2020年8月19日，周三，下午有雨。
7.1 微分方程的基本概念
定义1。y、y'、x。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。相应的，未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程（本章不讨论）。
定义2。微分方程的阶。最高y'是一阶，最高y''的称二阶微分方程……。次数根阶数不要混淆。
微分方程找的是函数。未知函数是微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，其中的任意常数必须是相互独立的，即不能合并而使任意常数的个数减少.——微分方程的通解《高等数学》
用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的【特解】，即不含任意常数的解。
7.2 可分离变量的微分方程
一、定义。define-能写成以下形式的微分方程
g(y)dy=f(x)dx或【y'=φ(x)ψ(y)】
二、解法
1.分离变量；2.两端积分；3.对G(y)=F(x)+C进行适当整理.
记得加C。
【例1】
……
我觉得可以用其他科目来丰富一下学习体验了，不然太容易倦怠了。
……
导学篇.考研英语长线备考规划。有点傻玩意。前奏课。傻乎乎的。算了还是去看看考研政治吧。
考研政治72分备考规划。
英语。
……
还是数学好。
【例1】【例2】【例3】
……
7.3 齐次微分方程
一、dy/dx=φ(y/x)，y与x次数相同。
二、解法：
令u=y/x，y=ux，则dy/dx=u+xdu/dx，则方程转化为：u+xdu/dx=φ(u)
分离变量、两端积分、求出后再用y/x代替u。
【例1】【例2】【例3】
7.4 一阶线性微分方程
一、一阶齐次线性微分方程（First order homogeneous linear differential equation）
㈠定义definition
dy/dx+P(x)y=0【一阶齐次线性微分方程】
㈡解法及通解公式
dy/dx=-P(x)·y得dy/y=-P(x)dx
y=C·e^(-∫P(x)dx)
【例1】【例2】
二、一阶非齐次线性微分方程
㈠definition
dy/dx+P(x)y=Q(x)
㈡解法
常数变易法
y={∫Q(x)·e^(∫P(x)dx)dx+C}e^(-∫P(x)dx)
【例1】【例2】
7.5 可降阶的高阶微分方程
一、y(?)=f(x)型
二、y''=f(x，y')【缺y型】
令y'=p，则y''=p'，化为
p'=f(x，p)得p=φ(x，C?)，即dy/dx=φ(x，C?)
∴y=∫φ(x，C?)dx+C?.
【例1】【例2】
三、y''=f(y，y')【缺x型】
令y'=p，则y''=dp/dx=p·(dp/dy)，
原方程化为p·(dp/dy)=f(y，p)
通解：∫dy/φ(y，C?)=x+C?
【例1】
7.6 高阶线性微分方程
一、
1.n阶齐次线性微分方程
2.n阶非齐次线性微分方程
3.两个函数不成比例，线性无关
比为常数，线性相关。
二、齐次和非齐次线性微分方程解的结构
【1】Th1，若φ?(x)、φ?(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个解，则
y=C?φ?(x)+C?φ?(x)也是【齐次】方程的解，其中C?、C?为任意常数.
【2】Th2，若φ?(x)是二阶【齐次】线性微分方程的解，φ?(x)是二阶【非齐次】线性微分方程的解则
y=C?φ?(x)+C?φ?(x)也是二阶【非齐次】线性微分方程的解，其中C?、C?为任意常数.
【3】Th3，若φ?(x)、φ?(x)是二阶【非齐次】线性微分方程的解则
y=φ?(x)-φ?(x)是二阶【齐次】线性微分方程的解，其中C?、C?为任意常数.
对y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)，记②
If，f(x)=f?(x)+f?(x)，则
y''+a(x)y'+b(x)y=f?(x)，记②'
y''+a(x)y'+b(x)y=f?(x)，记②''
【4】Th4，若φ?(x)、φ?(x)为②'、②''的解，则y=C?φ?(x)+C?φ?(x)为②的解.
【5】Th5，①若φ?(x)、φ?(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个【线性无关】解，则
y=C?φ?(x)+C?φ?(x)是【齐次】方程的【通解】，其中C?、C?为任意常数.
②若φ?(x)、φ?(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个【线性无关】解，φ?(x)为二阶【非齐次】线性微分方程的一个特解，则
y=C?φ?(x)+C?φ?(x)+φ?(x)是二阶【非齐次】线性微分方程的【通解】，其中C?、C?为任意常数.
7.7 常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0【*】
其中p、q为常数，称【*】为二阶常系数齐次线性微分方程。
……
留两个视频给明天吧，进度赶得上计划，也不必太着急。
……
2020年8月20日，凌晨。
其实这样表述很生活化啊，“看不见你说啥”对于我们可能觉得违和，但对于其兄妹来说是相当常见且互相理解的句子，富有生活气息。
我以为，言以达意为佳，不需拘泥语法。所谓语法，不过是大多数人为普适性情况基于精确性、统一性等将习惯规定成的一种语言规范、规则。在特定场合特定人物的语言可以以互相理解为优先进行表述。——对《写手小姐的笔上挂着尸体》进行的本章说。
2020年8月20日，周四。
抢到29号去学校的票了。害，鸽子窝里我他喵车票最贵。
7.7 二阶常系数齐次线性微分方程
λ2+pλ+q=0为【*】的特征方程
Case1：p2-4q＞0则
y?=e^(λ?x)，y?=e^(λ?x)是方程两个线性无关解，因此
y=C?e^(λ?x)+C?e^(λ?x)是【*】的通解。
Case2：p2-4q=0
y?=e^(λ?x)为【*】的解，还需找一个与y?线性无关的解y?。
令y?/y?=u(x)（≠C），y?=u(x)y?，
对y?求导：y?'=e^λ?x（u'+λ?u），
y?''=e^λ?x（u''+2λ?u'+λ?2u），
代入【*】，并整理
u''+(2λ?+p)u'+(λ?2+pλ?+q)u=0.
因为λ?为【*】二重根，则
λ?2+pλ?+q=0，2λ?+p=0，得u''=0，
因为u(x)只要不是常数即可，不妨取简单的函数u(x)=x，得到【*】的另一个解y?=xe^λ?x.
因此通解为：
y=C?e^(λ?x)+C?xe^(λ?x)
y=e^(λ?x)（C?+C?x）.
Case3：Δ=p2-4q＜0
λ2+pλ+q=0得λ?，?=α±iβ，y?=e^[(α+iβ)x]，y?=e^[(α-iβ)x]为【*】的解.
利用欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ把y?、y?改写为：
y?=e^[(α+iβ)x]=(cosβx+isinβx)e^αx，
y?=e^[(α-iβ)x]=(cosβx-isinβx)e^αx，
上一节有↓
【1】Th1，若φ?(x)、φ?(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个解，则
y=C?φ?(x)+C?φ?(x)也是【齐次】方程的解，其中C?、C?为任意常数.
所以根据↑，有：
Y?=1/2(y?+y?)=cosβxe^(αx)，
Y?=1/(2i)(y?-y?)=sinβxe^(αx)是【*】的两个线性无关解，因此【*】的通解为：
y=（C?cosβx+C?sinβx）e^(αx).
综上，第一步，写特征方程λ2+pλ+q=0。第二步，求λ?、λ?。第三步，根据两根情况按表格写通解。【步骤及表格】【《高等数学上册》p246】
推广到n阶常系数齐次线性微分方程【《高等数学上册》p247】。
7.8 常系数非齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0【*】二阶常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=f(x)【**】二阶常系数非齐次线性微分方程
【**】通解：
第一步，求齐次的通解，
第二步，求非齐次的一个特解y?(x)，
第三步，非齐通解为齐次通解加非齐次特解y?(x)。
所以这一节核心任务为找非齐次特解y?(x)。
一、【**】中f(x)为Pn(x)e^kx
【例1】
特解按右边的样子假设，代入得特解。原方程通解得。
【例2】有λ与原方程e指数的系数k相同则假设多乘一个x。代入得特解具体函数。
【例3】两个λ与原方程e指数的系数k相同则乘x2。代入得特解具体函数。
【例4】没见到e^kx，那就是k=0。
二、【**】中f(x)为e^dx[多项式×cos(βx)+多项式×sin(βx)]
【例1】假设特解：指数函数提出去、按照剩下样子假设（sin、cos都要有）、代入。
【例2】没有e^(αx)，就是α=0，不要，看λ有没有相同的，有一个乘1个x。
【例3】
【例4】
这一章需要多实践。
行吧第七章结束、高数上册结束。舒服了。
