世界上有许多现象，光凭外观是很难洞悉它内在的本质；但也有两件似乎风马牛不相及的事情，却有着千丝万缕的联系。
速算是很引人入胜的，两个十位数字相同而个位数相补（和为10）的数，它们的乘积可以立即写出。例如：
32×38＝121697×93＝9021。
诀窍是：答案的头两位数等于共同的十位数乘以该数加1；而后两位数则等于个位数的积。
任何一个初中学生都能够用学过的代数知识去验证上面速算的正确性。但并非人人原先就懂得这种关系。当他们第一次遇见这样算法时，同样会诧异不已！下面介绍一种奇特的乘法，大约不会有很多人一下子就想到它与二进位数的亲缘关系。
例如你要做乘法29×17。先处理29：把它除以2，得到整商14写在29下面；再把14除以2，又把整商7写在14下面；……如此这般，一直写到整商是1为止。在以上过程中，相除时是否有余数则不管。于是我们得到从上到下的一列数，29，6，7，3，1，如同下页表左列。
现在再处理17：如左下表右列，下一个数均为上一个数两倍，从上到下依次为17，34，68，136，272。接下去，把左列的偶数及右列同行的数划掉（如右边的表）；再把右列剩下的数都加起来；则所得结果493即为29×17。
1714347683136127229[KG*2〗17143476831361272493奥妙在哪儿呢？原来左列实际上做了把29化为二进制的工作。从下到上这列数的奇偶性是：
奇、奇、奇，偶、奇。
把“奇”用1，“偶”用0表示，即得11101。这就是29的二进制数形式。右边一列实则依次为：
17，17×21，17×22，17×23，17×24。
划去与左列的偶数同一行的数后，其和为493=17×24+17×23+17×22+17=17×（24+23+22+1）=17×11101（2）＝17×29有一种称为“猜数”的游戏，它的有趣形式，很难使人想到它与上面的算法运用着同一个原理。
游戏的道具是五张长方形纸片，各张上写着以下数字：
第一张：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31；第二张：2，3，6，7，10，11，14，15，18，19，22，23，26，27，30，31；第三张：4，5，6，7，12，13，14，15，20，21，22，23，28，29，30，31；第四张：8，9，10，11，12，13，14，15，24，25，26，27，28，29，30，31；第五张：16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31。
1357911131517〖〗1921232527293123671011141518〖〗1922232627303145671213141520〖〗21222328293031（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）8910111213141524〖〗25262728293031161718192021222324〖〗25262728293031（Ⅳ）（Ⅴ）现在你可以开始你的游戏。请你的观众随意想好一个从1到31之间的数记在心里；然后你把你的五张纸片让他看，请他把五张纸片中有他想的数的那几张抽出来；那么，你把抽出来的纸片里写在最上方的数都加起来，它便是你的观众所猜的那个数！比如，观众心里想的数是21，那他抽出的纸片必定是（Ⅰ）、（Ⅲ）、（Ⅴ），这几张纸片的上端的数字分别为1、4、16，因而你观众所想的数是：
1+4+16=21这似乎是神奇的，其实道理也很简单，认真观察一下就知道，纸片（Ⅰ）上所有的数用二进制写都是形如××××1（2）1的数，而纸片（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）、（Ⅴ）上的数则分别形如：
×××1×（2）2××1××（2）4×1×××（2）81××××（2）16如果某一数字在（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅴ）中出现，而不在（Ⅱ）、（Ⅳ）中出现，那么此数必为10101（2）=16+0+4+0+1=21。上面式子中的16，4，1，我们已经用隐蔽的方式，写在相应纸片的上端，不必游戏者去临时换算。
“猜数”游戏可以改头换面，变成一种相当精彩的小魔术：“猜百姓”。在魔术中不见任何一个数字，更无需做什么加法，而是通过穿洞式直接显示的办法，找出所要猜的姓氏来。
魔术的道具是六张像扑克牌张王李赵吕郑周黄陈林刘魏孙许叶〖〗江毛吴顾扬杜胡苏潘邱程谢余肖邓高梁一样的长方形纸片，第一张纸片上写的是常见的32种姓氏：另外五张纸片设计如下，画有圆圈的地方是穿成洞的：
○毛○李○顾○张吕○余○周○梁〖〗○○杜○程○苏○邓魏○林○许○江○李赵○○周黄○○○○陈林○○孙〖〗许顾杨○○苏潘○○○○邱程○○肖邓肖○赵○○周○王杜○魏○○叶○林孙○杨○○苏○吴吕○余○○高○程（1）（2）（3）○○○○毛吴李赵○○○○顾林张〖〗王○○○○陈谢邱程○○○○刘魏余杨○○○○○○○○○○○○○○○○李周刘叶赵黄魏江张吕陈孙许郑林王（4）（5）魔术表演时，你可以请你的观众看一看各张纸片上有没有他自己的姓。如果有，则该张纸片正摆；如果没有，则第（1）、（2）、（3）片左右翻，第（4）、（5）片上下翻；然后六片对齐，把写有全部姓氏的纸片放在最下面。例如，观众的姓出现在第（1）、（2）、（3）、（5）几片中。则第（1）片正摆；第（2）片也正摆、第（3）片又正摆；第（4）片上下翻；第（5）片再正摆。五片对齐后只留下一个洞是全部穿过的，这个洞正对着姓氏表上的“周”，这就是那位观众的姓。
这可是一个有趣的魔术，建议你照图样做一副道具，相信你将在同伴中引起不小的轰动哩！
玩扑克牌
两个人玩扑克游戏，各人手上都拿到两张牌。这是四张非常有趣的牌：A、K、Q、J齐备，、、、俱全（A当14点）。已知：
（1）的点数比少；（2）的点数比另一个人手上拿的两张牌都大；（3）的点数比同一个人手上另一张牌的点数大；（4）与的点数和不小于与的点数和。
问这四张牌各是什么？很显然，题中所有的关系可用4×4表格体现出来。
由（1）→〔1，1〕=“0”〔2，4〕=“0”由（2）→〔3，3〕=“0”〔3，4〕=“0”由（3）→〔1，4〕=“0”AKQJ00+0╊0000+00000╊由〔1，4〕=“0”〔2，4〕=“0”〔3，4〕=“0”→〔4，4〕=“+”，（J）由（4）及J→〔2，1〕=“+”，（A）根据“+”号所在行列补“0”的原则，接下去很容易推得〔1，3〕=“+”，（Q）；〔3，2〕=“+”，（K）。从而两人所拿到的牌分别为：A，K和Q，J。
有一类逻辑推理难题，题中构成判断的句子同时含有真与假两种成份，如同下例：
四名学生预测他们的考试成绩。
D说：“看来我得第一，A得第二。”C说：“不见得吧！我想你只能得第二，我得第三。”B说：“我看我稳得第二，C最后。”A说：“那等着瞧吧！”考试结果B、C、D三人各自都只说对了一半，问四人的实际名次如何？我想，无需多加说明，读者一定能洞悉下表中符号的含意。
名次学生〖〗1234AD2BB1CC2B2DD1C1推理工作可以从文字最少的行列开始，如左表的第四列。
假令B2〔3，4〕=“+”，从而推知B1=“0”，C2=“0”；又从C2=“0”推得C1=“+”；再从C1=“+”推出D2=“0”；从而D1=“+”。这样在第四行竟然出现了两个“+”。这是不允许的！因而B2≠“+”，即B1=“+”。以下的推理是：
B1=“+”→C1=“0”D2=“0”→C2=“+”D1=“+”→A〔1，4〕=“+”即知四人的名次依序为D、B、C、A。
十五子棋
有一种与魔方亲缘甚密的图形还原游戏，叫“十五子棋”：在有16个方格的盒子里，装着15块标有从1到15的数字的小方块，并留有一个空格。开始时，小方块是按随意的顺序放进盒子里的。游戏的要求是：有效地利用空格，调动小方块，使盒子上方块的数字还原到下图的正常位置。现在的问题是：这样做可能吗？这是一个相当简单的游戏，几乎人人一看就会明白。然而有时我们能够轻易取得成功，但有时无论我们作怎样的努力，却无法取得成功！那么，奥妙究竟在哪里呢？可能读者都已注意到，空格是能够移动到盒子的任何位置的。我们也很容易利用空格把方块1、2、3依次调动到各自正常的位置上去。不过，当这三个棋子安顿好之后，想不动方块3而把方块4也移到正常位置上，却似乎有些为难。然而，用下图的办法我们却能实际上做到这一点。这里需要动到的只是一块2×3方格的区域；而且很显然，只要有一块2×3的方格区域；就一定能够做到这一点！方块3虽然动了一下，但后来又恢复到原先的位置。
现在方块1、2、3、4已经在正常的位置上。接下去方块5、6、7、8也可以同样恢复到正常位置。再接下去我们还可以把方块9和13移到各自正常的位置上。此时我们仍有2×3方格的地盘，正如前面说过的那样，在这一区域，我们依然可以把方块10和14各自安顿在正常的位置上。
至此，我们已经安顿好了12个方块，它们都已安在各自正常的位置上。剩下的位置是三个方块11、12、15和一个空格。我们还容易把11移到自己的位置，而把空格移至盒子的右下角。这时可能出现两种形式：
第一种是图（Ⅰ）的形式，此时所有的方块都已在正常的位置上，这表明我们已经取得了成功。第二种是图（Ⅱ）的形式。现在的问题是：图（Ⅱ）的形式还能不能通过移动变为图（Ⅰ）的形式呢？答案是否定的！事实上我们可以把所盒子里的方块看成一个数的顺列，而把空格当成数16。这样，图（Ⅰ）的顺列为：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16。
而图（Ⅱ）的顺列则为：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，15，13，14，12，16。
现在读者看到：图（Ⅱ）的顺列与图（Ⅰ）正常的顺列相比，其中有些数字的位置被打乱了，有些大的数跑到小的数的前面去，这种现象我们称为“逆序”。逆序可以采用点数的办法算出来。例如图（Ⅱ）的顺列，前11个数都没有出现逆序，而后面的5个数为：
15，13，14，12，16。
其中15跑到13、14、12这三个较小数的前面，因而出现了三个逆序；而13，14跑到12的前面，这里又出现了两个逆序。此外再也没有其他逆序了。因此图（Ⅱ）的顺列共有5个逆序。
稍微认真分析一下，读者便会发现：在“十五子棋”中，方块和空格的移动，都不会引起原先顺列逆序的奇偶性的改变！由于图（Ⅰ）的顺列为偶逆序，而图（Ⅱ）的顺列为奇逆序，因而图（Ⅱ）的形式是不可能通过方块棋子的移动变为图（Ⅰ）形式的。这就是为什么“十五子棋”有时能够成功，而有时不能成功的道理！左图是一道练习，请读者用逆序的理论判定一下，它是否能够移动成正常的位置？一种游戏之所以使人感到兴趣，在于经一番奋斗之后，能突然间享受到一种成功的欢悦。如果一种游戏一开头便得知最终的结果，自然也就乏味多了。这大约既是数学的缺点，也是数学的伟大。
石头、剪子、布
对策论是现代数学的一个重要分支，在军事、公安、经济和日常生活各个方面，都很有用处。由于对策论经常用智力游戏--打扑克、下棋等做模型，所以又叫博奕论。博就是赌博，奕就是下棋。其实，赌博如果去掉输赢财物的规定，就是智力游戏。
再举一个例子：有人要买外国一家公司的一条旧船。他知道这家公司有三条旧船，价格一样。双方商定先看一条船，如果他表示不要，再看第二条船，如果又表示不要，再看第三条船。既然三条船价格一样，他当然要尽可能买最好的，但是哪一条是最好的呢？公司呢？它知道这次只能卖掉一条船，为了多赚一些钱，当然希望把最坏的一条卖掉，那它应该按什么顺序介绍呢？这两个对策论的问题含意是不同的，但是在数学上，它们是相同的问题。
一般的对策问题都是这样：双方各有一些可以采取的策略，一旦双方的策略都确定了，就会出现一定的结果，问题是双方怎样找到最好的策略？孩子们很喜欢的“石头、剪子、布”划拳游戏，就可以作为对策论的一个例子：甲乙二人同时伸出手来，做出石头、剪子、布的样子。两个人如果手势相同，就算平局；如果不同，石头可以砸坏剪子，剪子可以把布剪破，布可以把石头裹起来，那就有了胜负。
在这个问题里，甲和乙各有三种可以采取的策略。结果如何？我们列出一个输赢表来：
乙石头剪子布甲石头01-1剪子-101布1-10这是甲的“得分”表。“0”表示平局，“-1”表示输，“1”表示赢。
我们把对策问题列成这样的表，就成了“表上游戏”。这种表是由若干行和若干列数字组成。甲可以指定其中的某一横行，乙可以指定其中的某一直行。规定他们同时说出他们指定的横行或直行。在这两行的交叉点上的数，就是甲得到的分数。例如在左边表格里：
如果甲指定第二横行，乙指定第三直行，甲就得到-3分，也就是说输3分。
到此为止，我们为对策问题找到了一个数学模型。在代数课上，我们常常要为一个应用题列出方程式来。这个方程式就是应用问题的数学模型。有了数学模型，我们就可以暂时丢开原来的应用问题，全力去解决这个数学模型中的问题了。
所以现在，我们就暂时丢开什么“熊”呀，船呀，手势呀，全力以赴去研究这样的一个问题。
在表上游戏中，怎样找出最好的策略。
现在我们在每一横行的后面和每一直行的下面，又写上了一个数。每个横行后面写的数，是这一行中最小的那个数。每个直行下面写的数，是这一行中最大的那个数。
从甲的立场来看，不管乙采用什么对策，他如果指定第一横行，那最不利的结果是-5，就是说输5分。同样，他如果指定第二横行，最坏的结果是-3，就是说输3分。可见每一横行的最小数表示的是：如果甲指定了这一行，可能发生的最坏结果是什么。
甲应该选哪一横行呢？当然是第三横行了。因为这一行的最坏情况，他也不过输1分而已。甲一旦采取了这个策略，那就不怕乙猜中他的策略，因为他已估计到最坏的情况了。当然，如果乙选择了别的策略，甲还有可能不输，甚至赢到一些分数。
从乙的立场来看，不管甲采取什么对策，如果他指定第一直行，那最不利的结果是-1，即甲只输1分，乙只赢一分。如果他指定第二直行，那对他最不利的结果就是6，即甲赢6分，乙输6分。可见每一直行的最大数表示的是：如果乙指定了这一行，可能发生的最坏结果是什么。
那么乙应选择哪一直行呢？当然是第一直行，因为这一行最坏的结果，他还可赢一分。
如果甲乙双方都研究过对策论，那这个游戏就变得十分简单了：甲选取第三横行，乙选取第一直行；结果甲输1分，乙赢1分。
如果甲乙双方都研究过对策论，那这个游戏就变得十分简单了：甲选取第三横行，乙选取第一直行；结果甲输1分，乙赢1分。
在对对策问题中，双方必须斗智，谁也不能胡乱来！不然就会陷入很不利的处境。比如说，甲不满意输一分的结局，想碰碰运气，指定了第二直行，争取那个胜6分。结果呢？如果乙不犯错误，指定第一直行，结果甲只能输得更多。因此对甲来说，最聪明的办法就是把自己的策略公开告诉对方，对方也不会得到任何额外的收获。同样，乙的最好的策略，就是指定第一直行。即使甲知道了乙的这个策略，对乙也无可奈何。
这样一来，这个游戏的结局就是确定无疑的了。
猜点数
这是一个饶有趣味的游戏。
