数学家笛卡尔
（1）笛卡尔的数学思想
笛卡尔是以哲学家的身份来研究数学的，他从自己的数学研究中总结出一些获得正确知识的原则。至今对于我们每个人的学习都具有指导意义：不要承认任何事物是真的，除非对它的认识清楚到毫无疑问的程度；要把困难分成一些小的难点；要由简到繁，依次进行；最后要列举并审查推理步骤，要做得彻底，便无遗漏。他还认为，数学概念都是客观存在的，并不依赖于人是否想它们怎样。
笛卡尔进行数学研究的目标是建立一种把形和数结合起来的科学，吸取代数与几何的优点，而抛弃它们的缺点。
（2）笛卡尔的解析几何
笛卡尔的数学成果集中于《几何学》中，而《几何学》是作为他的哲学著作《方法论》的附录而发表的。因此也可看出，数学研究是他作为哲学研究的一个方面而开展的。
①在《几何学》的第一卷，他指出用代数方法解决几何作图题的实质在于“定出所求线段的长度。”他首先定义了单位线段，在此基础上定义了线段的加、减、乘、除和开方。引入单位概念之后，所有的几何量都可以通过与单位的比较而用统一的标准成为数的表示。于是，图形中各种量的关系就转化成数的关系，这是把代数与几何统一起来的关健。
②笛卡尔通过研究具体的问题，将几何曲线用代数方程表示出来了。他认为曲线与方程相对应，对任何一条曲线，只要可以找到适合于它的方程，他立即当作几何曲线来研究。继而，几何曲线是那些可用一个唯一的含x与y的有限次数代数方程来表示出的曲线，所以方程次数决定了曲线的种类。
以上我们介绍了解析几何思想的创立过程，无论是费尔玛，还是笛卡尔，他们当初提出的想法经过千万个数学家的努力才发展成为一个系统的学科，成为我们今日在课堂上和各种科学书籍去学习的对象。那么，人们为了纪念这些数学思想的提出而往往会提到他们的名字，尽管他们当时提出的解析几何与我们现在在课本上见到的有一定的距离，但是他们是这一思想的先驱，因而在人类思想史和科学史上留下了光辉的一页。因此，从小就努力培养自己勇于探索、勇于思考的思想品质是很有必要的。
几何三大作图问题
在几何学中，作图问题是人们喜欢的一个课题。只用圆规和直尺就可以完成许多作图问题，例如二等分一条线段或一个角、过一点作一给定直线的垂线、作圆内接正六边形等等。在所有这些问题中，直尺仅仅当作一直边，一个画直线的工具，而不能用于测量或标示距离，是一个没有刻度的直尺。只限于用圆规和直尺作图的习惯是古希腊人流传下来的，它具有一定的理论意义和方法论意义，是研究问题的一种方法。实际上希腊人在作图时也毫不犹豫地使用了其他工具。
数学上有许多这样的问题，问题本身很简单，是属于初等数学问题。但是要想从逻辑上彻底解决它们，却受到人的认识能力的限制。在知识水平和数学方法还没有发展到一定程度之前，这些问题无法彻底解决。也许正是因为如此，这些问题刺激了许多学者投身研究。尽管在一定的历史时期这些问题是不可能做出的，但是研究过程中产生了许多新学科、新方法，为数学发展注入了新的活力和生命力。例如费尔玛大定理、寻求五次一般方程的根式解等属于这一类问题，还有一个“几何三大作图问题”也属于这一类问题，而且这个问题经历了2000多年时间才最后解决。另外，这个问题虽然是几何问题，但最后却是因为代数学的发展才得以解决的。这也说明了数学这门古老而又富有生命力的学科的统一性。
什么是“几何三大作图问题”
几何三大作图问题是：（1）倍立方：求作一个立方体，使其体积是一已知立方体的二倍；（2）三等分任意角；（3）化圆为方：求作一正方形，使其面积等于一已知圆。在所有这些问题中，只允许用圆规和直尺。这里需要说明的一点是，处理几何作图问题，不是要求以一定的精确度实际把图画出来，而是从理论上说明只用圆规和直尺能否找出画图的方法来。其次，还要说明，在这里几何作图的概念在某种意义下似乎是人为的。圆规和直尺肯定是作图的最简单的工具，但是在几何中从来没有只限于用这些仪器。如果允许使用直尺、圆规以外的作图工具，如直角三角板或半圆尺等，这三大作图问题就很容易解决，早在古希腊时代就已经被解决。因此，这样一个看似不经意的限制条件却是一个十分重要的条件。
“几何三大作图问题”的历史起源
古希腊是世界文化、科学的发源地之一。数学也是古希腊最为发达的学科之一。在数学史上，希腊数学一般指从公元前600年—600年间活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家所创造的数学。
公元前5世纪上半叶，历史上著名的希波战争以后，希腊数学开始走向繁荣。具体表现是产生了许多学派，其中有一个著名的巧辩学派，也叫“智人学派”、“诡辩学派”或“哲人学派”。这个学派以提出并致力研究“几何三大作图问题”而著称。
关于倍立方问题，埃拉托塞尼（约公元前276—前195年）在他的《柏拉图》一书中记述了一个传说，后来被赛翁（约390年）所用并流传下来。说是鼠疫袭击提洛岛，一个先知者得到神的谕示向提洛岛的人宣布，必须将现有的立方体祭坛的体积加倍，瘟疫方可停息。工匠们试图弄清怎样才能造成一个立方体，使其体积为另一个立体的2倍。为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图。柏拉图对他们说：神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人为忽视几何学而感到羞愧。
第二个是三等分任意角。用尺规去二等分一个角是轻而易举的，自然会提出三等分任意角的问题。另外，在历史上，除了“几何三大作图问题”外，还有正n边形的尺规作图也是此类问题。而如果任意一个角能用尺规作其13，那么诸如正9边形、正18边形就可由正三角形得到。
圆和正方形都是最常见的几何图形，也是古代人最早认识的几个图形之一。因而，自然会想到可否作一个正方形和已知圆等积。这就是化圆为方问题。在历史上，化圆为方问题强烈地吸引了人们的兴趣。巧辩学派中的安蒂丰（约公元前5世纪人）由于研究化圆为方而提出了一种“穷竭法”，是近代极限思想的起源。他提出的“穷竭法”解决化圆为方的问题被亚里士多德记载在《物理学》一书中流传下来。安蒂丰的穷竭法，是先作圆内接正方形（或三角形），将边数加倍，得内接正八边形、十六边形、三十二边形。这样继续下去，他深信到“最后”，正多边形必与圆重合，也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是便可以化圆为方了。这种方法虽然不能解决化圆为方问题，却提供了一种求圆积的方法，也即得到了一种计算π的方法。
这三大问题根本不可解
经历了若干世纪，数学家们毫无所获地寻求着这些问题的解法，后来逐渐怀疑这样问题可能根本就不可解。但是“如何才能证明某些问题是不可解的呢？”数学家遇到了挑战。
现在看来，这样一个看似很简单的初等几何问题是不可能在初等几何范围内解决的。在17世纪费尔玛和笛卡尔发明了解析几何之后，为数学家解决这三大问题提供了一个很好的工具。借助这样一种“几何与代数”统一的思想，为了更清楚更深刻地理解作图问题，我们可以将几何问题“翻译”成代数语言。于是任何一个几何作图问题都是这种类型的：给定某些线段如a，b，c，…，求一个或多个其他线段x，y，…几何作图问题实际上就是已知一些几何量，去求作另一些几何量。为简单起见，假设只需求作一个线段x。于是几何作图就归结为解一个代数问题：首先，我们必须找出所求的量x和给定的量a，b，c，…之间的关系（方程）；其次，必须解这方程来求未知量x；最后，我们必须确定，通过相应于用圆规和直尺来作图的代数过程能否得到这个问题的解。三大问题不可解的思路逐渐清楚起来了。
