在主干课程教改实践中对案例教学方法的思考
盛新志，邓振波，汪家升，李 丹，缪萍
（教育部发光与信息技术重点实验室，北京交通大学理学院物理系，100044）
摘要：在激光原理主干课程案例教学实践中，本文注重案例编制的针对性和思辨容量，注重教师新角色定位，以及投票器等新技术的课堂应用，引导学生动手动脑，让学生自己提问题、找规律、概括特点、完善自己的知识结构，在学生创新意识的培养方面有所收获。
关键词：案例教学 针对性 思辨容量 角色定位 投票器
案例教学，是利用案例作为教学媒介的一种教学方法，最早可以追溯到古希腊、罗马时代。20世纪初，案例教学开始被运用于商业和企业管理学教学，其内容、方法和经验日趋丰富和完善，并在世界范围内产生了巨大的影响。就案例教学法本身性质而言，并没有文理科的差异，但由于历史的原因，案例教学在理工科课程中应用很少。作为一种提高学生综合素质的有效教学模式，案例教学法从理论上说可以超越学科的范畴，运用到理工科课程教学中。为此，作者在光信息科学与技术专业主干课程激光原理中进行了案例教学的探索和尝试，取得了一些成效，同时也遇到了一些障碍，深刻体会到案例教学的实施是一项系统工程，从指导思想到教学设计、教学组织过程都有其自身特点。本文基于案例教学中的初步实践，主要谈谈案例教学过程中须注意的一些问题。
一、案例要具有针对性
案例教学是在学生掌握的基本知识和分析技术的基础上，在教师的精心策划和指导下，根据教学目的和教学内容的要求，运用典型案例，将学生带入特定事件进行案例分析的教学方法。因此，案例必须有针对性，要以学生已有的基本知识和分析技术为基础，要为具体的教学目的和教学内容服务，是教材相应知识的延伸和拓展，要有利于提高学生识别、分析和解决某领域具体问题的能力。
在光学谐振腔理论中，谐振腔积分本征方程的导出是这一章的一个教学重点。对激光器纵横模式的严格分析就是建立在对谐振腔积分本征方程求解的基础上，加深对谐振腔积分本征方程本身意义的理解，有助于对纵横模式的感性及理性认识。谐振腔积分本征方程的导出，需要的知识学生在先期课程中都学过，但是都是分散在各门课程中，需要在这里综合应用。同时，谐振腔积分本征方程的推导需要多步近似，这都是根据光学谐振腔的实际采取的必要步骤，也是对光学谐振腔纵横模式应用范围的限定，是非常重要的知识，但是容易流于枯燥。课堂教学中往往形成教师上面推、学生下面困的情况，这是教学上的一个难点。
实际上，在学习自再现模式概念的基础上，只要能够进行面光源照明的计算即可得到谐振腔积分本征方程。受几何光学的影响，学生对光传播方向的处理较为重视，尽管也接受了分析波传播的惠更斯原理，由于前期课程一直无光强分布的分析需要，对于光强度传播的处理较为陌生。
我们以面光源对相对镜面的照射为教学案例，提前布置，引导学生在课下查找历史发展过程，理清从波动光学惠更斯原理到菲聂尔－基尔霍夫积分处理的发展脉络；在课上引导学生提出解决方案，并进行方案可行性激辩，以及不同方案的比较。在复习旧知识的同时，也将前期课程讲过但不太强调的菲聂尔－基尔霍夫积分提到前台，增加学生的熟悉程度，使学生能详细理解其中各参量的意义和作用。学生对计算机软件的学习积极性通常很高，在这一案例教学中我们有意识地鼓励学生课下去运用所学编程知识进行菲聂尔－基尔霍夫积分的实际计算。为简化计算，针对光学谐振腔结构的特点及所关心的腔内旁轴光线状态，学生会自动寻求有针对性的近似处理，直接加强了对菲聂尔－基尔霍夫积分应用于光学谐振腔近似条件合理性，这一烦琐枯燥但又非常重要的教学内容的理解。
二、案例要具有思辨容量
案例是为说明一定的问题而设立的，是与相关物理知识、激光原理相联系的，用以研究、讨论和认识其发展变化的规律，案例本身不应是简单的事例，而应是包含一定需要思辨的内容和问题。传统教学法是教师讲、学生听。教师强制性地控制学生的思维方向，以灌输的方式从书本到书本，从概念到概念，关注的是向学生灌输了哪些知识，忽视对学生学习潜能的开发和个性化教育，不鼓励学生学习自主积极性的迸发。导致学生从理论到理论，既增加了理解难度，也易与实践脱节。案例教学，教师的职责是启发引导、组织调控、创造一个“整体参与、充分民主、鼓励竞争”的开放式课堂，使学生在课堂上能彻底获得“自由”，充分发挥主体作用，以至各种能力得到充分发展。因此，作为剧本的教学案例必须有一定的厚度和抗击穿深度，才能海纳百川，为上百人的思辨锋芒提供足够宽广的展现舞台。
在光学谐振腔理论中，针对对称共焦腔进行分析，解出谐振腔积分本征方程的解析解，进而找出球面镜稳定腔与对称共焦腔的等价关系曲线，求得球面镜稳定腔内光束特性。在解对称共焦腔的谐振腔积分本征方程时，涉及镜面坐标系的选取，教材上就直角坐标系及极坐标系分别给出了各自的解析解，分别为厄米和拉盖尔这两种特殊函数与高斯函数的乘积。教材上是以方形腔镜和圆形腔镜来为两种坐标系选取找理由。尽管低阶的厄米和拉盖尔函数差异很小，可还是容易给人以两种镜子差别很大的印象。实际上，镜面光斑半径较镜面的差很多，镜边缘是什么形状不应该对横模带来像厄米和拉盖尔这样大的差异。
以解谐振腔积分本征方程为教学案例，学生们八仙过海各显神通。据学生过后谈体会时说，过去觉得特别枯燥的数理方程，现在书到用时方恨少，那些特殊函数，当时学时觉得很烦，对特性的理解很困难，基本上是背下来，现在看到了它的作用，它的性质直接决定模场分布，言之有物，才有了理解。像厄米和拉盖尔这样的特殊函数，在学数理方程时是两类不同的函数，有非常大的差异。现在结合谐振腔模场来理解，两者的低阶非常相似。更进一步，有学生提出，谐振腔模式是不是客观存在的问题。光波模式是光信息科学与技术专业学生接触比较多的概念，从导波光学课程开始，一直到光通信导论，尤其是在光纤相关知识点中，光波模式都是一个非常重要的概念。学生一直认为光波模式是一种客观存在。光纤中基模就是基模，高阶模就是高阶模。因此，对光纤中的模式既有TE 模，又有PL 模，很难理解。现在学习激光原理，谐振腔又有光波模式，更进一步增加了混乱。一些勤于思考的学生，希望搞清楚这些模式有没有关联，有什么相同的地方？在激光谐振腔中，谐振腔镜半径比镜面光束半径大得多，腔镜外形对光波模式应该影响有限，选取不同的镜面坐标系，光波模式表示函数表现出较大的差异，所以，是不是可以认为光波模式并不是一种客观存在，其中有无人为的痕迹等有深度的问题。
通过将解对称共焦腔的谐振腔积分本征方程列为案例，学生们经过辩论，经过对导波光学、光通信导论、高等数学等课程知识的回顾，对光波模式概念的认识趋于一致，那就是光波模式并不是完全客观的存在，受人为正交完备系选取的影响。由数学中函数展开的知识，学生们认识到，同一个光场分布，可以用不同的正交完备系函数展开，系中每一个函数，就是一个模式。稳定的光波分布就是光波模式，对同一个稳定的光场分布可有不同的模式序列标记方式。当然，人们会选取最简单的那个表示。因此，光波导中、光纤中、谐振腔中，对光波模式有不同的标记方法也就容易理解了。
案例既是课堂教学的出发点，又是落脚点，探究案例需要学习理论，学习理论是为了探究案例。学生通过自主学习，将前期在不同课程中学到的基本知识串了起来，搜寻前人在认识同一问题过程中的生动故事的同时，体验了基于自己的知识和进行探索的乐趣。具体问题的解决，提高了学生的自信心，也增强了他们学习激光原理课程的兴趣。
三、要注意教师的角色定位
在传统教学中，教师的角色定位是知识传授，只要熟悉教材、表述清楚、预设问题有启发性，就算尽到了教师的职责。学生的角色是听讲者和知识的接受者，处于完全被动的地位，这在扩招的现行形势下更趋严重。在案例教学中，教师的角色定位是导演兼编剧，是要引导学生去思考、去争辩、去做出决策和选择及去解决案例中的特定问题。因此，教师不只要在课前有针对性地编写“脚本”教案，还4需要利用一切可行的技术手段调动课堂情绪，激励绝大多数学生参与。
在案例教学中，学生有较大的自主权，可以以小老师的身份上台给出解决方案，学生与学生、学生与教师之间是平等的，时常展开争辩。教师实际上更多地从讲台前站到了学生的背后，这既可调动学生的积极性，也可使学生有展示自己能力的机会。学生由被动接受知识，变为接受知识与主动探索并举。学生将应用所学的基础理论知识和分析方法，对案例进行理论联系实际的思考、分析和研究，既可以从自己和他人的正确决策和选择中学习，也可以从承受的错误中学习。这样，学生不再是被灌输知识的对象，学生学到的知识不再是书本上的教条，而是活的知识及思考和解决工程问题的方法和能力。
在案例教学中，一大问题是有些学生的参与度持续较低，这里面有程度较差、跟不上课堂发展的学生，也有性格内向、畏惧抛头露面的学生，传统文化中中庸思想的影响无处不在。教师不能只欣喜于学习尖子的锋芒毕露，还要注意观察大多数学生的反应，要在进展激烈时适当拉拉刹车，适当进行小结回顾，给全体学生以消化时间，使讨论井然有序。另外，我们在课堂实践中发现，即便是大家都没有迷茫的表情，也要注意停顿节奏；注意考查重要概念、原理，学生是不是吃得深。实践发现，使用课堂投票技术在这方面是一个很好的手段，既可以实时调查学生的理解面及深入程度，避免有些学生怕说错没面子的顾虑，让学生得到充分的发挥，获得最大的收效，又可以通过预设的问题及答案适时调整讨论的热点，因势利导，掌控学生分析的方向，避免冲向无关的细枝末节，浪费宝贵的课堂时间。
在案例教学中，教师与学生的关系是“师生互补，教学相长”。教师既要掌握相关的理论知识，又要积极地参加科研项目，在实践中锻炼自己分析问题和解决问题的能力，才能提炼出具有深度和广度的案例素材，对教师也提出了更高的要求。通过案例研究，活跃了课堂气氛，提高了学生的学习兴趣和解决实际问题的能力，提高了教学效果，为学生将来能在激烈竞争的现代社会立足打下一定的基础。
四、结束语
案例教学既要求教师具有渊博的理论知识，又要求教师具备丰富的教学与实践经验，并将理论与实践融会贯通；同时要求教师不断地更新教学内容，补充教案，还要求教师更加重视工程实际，对工程实践中的问题保持高度敏感，不断地探索适宜教学的案例。借助于案例，教师不仅可以从中获得认知的知识，而且有助于提高其表达、讨论技能。
将数学建模思想引入教学中以推动教学改革——偏导数在经济中的应用
李思泽，黎传琦
（北京交通大学理学院，100044）
摘要：推动研究性教学，提高大学生创新能力，抓住课堂、探索实践，将数学建模的思想引入教学中。在微积分的教学中，学生经常感到困惑的问题是：我们学的这些数学有什么用？本文就国民经济中产品产量和工厂最大利润问题，通过应用微积分偏导数的性质和经济学中边际的概念，对一个实例进行理论分析，建立了相应的数学模型，给出解答，并由此推广到更一般的情形。
关键词：导数 偏导数 边际函数 成本 利润
引言
在数学学习中，有时我们要设立一种场景，使得能对数学加以更好地利用。
把现实世界中的实际问题加以提炼、抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的答案来解决现实问题，数学的这一应用过程被人们称为数学建模。数学建模就是用数学的观点去解决实际生活中的问题。
确定产品的产量以求获得最大利润
微分学在国民经济中有广泛的应用。在经济问题中，常常会使用变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，如我们常用的年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等。而瞬时变化率就是函数对自变量的导数。
对给出的实际问题，我们首先要建立数学模型，也即目标函数，然后给出解决方案或解答。
参考文献
［1］叶其孝.数学建模教育与国际数学建模竞赛.合肥：《工科数学》杂志社，1994.
［2］叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（一）．长沙：湖南教育出版社，1993.
［3］叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）．长沙：湖南教育出版社，1997.
［4］李尚志.数学建模竞赛教程.南京：江苏教育出版社，1996.
［5］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2003.
［6］韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：高等教育出版社，2005.
