从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法。这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数)。所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是城。除了这些最熟悉的域之外，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域。有没有有限多个元素的域呢？1830年伽罗瓦已知有有限多个元素的域(后来被称为伽罗瓦域)，其元素被称为伽罗瓦虚数，它们满足pa＝0，其中p是一个素数，p称为域的特征。伽罗瓦曾具体证明，在一个特征为p的伽罗瓦域中，元素个数是p的一个幂。如在当时的情况一样，伽罗瓦所做的一切都是有具体表示的。到19世纪末，人们知道其他域的例子还有有理函数域及代数函数域。
从整体结构上对域进行考察始自戴德金及克罗内克对代数数域的研究(从1855年起)。但抽象域的观念则来自德国数学家韦伯，他的思想来自抽象群的观念。后来美国数学家狄克逊及亨廷顿给出域的独立的公理系统。在韦伯的影响下，德国数学家施泰尼茨在1910年发表《域的代数理论》一文，为抽象域论奠定了基础。他把域分为两种类型：一种是特征为p的域，也即对所有元素a满足pa＝0的域，它们一定包含最小的城(称为素域)，最小的域一定是只含p个元素的伽罗瓦域。另一种是不存在这种p的域，称为特征0，其素域一定是有理数域。不管域属于哪一种类型，任何域均可由素域添加一些新元素“扩张”而成。所以域的根本问题是研究域的扩张。他对扩张进行了分类，其中主要的一类是添加系数在原域中的多项式的根后所得的扩张(代数扩张)。当一个域通过代数扩张不能再扩大时称为代数封闭域。施泰尼茨证明，每个域均有唯一的代数封闭域。特别他还对特征p一般域胁许多特殊性质如不可分性、不完全性进行研究。
关于抽象有限域，已经有了相当完整的结果：1893年美国数学家莫尔证明，任何一有限域必定与某一个伽罗瓦域同构。反过来，对于任意素数p和正整数a，必定存在唯一一个伽罗瓦域，具有p个元素。有限域理论在数论、编码理论、组合理论及数理统计等方面有着许多应用。
在域论中引进p进域是一个重大成就。德国数学家亨泽尔在1908年出版的《代数数论》中系统阐述了p进数，他对这种数规定了加、减、乘、除四种基本运算，构成一个域称p进域，而它是有理数域的一个完备化，如同实数域一样。但是与实数域性质的一个很大的不同是实数域具有阿基米德性质，也就是对任何两个实数a，b总存在一个正整数n，使na＞B。p进域虽然也有一个自然的顺序，但却没有阿基米德性质。pˉ进数域是一种“局部”域，在它里面也可定义整数及代数数，它的建立大大有助于数论的发展。亨泽尔之后，抽象赋值论得到发展，在代数数论及代数几何学上有着重要应用。
抽象理论的建立不仅使已有的零散知识系统化，而且有助于许多问题的解决，1927年阿廷解决希尔伯特第17问题就是靠他引进抽象的实域(他称为形式实域)。实域k是把实数域的一个特性抽象化：即-1不能表示为k中元素的平方和。通过这个概念，他证明“任何正定有理函数都可表示为有理函数平方和”。
2．环论
环的概念原始雏形是整数集合。它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素。抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生。戴德金在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环。这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去。
环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广。这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现。他的目的是为了扩张用处很大的复数。它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数。它可以看成是实数域上的四元代数。不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数。其后各种“超复数”相继出现。1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)。1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)。1878年弗洛宾尼乌斯证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数。1881年小皮尔斯也独立得到证明。1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数。可见实数域及复数域具有独特的性质。
关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个。他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础。1898年、嘉当在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林证明，复数域上维数≥2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构。线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和。单代数可表为域上可除代数的矩阵代数。这样结合代数就归结为可除代数的研究。可除代数有着以下的结果。1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即伽罗瓦域。当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环。20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善。
从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的。1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构定理。对于半单环的分类，雅可布孙创立了他的结构理论。他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元。对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究。而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫及霍普金斯证明阿廷环都是诺特环。对于诺特环，却长期没有相应的结构理论。一直到1958年英国数学家戈尔迪才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究。与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环。近来环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进。
环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论。1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论。环这个词首先见于希尔伯特的数论报告。代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理。在20世纪初英国数学家腊斯克及麦考莱对于多项式环得出分解定理。对于交换环的一般研究来源于E.诺特。她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换理论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环。20世纪40年代，薛华荔、柯恩及查瑞斯基对局部环论进行了系统的研究。
3．群论
19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据。
当时主要的定理是由挪威数学家西洛在70年代及德国数学家荷尔德在90年代的。而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的。后由他的学生舒尔所发展，成为研究群论不可缺少的工具。所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F上的n×n可逆矩阵相对应。在英国数学家伯恩塞德的经典著作《有限阶群论》第二版(1911年)已经进行综述并给出应用。
20世纪有限群论的中心问题是有限单群的分类。很久以来，就已经知道一个相当长的有限单群的表，除了素数阶循环群之外，对于每一个整数n≥5存在一个n！/2阶单群，它由n个事物的所有偶置换构成，这就是所谓交错群。当n=5时，它就是二十面体群。另外还知道许多射影特殊线性变换群PSL(n，q)，它们通过行列式为1的n×n矩阵群(元素取在有限域GL(q)中)的商群构造出来。另外对于正交矩阵、辛矩阵、酉矩阵也可以造出一批单群来。这些“典型群”，从若尔当时候起就已知道，后来经过美国数学家狄克逊、荷兰数学家范·德·瓦尔登、法国数学家丢东涅进行系统研究。真正重大的突破是1955年薛华荔在日本《东北数学杂志》上发表的“论某些单群”的论文，这篇论文的重要性不仅展示一些新单群，而且更重要的是对于以前知道的绝大部分通过李代数换基的办法进行统一的处理，从而得出九个系列的薛华荔群。其后，这些薛华荔群经过美国数学家斯坦伯格、韩国数学家李林学、比利时数学家梯茨、日本数学家铃木通夫等人加以扩充，得出全部李型单群的16系列。除了上述这18个序列中的有限单群之外，还有几个不属于它们的所谓“散在单群”，其中头一个是7920阶的群M11是法国数学家马丢在1861年发现的，他不久又发现另外4个单群M12，M22，M23，M24。一直到1965年之前再没有发现新的散在单群了。突然1965年南斯拉夫数学家严科发现了一个175560阶的新单群，其后10年间，陆续发现另外20个敬在单群，其中最大的称为费舍尔“魔群”，其阶大约为81053，到这时候是否所有单群均已找到，也就是有限单群的分类已经完成了呢？在这条漫长的路上，首先的突破是一系列群论性质及表示论的成果，其中包括1955年布劳尔的工作。第二个突破是1963年美国数学家费特和汤姆逊证明除循环群之外，奇阶群都是可解群，这个长达250页的论文包括了极其丰富的信息。20世纪70年代，在群的结构研究上有了新的突破，最终导致1981年，有限单群的分类彻底完成，不过全文需要1万页以上，这是各国上百位群论专家通力合作的结果。
对于无穷阶的离散群，也有一些重要的研究，其中重要的是与数理逻辑有关的“字的问题”，即两个符号序列何时相等，对于有限生成的具有有限个关系式的群，1955年左右前苏联数学家诺维科夫、美国数学家布里顿和布恩证明一般的字的问题是不可解的，也就是不存在一个普遍的算法来判定两个字是否相等，但是另一方面德国数学家马格努斯在1932年解决一个关系式的有限生成群的字的问题。另一个重要的问题是伯恩赛德问题，他问一个有限生成的群如果其所有元素都是有限阶的，该群是否有限，这个问题一直到1964年由前苏联数学家考斯特利金举出例子而得出否定的回答。另外还有一个狭义的伯恩赛德猜想，即有限生成群当所有元素x满足xn＝0是有限群，现在知道当n＝2，3，4，6时，狭义伯恩赛德猜想成立，但如果n相当大，诺维科夫和布里顿等人也举出反例。
三、测度与积分理论
测度是长度、面积和体积概念的精密化及推广。各民族数学发展一开始均致力于测量长度和面积，得出相应的公式及方法，而统一的求积方法一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分之后才得到。这时求积问题变成一个特殊的积分问题。但积分是一个相当复杂的概念，19世纪由于分析的严格化才导致由柯西、黎曼及达布相继改进的黎曼积分的概念，最后确定下来。
随着康托尔点集论的建立，要求对更一般的点集的“大小”进行比较及量度，这要求定义测度。先是对黎曼可积性条件中函数的不连续点集的“测度”给出定义。最早是哈那克、杜布瓦——瑞芒、史托尔茨及康托尔在1881到1885试着做出定义，他们均采用覆盖区间长度的下确界，但是这样定义有毛病。例如，两个无公共点集的并集的“测度”有时能够小于两集的“测度”之和，除了上述定义的“外”测度之外，最先定义“内”测度的是皮亚诺，他在1887年定义“可测”集为内、外测度相等，这样虽然克服上述困难，但有界开集并不一定可测。若尔当在他的《分析教程》第一卷第二版(1893年)中也做了类似的定义，同样也有类似的毛病。对这些毛病的补救来自波莱尔，他在《函数论教程》中大大改进了以前的测度观念，利用可数可加性对任一有界开集构造地定义测度。他还考虑零测度集(实际上这个观念可以追溯到黎曼)。而真正把波莱尔的方法同皮亚诺——若尔当的办法结合而形成系统测度论的则是波莱尔的学生勒贝格，这些发表在他的博士论文《积分、长度、面积》当中。
勒贝格的功绩不仅在于建立系统的测度理论，更主要的是建立系统的积分理论。在勒贝格之前，除了黎曼积分之外，还有斯蒂尔吉斯积分。斯蒂尔吉斯在1894年发表的“连分式的研究”中证明：如连分式
1a1Z+1a2Z+1a3Z+1a4Za5Z…1a2n+a2n+1Z+…(1)(其中a1为正实数，z为复数)的系数级为∑ωN=1an发散，则式(1)收敛到一函为数F(Z)，F(Z)可表为
F(Z)=？瘙楋ω0dφ(u)u+Z
其中φ(u)表示u的递增函数，这样他可把黎曼和稍加修改写成∑n=1i=1f(ξ1)φ((x i+1)-(xi))曼积分对于一般的数学分析已经足够，但是还有一系列不理想的地方。
微积分的基本定理是微分和积分互为逆运算，也就是说如果F(x)=∫ω0f(t)dt。
