对我们有帮助吗？
④让我们把迄今为止所知道的问题都列出来。
⑤我们不妨暂且假设这个问题已被解决，然后尝试由此倒推上去。
⑥我们从前做过与此类似的题吗？
⑦让我们尝试用另一种方法。
⑧为什么你过后就想不起这个问题而把它看作新问题呢？
⑨你可以猜一猜，大胆地猜！
⑩你产生了某种预感吗？
⑩有这种可能性，让我们来看看它行不行。
⑩别泄气，这是一个难啃的问题。别指望立刻就能解决它，我敢肯定没那么容易。
⑩很好！让我们来看看，这个方法为什么可行？
⑩这是一种解法，看看你是否能找到别的解法。
⑩很好，我们已经解决了这个问题，现在，如果……那么情况将会怎么样呢？你的解题思路仍然有用吗？
美国数学教育家波利亚也谈到过这点。如果教师希望他的学生产生与上述问题和建议相对应的思维活动，那么他就应该经常天真地向学生们提这些问题和建议。而且，当教师在课堂上解答问题时，他应该稍带戏剧性地大致展示他的想法。并像帮助学生那样向自己提出问题，由于这种引导，学生最终能发现这些问题和建议的真正作用。而且正是通过这种发现，将使它获得某种比任何一种具体的数学知识都重要得多的东西。
二、问题解决中数学教师的角色作用
如果说使学生擅长于问题解决的过程是教学的目的之一的话，那么教师强调和评价学生所用的解题方法和程序就是合适和正当的。在许多情况下，问题的实际结果或答案可能总是次要的，比如学生认识到棋盘上正方形的确切个数为204这个事实，恐怕并不比具备下面这样一种能力来得重要：能把解决这个问题的过程用于将来的某些问题情境。这就意味着教师应该鼓励学生回顾各自的解题方法，重视不同的解题思路。总之，无论是教师还是学生，找到问题的解答后，应该花些时间和精力对问题及其解答作些回顾。
在问题解决的教学过程中另一个要考虑的因素主要是时间的花费问题，即教师应把多少时间花在问题解决的活动上。课堂上花在求解和讨论问题的时间以及布置问题的方式往往因老师而异。比如有的教师喜欢先布置几道问题，允许学生在一定的时间内完成，然后在课堂上检查这些问题的完成情况以及他们的解答；而有的教师可能按照平时的计划安排来布置问题，包括日常作业中的问题，或定期布置的一套一套的问题。
教师在实际教学中提供解决问题的机会能达到的程度反映出教师对问题解决的行为重要性作出的价值判断。有些教师总是在讲完预计的课本内容之后介绍和讨论一些问题，一般不愿意打断这种安排；而有些教师可能在主要内容的教学过程中会有意安排一些问题解决的教学，这些做法受到教师偏爱的价值判断的支配。
遗憾的是，在实际教学中教师由于迫于完成预定的年度教学内容而错过了许多把问题作为课程内容介绍的机会。还有就是有些教师对平时课堂上的问题到底在什么程度上可以用问题解决的模式来讨论这个问题，也未认真地加以考虑。实际上在教学中教师必须确定出课堂上的重点问题——即什么是一节课的重点内容——并在此基础上决定是否有可能给学生提供问题解决的经历。
在问题解决的教学中另一件极为重要的事情就是教师的态度。教师必须是数学探索活动中的一位热心者，好奇心也是极为重要的。诸如下面这些质疑：“我想知道是否……”“你以为……可能吗？”“我们可以怎样求出……”反映出教师具有的一种态度、一种智力上的好奇心和神态，无疑，教师的这种态度能在学生中起到潜移默化的作用。
教师必须表现出自己的行为神态。这就要求有使人着迷的表情、笑容以及其他的体态语，用来显示他在作出数学发现时的激动和兴奋。有时，教师必须充当一个同样也在寻找问题解决的角色。有时教师又要扮演一个持怀疑态度的角色——引导而不是直接告诉学生如何解决问题。问题解决的教学并非易事，困难之处就在于既要使学生保持持久的兴趣，又要做到不给他们过多的提示以免使探索解答的过程失去真正的挑战性，同时还要避免他们因受挫折而放弃解题。
最后，教师应该以热情的火花点燃学生解答问题的动机。许多诱发动机的方法和技巧，都可以应用于问题解决的教学，此外，由于问题解决自身的特点，问题解决教学中有着更多的动机因素。正如波利亚所指出的：最佳的动机因素来自学生对其作业的兴趣。然而，还有一些不应忽视的动机因素。比如，在学生做题目之前，先让他们对问题的结果或部分的结果进行猜测，学生的自尊多少有点取决于最后的结果。这促使学生急于想知道他的猜测是对还是错，所以学生将主动关心自己的作业和班上同学的作业，学生便不会睡觉，也不会表现出不良行为。
出色的问题解决教学的教师会使用许多教学技能，他们既有帮助学生解决问题的任务，也有帮助学生把解决问题的策略落实到他们各自的行为中去的任务。为了实现这个目的，教师必须以这样的方式向学生提出问题：鼓励他们接受问题的固有挑战，并就如何才能解决问题，大胆地提出假设，并检验假设。这就需要有周密细致的计划，还需要以最富艺术性的方法去影响学生。
