2020年8月14日。
三个中值定理，罗尔、拉格朗日、柯西。层层递进。罗尔是端点相等有其中一点导数等于0，而把这两点倾斜就变成了拉格朗日，其中肯定存在和斜线平行的，继续变成两个函数除的话，就直接是中间导数除。我是这样理解。
【例2】f(x)二阶可导，lim(x→0)f(x)/x=0，f(1)=0，求证：?ξ∈(0，1)，使f''(ξ)=0.
证明：
1°，
∵lim(x→0)f(x)/x=0，
∴lim(x→0)f(x)=0，
【可导一定连续】
又∵f(x)连续，
【极限值等于函数值】
∴f(0)=0
0=lim(x→0)f(x)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=f'(0)，
∴f(0)=0，f'(0)=0，
2°，
∵f(0)=f(1)=0，
∴?c∈(0，1)，使f'(c)=0，
3°，
∵f'(0)=f'(c)=0，
∴?ξ∈(0，c)?(0，1)，使f''(ξ)=0.
【例3】证明：x＞0时，e^x＞1+x.
证：令f(t)=e^t，f'(t)=e^t.
对x＞0，f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)，(0＜ξ＜x)
即e^x-1=xe^ξ.
∵ξ＞0，∴e^ξ＞1.
∴e^x-1=xe^ξ＞x
即e^x＞1+x，(x大于0)
【例4】0＜a＜b，证(b-a)/b＜lnb/a＜(b-a)/a，
【这道题看起来一筹莫展，如果见到三个，要有两个拉格朗日的想法】
证明：令f(x)=lnx，f'(x)=1/x≠0，(a＜x＜b)，
lnb/a=lnb-lna=f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=(b-a)/ξ
∵a＜ξ＜b
∴1/b＜1/ξ＜1/a
推出
(b-a)/b＜(b-a)/ξ＜(b-a)/a
∴(b-a)/b＜lnb/a＜(b-a)/a.
好的到这里3.1微分中值定理就结束了。
下一节是3.2 洛必达法则。
对于0/0型求极限，等价无穷小是有局限性的。
目标：0/0，∞/∞极限的新方法。
Th1.（0/0型）
若①f(x)、F(x)在x=a的去心邻域内可导且F'(x)≠0；
②lim(x→a)f(x)=0，lim(x→0)F(x)=0；
③lim(x→a)f'(x)/F'(x)=A，
则lim(x→a)f(x)/F(x)=A，
……
晚餐日常剩菜。
……
【笔记】lim(x→a)f(x)与f(a)无关。
……
Th1证明：【利用柯西中值定理】
【将f(x)、g(x)在x0作连续延扩（不影响定理证明也不影响极限值），则满足柯西中值定理条件，则定理得证】
【例1】lim(x→0)(x-sinx)/x3
解：原式=lim(x→0)(1-cosx)/3x2
=1/6【1-cosx∽1/2 x2】
【例2】在本子上写了。略
【例3】在本子上写了。略
Th2.（∞/∞）
若①f(x)、F(x)在x=a的去心邻域内可导且F'(x)≠0；
②lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→0)F(x)=∞；
③lim(x→a)f'(x)/F'(x)=A，
则lim(x→a)f(x)/F(x)=A，
【证明】略
【例1】lim(x→0?)xlnx.
解：lim(x→0?)xlnx
=lim(x→0?)lnx/(1/x)
=lim(x→0?)1/x/(-1/x2)
=lim(x→0?)-x
=0.
【例2】lim(x→0?)x^sinx，
【〇的〇次方，立马来一个e^ln】
解：原式=e^lim(x→0?)sinxlnx
∵lim(x→0?)sinxlnx
=lim(x→0?)lnx/cscx
=lim(x→0?)(1/x)/(-cscx·cotx)
=-lim(x→0?)sinxtanx/x
=-lim(x→0?)x2/x
=0
∴原式=e^0=1.
【例3】
lim(x→+∞)lnx/x^a，（a＞0）
=0
【例4】lim(x→+∞)x3/e^x=0.
【注解】
①lim(x→+∞)lnx/x^a=0（a＞0）
②lim(x→+∞)x^a/b^x=0（a＞0，b＞1）
③f(x)→0，F(x)→0，（x→a）
若lim(x→a)f'(x)/F'(x)不存在，
只能说明洛必达法则不能使用，但lim(x→a)f(x)/F(x)不一定不存在。
如：f(x)=x+sinx，F(x)=x，
lim(x→0)f(x)=0，lim(x→0)F(x)=0，
且lim(x→0)f'(x)/F'(x)=lim(x→0)(1+cosx)不存在，
而lim(x→0)f(x)/F(x)=2.
洛必达就到这里吧。
看3.3 Taylor公式【泰勒公式】
……
Th（Taylor）【泰勒】【泰勒公式或泰勒中值定理】
设f(x)在x=x0邻域内n+1阶可导，
则f(x)=Pn(x)+Rn(x).
其中Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+{f''(x0)/2!}(x-x0)2+…+{[f(x)在x0处n阶导数]/n!}(x-x0)^n.
Rn={f(n+1阶)(ξ)/(n+1)!}(x-x0)^(n+1)，ξ介于x0与x之间。【拉格朗日型余项】
【证明】
思路还行。柯西中值定理。多项式。
写起来太麻烦了，不写。
【特殊情况】【麦克劳林公式】【若x0=0】【则f(x)=f(x0)+f'(x0)x+{f''(x0)/2!}x2+…+{[f(x)在x0处n阶导数]/n!}x^n+Rn】
【推论】若f(x)在x=x0邻域内n阶可导，则对?的x0去心邻域内的点x，有
f(x)=Pn(x)+o((x-x0)^n)
证明：写起来太麻烦，不写。一串一串的。
……
Rn(x)可以写成拉格朗日型余项，也可以写成佩亚诺(Peano)型余项o((x-x0)^n).
……
【基本思想】f(x)在x=x0邻域内n+1阶可导，找Pn(x)与f(x)近似相等，满足在这一点，多项式值等于函数值，1到n阶导数也相等，这时f(x)=Pn(x)+Rn(x).
【】【】
特殊情况x0=0时就变成麦克劳林公式。
1.f(x)=e^x的n阶麦克劳林公式
解：e^x=1+x+x2/2+…+x^n/n!+o(x^n).
【例1】求lim(x→0)[e^(-x2/2)-1+x2/2]/x?
本子上做。
2.f(x)=sinx的麦克劳林公式
sinx=x-(1/3!)x3+(1/5!)x?-(1/7!)x?+…+[(-1)^n/(2n+1)!]x^(2n+1)+o(x^(2n+1)).
【例2】求lim(x→0)(x-sinx)/x3
解：1/6
【例3】本子
【常用泰勒公式】
①e^x=1+x+x2/2+…+x^n/n!+o(x^n)
②sinx=x-(1/3!)x3+(1/5!)x?-(1/7!)x?+…+[(-1)^n/(2n+1)!]x^(2n+1)+o(x^(2n+1))
③cosx=1-(1/2!)x2+(1/4!)x?-(1/6!)x?+…+[(-1)^n/(2n)!]x^(2n)+o(x^(2n))
④1/(1-x)=1+x+x2+x3+…
⑤1/(1+x)=1-x+x2-x3+…
⑥ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x?/4+…
【例4】本子
……
麦克劳林公式太漂亮了。
下面就是
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
又是双子题目。单调性、凹凸性。
【目前可以公布的情报】
……
第三章叫微分中值定理及其导数的应用。
我们通过前三节的学习可以感觉到它的第一部分：中值定理。
包括罗尔(中值)定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，还有泰勒中值定理（泰勒公式）。这四个中值定理衍生出了两种解决极限的方法，一个是洛必达法则，一个是泰勒公式（麦克劳林公式）。中值定理可以有证明之类的，洛必达和麦克劳林现在主要用于求极限。
……
好继续看第四节。
一、函数单调性
……
今天先到这里吧。看了四个视频，3.1微分中值定理有两个视频，3.2洛必达法则，3.3泰勒公式。明天的基础计划是3.4两个视频、3.5、3.6，如果可以的话继续看3.7，那就能明天结束第三章了。
……
2020年8月15日。
没有梦，很失望。我姐又来了。所以烦人的小外甥又来了，所以我不能在一楼大厅学习了。回二楼卧室，隔壁的wifi就很弱了。
一、函数单调性
很熟悉，中学已经接触过了。
我只看看，不写了。
【例1】y=f(x)=x2-4x+11的单调性。
解：【第一步】【自变量的范围】
【第二步】【求一阶导数并分析】
【令一阶导数=0或不存在的点】
【判断一阶导数一定要用开区间】
【结论，闭区间】
【例2】y=f(x)=x3-3x2-9x+2的单调性。
解：x∈(-∞，+∞)
f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
令f'(x)=0，x=-1或x=3.
当x∈(-∞，-1)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，-1]上单调递增；
当x∈(-1，3)时，f'(x)＜0，f(x)在[-1，3]上单调递减；
当x∈(3，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)在[3，+∞)上单调递增.
【例3】y=(x2)^1/3的单调性。
解：x∈(-∞，+∞)
f'(x)=(x^2/3)'=2/3x^(-1/3)≠0
f(x)在x=0处不可导，
当x∈(-∞，0)，f'(x)＜0，则f(x)在(-∞，0]上单调递减；
当x∈(0，+∞)，f'(x)＞0，则f(x)在[0，+∞)上单调递增.
这3个例题很差，下面的题目提供重要思想。
【例4】证明：当x＞0时，x/(1+x)＜ln(1+x)＜x.
证明：【证明三项的不等式，可以分为两个不等式】
【首先我们来看一下右边的不等式】
令f(x)=x-ln(1+x)，f(0)=0.
f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)＞0，(x＞0)
推出f(x)在[0，+∞)单调递增，
当x＞0时，f(x)＞f(0)=0推出ln(1+x)＜x；
令g(x)=ln(1+x)-x/(1+x)，g(0)=0.
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)2=x/(1+x)2＞0，(x＞0)
则g(x)在[0，+∞)单调递增，
当x＞0时，g(x)＞g(0)=0推出x/(1+x)＜ln(1+x).
则原式得证。
【例5】e＜a＜b，证：a^b＞b^a.
好了我去吃午饭了，下一章再看这个例题。
