【教学目标】
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义。
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力。
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）。
【教学过程】
（一）引入新课
上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义。（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a＋bi）-（c＋di）=（a-c）＋（b-d）i1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算。
（2）法则：（a＋bi）-（c＋di）=（a-c）＋（b-d）i（a，b，c，d∈R）。
把（a＋bi）-（c＋di）看成（a＋bi）＋（-1）（c＋di）如何推导这个法则。
（a＋bi）-（c＋di）=（a＋bi）＋（-1）（c＋di）=（a＋bi）＋（-c-di）=（a-c）＋（b-d）i。
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算。
推导：设（a＋bi）-（c＋di）=x＋yi（x，y∈R）。即复数x＋yi为复数a＋bi减去复数c＋di的差。由规定，得（x＋yi）＋（c＋di）=a＋bi，依据加法法则，得（x＋c）＋（y＋d）i=a＋bi，依据复数相等定义，得x＋c=a，y＋d=bx=a-c，y=b-d.
故（a＋bi）-（c＋di）=（a-c）＋（b-d）i。这样推导每一步都有合理依据。
我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数。是唯一确定的复数。
复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的。就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a＋bi）±（c＋di）=（a±c）＋（b±d）i。
（三）复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
设z=a＋bi（a，b∈R），z1=c＋di（c，d∈R），对应向量分别为OZ，OZ1如图由于复数减法是加法的逆运算，设z=（a-c）＋（b-d）i，所以z-z1=z2，z2＋z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（a-c）＋（b-d）i对应，如图。
在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量OZ2吗？
还有ZZ。因为OZ2？瘙綊Z1Z，所以向量Z1Z，也与z-z1差对应。向量Z1Z2是以Z1为起点，Z为终点的向量。
能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
（四）应用举例
例1设z1=-2＋5i，z2=3＋2i，分别用代数及几何方法计算z1=z2.
解z1-z2=（-2＋5i）-（3＋2i）=（-2＋5i）-（3-2i）=（-2-3）＋[5-（-2）］i=-5＋7i.
在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量OZ1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量OZ2与复数z2对应，连接Z2Z1，向量Z2Z1与z1-z2的差对应（如图）。
例2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式。
解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数z2-z1对应的向量，点Z1，Z2之间的距离就是向量Z1Z2的模，即复数z2-z1的模。如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．例3在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么。
（1）|z-1-i|=|z＋2＋i|；
方程左式可以看成|z-（1＋i）|，是复数Z与复数1＋i差的模。
几何意义是动点Z与定点（1，1）间的距离。方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离。这个方程表示的是到两点（＋1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（＋1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线。
（2）|z＋i|＋|z-i|=4；
方程可以看成|z-（-i）|＋|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹。满足方程的动点轨迹是椭圆。
（3）|z＋2|-|z-2|=1．
这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线。是双曲线右支。
由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程。使有些曲线方程形式变得更为简捷。且反映曲线的本质特征。
例4设动点Z与复数z=x＋yi对应，定点P与复数p=a＋bi对应。求（1）复平面内圆的方程。
解：设定点P为圆心，r为半径，如图
由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R＋）的点Z的集合是什么图形？
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R＋）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）。利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程。不等式等问题。
（五）小结
我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题。
（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9
【习题精选】
一、选择题
1．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5-2i，那么向量ZZ2对应的复数是．A．3＋4iB．5-2iC．-2＋6iD．-6i
2．已知f（z）=1-z，且z1=2＋3i，z2=5-i，则f（z1-z2）的值是．A．-3＋4iB.3-4iC.4-4iD.4＋4i
3．已知|z|=1，则|z＋i|＋|z-6|最小值是．A.7 B.37C.6 D.5
4．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＋|1＋iz|，则z在复平面对应点的轨迹是。
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
5．平行四边形ABCD中，点A、B、C分别对应复数2＋i，4＋3i，3＋5i，点D对应的复数是．
A.2＋3iB.3＋4iC.1＋3iD.1＋4i
参考答案
1．D2．C 3．B 4．A 5．C
二、填空题
1．已知复数z满足|z＋3＋4i|=2，则|z|的最大值是．
2．若|z1|=5，z2=1-2i，且z1·z2为实数，则z1=．
3．如右图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数分别为z1，z2，z3，那么z1＋z2＋z3=．
4．复数z满足|z|=1，且ω2z＋3-4，复数ω在复平面内对应点的图形是．
5．非零复数z1z2在复平面内分别对应于A、B两点，而且|z1＋z2|=|z1-z2|，则△OAB（O是原点）形状是．
答案：
1．7 2．1＋2i或-1-2i3．04．以（3，-4）为圆心，2为半径的圆5．直角三角形
三、解答题
1．已知|z-3|＋|z＋3|=10，且|z-5i|-|z＋5i|=8（z∈C）．求复数z.
2．已知复数z=2＋ai（a∈R），求|z＋1-2i|＋|z-1＋i|的最小值以及取得最小值时z的值。
3．设复数z=（1＋i）3（a＋bi）1-i，且|z|=4，z在复平面上的对应点Z在第一象限，z在复平面上的对应点为Z，若原点O与ZZ是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值。
4．已知x，y∈R，复数z1=2x-（x-y）i，z2=2y＋（4x＋i）i.当z1i-z2=-2（1-i）时：（1）求|z1·z2|；
（2）求（z1-z2）5的值。
参考答案
1．解：由|z-3|＋|z＋3|=10知，点z在椭圆x225＋y216=1上，由|z-5i|-|z＋5i|知，点z在-x29＋y216=1的下支上，∴点z在椭圆与双曲线的交点（0，-4），∴z=-4i
2．解：∵z=2＋ai（a∈R）∴z的对应点z1在直线x=2．∴（z＋1-2i）＋|z-1＋i|的几何意义是点Z1到M1（-1，2）与M2（1，-1）的距离和，问题转化为在直线x=2上求一点到M1，M2的距离和最小；利用解析几何知识，易得（|1z＋1-2i|＋|z-1＋i|）min=5
此时z=2-14i．
3．解：设z=-（a＋bi），∵|z|=4，则a2＋b2=4，∵OZZ构成正三角形的顶点，∴|z-z|=|z
∴|4bi|=2|a＋bi
∴a2=3b2，由a2＋b2=4，得a2=3，b2=1
∵Z在第一象限，∴a＜0，b＜0
∴a=-3，b=-1
4．解：（1）由已知条件有
（x-3y）＋（6x＋1）i=-2-2i∴由x-3y=-26x＋1=-2.解得x=-12y=12
∴z1=-1＋iz2=1-i
∴|z1·z2|=|z1||z2|=2·2=2
（2）（z1-z2）5=（-2＋2i）5=…=128-128i
