上面的故事是人为杜撰的呢，还是真有其事？现在已无从得知。不过，抱有上述想法的，历史上可不乏其人！大约在本世纪初，列宁格勒（旧称彼得堡）出现过一本书名很怪的小册子，叫做《彼得堡和莫斯科之间的自动地下铁道，一本还只写成三章，未完待续的幻想小说》。作者在书中提出一个惊人的计划：在俄国新旧两个首都之间，挖一条600公里长的隧道。这条笔直的地下通路，把俄国的两大城市连接起来。这样，“人类便第一次有可能在笔直的道路上行走，而不必像过去那样走弯曲的路！”作者的意思是：过去的道路都是沿着弯曲的地球表面修筑的，所以都是弧形。而他设计的隧道却是笔直的！不过作者写书的主要意图，还不在于考虑两点间线段最短。而是这样的隧道如能挖成，则有一种奇异的现象：任何车辆能像单摆一样，在两个城市间来回移动。开头速度很慢，后来由于重力的作用，车速越来越快；接近隧道中点的地方，达到了难以置信的高速，而后逐渐减速，靠惯性行进到另外一头。如果摩擦力可以忽略不计的话，走完全程只需42分12秒！光沿短程线前进的性质，这是物理学家早就注意到的。如下图，由A点射出的光线，通过l上的点C反射到B点，则由入射角等于反射角推知，C点即线段A′B与l的交点。这里A′是A关于直线l的对称点。容易证明，对于l上的另一点C′，必有AC′+C′B>AC+CB，事实上AC+CB=A′C+CB=A′B<A′C′+C′B=AC′+C′B结论是很明显的！这表明光所走的折线ACB，是从A经l到B最短的路线。
不过严格地讲，光所走的是一条捷径。即走完全程所用的时间最短。
建议读者亲手做一做下面的试验：
在光滑桌面的另一半，铺上一层薄薄的绒布。让一颗铁球由光滑面斜着滚向绒布。这时你会看到一种奇特的现象：铁球在绒布的交界处突然折转了方向，如同光线的折射一般！上述现象发生的原因在于，铁球在光滑桌面和绒布上行进的速度不相同。铁球也像光线一样，走的是一条捷径！下面是一个有趣的问题：
一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样路线爬行，才能最快抓到苍蝇？显然，当把长方体（左上图）的上底面及右侧面展开成如同右上图的平面图时，蜘蛛爬行的路必须是线段AMG或ANG中较短的一条。假令AB=a，BC=b，AE=c，则由图知AMG=（b+c）2+a2=a2+b2+c2+2bcANG=（a+b）2+c2=a2+b2+c2+2ab当a>c时，ANG>AMG，说明蜘蛛应当沿折线AMG爬行，才能最快抓到苍蝇；反之，则必须沿折线ANG爬行！另一个类似的趣题：苍蝇为了防止蜘蛛的袭击，而想爬过长方体所有的六个面探查一下，并尽快地返回原地。那么苍蝇至少要爬行多长的路？这个问题的结论不太容易想到。从下面的展开图中可以看出，苍蝇爬行的路线应当是一条过G点而又平行于图中虚线AA的线段（为什么？请读者想一想）。容易算出，这条线段长为2（a+b+c）。这个量与苍蝇原先所在位置无关（为什么？）。
很明显，对于可以展成平面的曲面，曲面上的短程线问题，都可以用类似上面展开的方法加以解决。右图的圆锥曲面就是一个例子。
然而，并非所有的曲面都能展开成平面。
我们最常见的球面，其任何一小部分，都不可能毫无重叠或破裂而展成平面。这就是无论哪一种地图，总不可避免地要产生变形的原因，没有一点畸变的地图根本不存在！这样，当你翻开一张地图细心观察时，你便会发现一个有趣的现象，图上画的航线几乎都是一条条弧线。这才是真正的球面短程线--大圆弧线。而图面上看起来是直的线，实际上只是保持与经线等角的斜航线。
抽签之谜
班级决定举行法律知识竞赛，各小组出一名代表参加。为了检查基本法律知识的普及面，规定全班同学都做准备，赛前由各小组用抽签的方式，随机决定参赛人选。
比赛定在下午举行。上午放学路上，小聪、小明和小花三个同组的同学走在一起，边谈边议着下午竞赛的事。小朋对小聪说：
“你们比我们准备得都要充分，下午抽签你就先抽吧！”“这跟抽签先后有什么关系？”“啊！怎么没关系！先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会要大。”“这也不一定！”在一旁听他们争论的小花冷不防插了一句。
“怎么会不一定！”小明急忙辩解，“第一人抽的时候，无论如何做记号的签纸还在，假如这张纸被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了”。
小明一边对小花说着，一边目光频频朝小聪看，似乎在寻找支持者。不料小花不甘示弱，语出惊人，说出了一番颇有份量的话：
“我看后抽的人抽到的可能性更大。比如我们组有十个人，做记号的签条只有一张，因此第一个抽到的可能性是十分之一。由于110的概率是很小的，所以第一个人一般是难于抽到的。但对第二个人来说，这时只剩下九张签纸，其中包含了一张做有记号的，因此他抽到这张签纸的可能性是九分之一。这比第一个抽到的十分之一可能性要大些。
如果前九个人都没有抽到的话，那么最后一个人抽到有记号签纸就是必然的了，这时抽到的概率还等于1呢！可不是！”小明被小花一番有板有眼的话说得语塞，一时想不出什么更有力的论据，只是怀疑地反问：
“你说的都是别人抽不到有记号的签，如果别人抽到了呢？”这时，刚才一直在思考的小聪，出乎意料地半路杀出一种观点来：“我看所有人抽到有记号的签的机会是一样的！”“怎么？一样？”小明和小花异口同声地惊呼！这的确有点使人难以置信。小明一向佩服小聪，知道他没有相当把握是不会轻易作结论的，但这时也不禁满腹狐疑：
“要知道第一个人抽时有十张签纸，而最后一个人抽时只有一张签纸，事实上他抽不抽都无所谓，因为实际已经决定了的。他们抽到有记号签的机会能一样吗？”“是的，我是这样认为的。”小聪不觉加重了语气。随着他问讯小明和小花，“全组有十个人，一个接一个地抽，抽到什么签，假定大家暂时都不看，或者即使看了，也暂时不声张，那么每个人拿到有记号签的可能性有多大呢？”“十分之一！”两人齐声回答，似乎有点不以为然。
“现在大家再去看抽的是什么签，这与抽签顺序及抽到签的内容会有影响吗？”小聪又一个问。
“当然没影响！”小明和小花又一次齐声答。
“那这不是说他们抽到有记号签的可能性都是十分之一吗？”小聪胸有成竹。
“？！”真是绝妙的解析！小明和小花似乎为小聪的智慧所折服。真的，当初他们还以为这是“针尖对麦芒”式的抬杠呢！虽说如此，在他们的心里还是有点嘀咕：“抽签的人都是一抽到就看签纸的呀！”他们老感到这个前提有点蹊跷。但小聪本人也无法说出一个所以然，他们决定第二天把这个关于抽签顺序的“谜”请教老师。
老师没有直接回答“谜底”，而是拿了一些围棋子，放入小布袋中，问大家：“假定袋里有m个白子和n个黑子，那么第一次摸到白子的可能性有多少呢？”“mm+n”大家答。
“摸到黑子呢？”“nm+n”。
“对！”老师肯定说，“现在假定这个已经摸出的棋子不放回去，那么袋里一共还有几个棋子？”“有（m+n-1）个”三人异口同声回答。
“如果这时大家从袋子里抽出一个白子的可能性是多少呢？”老师继续问。
三人全都陷入了沉思。到底是小聪反应快些，他说：“老师，我们还不知道第一次抽的是白子还是黑子呢？”“很好！”老师赞许地点点头，“第一次可能抽到白子，也可能抽到黑子”。
“那么两种情况都要考虑对吗？”三人似有所悟。
“对极了，同学们。现在请你们拿张纸算一算吧！”于是三个朋友围在小桌旁，边讨论边计算。跃在纸上的算式，清晰地描绘了以下的思路：
第一次如果摸到白子，那么袋子里剩下m-1个白子和n个黑子。此时去摸，又得白子的可能性为m-1m+n-1第一次如果摸到黑子，那么这时袋子里剩下m个白子和n-1个黑子。此时去摸，也得白子的可能性为mm+n-1注意到第一次摸到白子的可能性为mm+n，摸到黑子的可能性为nm+n，因此第二次摸到白子的总可能性是：
p=mm+n·m-1m+n-1+nm+n·nm+n-1=mm+n“老师，第二次摸到白子的可能性也是mm+n。”三人为所得结论兴奋不已。
“那么第三次，第四次摸到白子的可能性呢？”老师再问。
“每次摸到白子的可能性都跟前一次是一样的，都应该等于mm+n”，小聪推理地说，小明和小花也投以赞同的目光。
“太好了，同学们，我想你们已经能够自己得出抽签之”谜“的谜底了！”亲爱的读者，可能你也猜到关于抽签顺序的谜底了。那么，你能说一说，小明、小花和小聪他们三人开始的结论，谁是对的呢？
大敦穴的发现
《内经》是我国最古老的一部医学宝典，其中的《针刺篇》曾记载了这样一个故事：
有一个樵夫经常犯头痛病，但找不到治疗的办法。有一次，这个樵夫上山去砍柴，无意中碰破了足拇指，出了一点血，但这时他却感到头部不痛了，当时他也没有在意。后来，他的头痛病复发，在砍柴时又偶然碰破了上次碰破过的地方，这时他的头痛病又好了，这次却引起了他的注意：奇怪，为什么碰破了这个部位，我的头痛病就好了呢？于是便记住了这个部位。以后，每当他犯了头痛病的时候，就有意识地去刺破这个部位，结果头痛病马上就好了，或是减轻了疼痛。这个樵夫所碰的部位，就是现在人体穴位中的大敦穴，它在足拇指的指甲的外侧根部。
这个樵夫发现大敦穴的过程，就是采用了不完全归纳法。
我们知道，归纳推理是从特殊性的前提，推出一般性结论的一种推理方法，也就是从特殊到一般的推理方法。归纳推理又分为不完全归纳法和完全归纳法。
不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况出发，得出一般性结论的归纳推理，在日常生活中及数学中经常用到这种方法。
比如，人们通过实验，发现金能导电、银能导电、铜能导电、铁能导电、铅能导电……而从来没有发现不导电的金属，于是，人们便作出结论：一切金属都能导电。这种推理方法就是不完全归纳法。
又如，探求多边形的内角和公式时，先通过对四、五、六边形的研究，寻求规律，进而归纳出多边形的内角和公式。
在求四边形的内角和时，引它的一条对角线，则四边形被分成两个三角形，于是得到四边形的内角和为（4-2）×180°=360°在求五边形的内角和时，从它的一个顶点引出两条对角线，则五边形被分成三个三角形，于是得到五边形的内角和为（5-2）×180°=540°在求六边形的内角和时，从它的一个顶点引出三条对角线，则六边形被分成四个三角形，于是得到六边形的内角和为（6-2）×180°=720°……
一般地，当多边形的边数为n时，它的内角和为（n-2）×180°这种推导多边形内角和公式的方法也是不完全归纳法。
我们再来看一个例子：
先观察几个式子：
1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52……
这里有什么规律呢？我们看到，等式的左边是从1开始的连续奇数的和，等式的右边是一个完全平方数，左边有几个奇数，右边就是奇数个数的平方。
由此总结出：
1+3+5+…+（2n-1）=n2n个奇数这种总结规律的方法采用的也是不完全归纳法。
凫雁相逢
小学数学课本中的行程问题分成两大类，一类是“相遇行程问题”，一类是“追及行程问题”。运用行程问题的原理可以解决许多数学问题，如工程问题、行船问题和工作问题。但是你知道世界上是哪个国家系统而全面地研究这个问题吗？实际上，我国是世界上最早研究和使用行程问题的原理及用这个原理来解决实际生产和日常生活有关问题的国家。
早在距今一千九百多年前，我国东汉初期成书的《九章算术》中就有关于“相遇行程问题”的记载。该书第六章第二十题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”题中，凫是一种能飞的野鸭；凫雁俱起就是一齐起飞。
解：设南海经至北海路程为整体“1”。凫飞完全程需七日，每日飞全程的“1÷7=17（即凫速度）；雁飞完全程需九日，每日飞全程的”1÷9=19（即雁速度）。
今凫、雁俱起几日相遇？1÷（17+19）=1÷1663=31516答：凫雁31516日相遇。
洛书的神幻
将1～9九个数填在下面的空格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。
这是一个古老的数学问题，在我国古代称为“九宫算”、“纵横图”。在国外称它为“幻方”或“魔方阵”。它还联系着一个古老的传说。
公元前二千多年，那时我国大地上洪水泛滥。人们无法生活，有个叫夏禹的为大家治水。据说当时从洛水中浮起一只大乌龟，背上有着奇特的图案。夏禹根据这个图案的启示终于治水成功。后来人们把这个图案称为“洛书”，长期来人们对它感到神幻莫测，实际上这是上面提出的将1～9九个数填入九个空格中的数学题。
那么，怎么填这九个数？宋代著名数学家杨辉提出一种解法，这种解法可以简单地归纳成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”。意思是先将1～9九个数依次斜排，然后将（1）与下（9）对调，左（7）与右（3）对调，再将四面中间的数（2、4、6、8）向外挺出就成功了。
除此之外，还有三阶、四阶……
