空间思维能力是一种普遍的思维能力,指的是基于空间,从空间的事物着眼,对空间事物迅速高效地进行一系列分析判断应对及再调整处置的思维过程。
空间思维由三大要素组成:空间概念、呈现工具以及推理过程。空间思维能力涉及对空间意义的理解,利用空间的各种性质形成问题,寻找答案,并呈现解决方案。空间思维能力通过使空间结构内部的各种关系可视化,观察、记录、分析物体之间的静动态关系。
空间思维不同于立体思维、平面思维、定向思维、逻辑思维、正向思维、反向思维、发散思维、聚合思维等思维方式,空间思维是一种复合思维,快速、高效是空间思维优秀的两个显著标志。
一个具有良好空间思维能力的人,是乐于进行空间思考的人,是积极地将空间思维付诸实践的人,是善于从多个维度来认识世界的人,是能够娴熟地运用其空间背景解决实际问题的人。
空间思维能力在人的一生中占据着重要的地位,因此培养空间思维能力非常重要。
菜鸟必修
情报传递
在图中,从起点到终点共有多少种不同的路径(不许在途中折返方向)?
答案
一共有6种途径可以到达终点。在每个圆圈中写上所有能到达该圆圈的路径的数目,如图。左边起点的圆圈都只有一条到达路径,所以数字都是1,其他各圈内的数字等于其左侧与它直接相连的圆圈内的数字的和。终点的圆圈内的数字为6,所以共有6种途径可以到达终点。
思维提升
处处是出路,处处有玄机,稍不注意,路线就会重复或者遗漏,细微观察、缜密思维是解答本题必不可少的要件。
蓝精灵的智慧
狠毒的森林女巫有一个魔法十字架,上面镶着25颗宝石。女巫靠着它肆虐整个大森林。她有个习惯,数钻石每次都是从上数到中央,然后分别向左、右、下数去,3次的得数都是13。蓝精灵得知这一秘密后,趁一次女巫的十字架坏了,化装成工匠前来修理,并设计偷走了上面的2颗宝石,使女巫在检查时没有发现,就此破掉了女巫的魔力,它是怎么偷的呢?
答案
蓝精灵从横排位置的两端各偷走一颗宝石,然后将下端的一颗宝石移到顶端。女巫按老习惯去数,三次的得数仍然是13。
思维提升
在实际思维过程中,人们经常是交替使用“横向”和“纵向”两种方式的。想要找到最佳的思维方式,就必须在平时多思考、多观察、多积累、多练习,有了平时的“库存”才可能在必要的时候急用。
求表面积
有一个长方体的铁块,这个铁块正好可以锯成三个正方体的铁块,如果锯成正方体的铁块,表面积就会增加20平方厘米,那么,这个长方体铁块原来的表面积是多少?
答案
一个长方体锯成三个相同的小正方体,结果增加了6个面,而这6个面恰好相当于一个小正方体,所以最终相当于增加了4个小正方体的一个面的面积,其一个面的面积为20/4=5平方厘米,所以长方体的表面积为5?(3?4+2)=70平方厘米。
思维提升
简单的几何问题,只要认真分析要求和条件,很容易就能解决。
巧算面积
如图所示,有一个边长为4厘米的正方形与一个直角三角形重叠。直角三角形的顶点正好处在正方形的中心点。不用计算,能否观察出这两个图形重叠部分的面积?
答案
三角形的顶点正好在正方形的中心点上,而正方形也可以通过这个中心点划分为4个三角形,而它们重叠的部分恰好是正方形面积的1/4即4平方厘米。
思维提升
不需要精确的几何证明,只是通过细致的观察与分析,就可以找到这两个重叠图形的内在联系,并得出正确的答案。
蓝色魔方
如图所示,假设现在有一个外表都是蓝颜色的“魔方”。问:现在符合下列条件的小立方体各是多少块?
(1)三面是蓝颜色的小立方体。
(2)两面是蓝颜色的小立方体。
(3)一面是蓝颜色的小立方体。
答案
符合条件的小立方体分别有以下几块:
(1)三面是蓝颜色的小立方体有8块。
(2)两面是蓝颜色的小立方体有12块。
(3)一面是蓝颜色的小立方体有6块。
思维提升
观察力是注意力的进一步延伸,只有“注意”了,才有可能进行“观察”。没有注意力的参与只能是盲目的、无选择的浏览。
比较黑白
下面四幅图中黑白两部分面积相等吗?
答案
(1)不相等,黑部分大。
(2)黑白两部分相等。
(3)黑白两部分相等。
(4)黑白两部分相等。
思维提升
比较法是科学研究中的基本理论方法之一,是进行科学分类的基本前提。客观事物既相互区别,又相互联系;既有相似处,又有相异点。通过比较,既可以具体地了解事物之间的相同点,又可以细微地了解事物之间的不同点,为进一步分类提供客观依据。
无人选择
有A~F六种不同的礼物,都装在大小相同的盒子里。经理表示:“你们可以随意选择喜欢的一个。A的内容最贵重,依序为B、C、D、E、F的盒子。但是不能碰触自己不要的盒子。”就这样,大家虽然可以清楚看到盒子上的代号,但却一直没有人选择代号为A的盒子。为什么呢?
答案
因为经理先把盒子如图堆放了。
思维提升
此题看似是一道博弈问题,其实只不过是非常简单的空间问题,加之条件限制,反而让问题变得更加简单。
能力进阶
圆币盖桌
在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内,也可能有一些彼此重叠;当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时,新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖。
答案
假设硬币半径为1;因为不能放下一个新硬币,得知桌面任意一点,到离它最近的硬币的圆心的距离不大于2;将桌子做田字形分割成四个一样的小长方形,那么每个小长方形的边长都减半,因此,桌面到最近的圆心的距离就小于1。可以被N个硬币覆盖。同理大桌子可以被4N个硬币覆盖。
思维提升
空间想象能力的重要性不言而喻,即使在日常生活中,也经常能够遇到,培养这种能力,能让我们拥有更强的解决问题的能力。
七色花
如图的七角星中有15个小圆圈。请把从1~15这15个数分别填入圆中,使每一个菱形的4个数的总和都为30。快试一试吧!
答案
如图:
思维提升
学习知识,就是要思考,思考,再思考。在攀登科学高峰的旅途中,在成功的道路上,思考起了关键性作用。
巧截方形
图形ABCDEF是由3块相等的正方形构成。
要求把这图形截成2份,使截得的2份能拼成一个中心为正方形孔的正方形方框。并且正方形的孔的面积,还要与图形ABCDEF的任何一块正方形方块相等。
答案
取3块正方形的中心点分别为b、c、d,再取ED与DC的中心a、e。然后,照abcde线切割(如图1)。将截下的部分与剩余的部分拼接在一起(如图2),就能得到题目要求的方框。根据同样的题目条件,还能找到另外的截线。
思维提升
我们对于事物的认识与分析,不但要看到其普遍性,还应该注意到事物的特殊性。这对于我们从整体上全面认识、理解事物是极为重要的。它可以使我们的思路不至于局限于单一的事物联系中。
巧算容积
曾经有这样一个故事,一名毕业于名牌大学数学系的学生,因为他是学校的佼佼者,所以十分傲慢;一位老者很看不惯就给他出了一道求容积的题,老者只是拿了一个灯泡,让他计算出灯泡的容积是多少。傲慢的学生拿着尺子算了好长时间,记了好多数据,也没有算出来,只是列出了一个复杂的算式来。而老者只是把灯泡中注满了水,然后用量筒量出了水的体积,很简单就算出了灯泡的容积。
现在如果你手中只有一把直尺和一只啤酒瓶,而且这只啤酒瓶的下面2/3是规则的圆柱体,只有上面1/3不是规则的圆锥体。以上面的事例做参考,你怎样才能求出啤酒瓶的容积呢?
答案
先把啤酒瓶底的直径测量出来,这样就可以计算出瓶底的面积。再在瓶中注入约一半的水,测出水的高度,做好记录;盖好瓶口后,把瓶子倒过来测量出瓶底到水面的高度,做记录。将两个做好的记录相加再乘以瓶底的面积便可知啤酒瓶的容积了。
思维提升
面对复杂难解的问题时,我们不妨打破思维定式,换一个角度去思考问题,就像题目中所描绘的那样,问题往往比想象中简单得多。
星星有多大
两个正三角形叠起来成为星形,在里面再画一个更小星形(如图中阴影部分所示),如果大星的面积是20平方厘米,那么小星形的面积是多少?
答案
5平方厘米。如图所示,大星形由正12个正三角形构成。其内部正六边形的面积是总面积的1/2。小星形可以分解成6个菱形,其面积又是正六边形的一半。
思维提升
解决几何问题,能够同时培养我们的空间想象能力和形象思维能力。分辨清楚几何问题当中的隐含条件显得尤其重要。
母鸡下蛋
一只母鸡想使每行(包括横、竖和斜线)的鸡蛋不超过两个,它能在蛋格子里下多少蛋?你能在表格中标注出来吗?图中有两个鸡蛋了,因而不能再在这条对角线上下蛋了。
答案
母鸡能在格子里下12只蛋。如下图:
思维提升
此题要求答题者拥有较强的空间思维能力,我们不妨多试验几次,探索问题,切忌不动手实践,单纯靠想象解题,那样可能浪费更多的时间。
无懈可击
丢失的小正方形
有这样一个奇怪的现象:一个正方形被分割成几小块后,重新组合成一个同样大小的正方形时,它的中间却有个洞。
把一张方格纸贴在纸板上,按图1画上正方形,然后沿图示的直线切成5小块。当照图2的样子把这些小块拼成正方形的时候,中间真的出现了一个洞!
图1的正方形是由49个小正方形组成的,图2的正方形却只有48个小正方形。究竟出了什么问题?那一个小正方形到底到哪儿去了?
答案
5小块图形中最大的两块对换了一下位置之后,被那条对角线切开的每个小正方形都变得高比宽大了一点点,而且这个大正方形变得高比宽大了一点点。这意味着这个大正方形不再是严格的正方形。它的高增加了,从而使得面积增加,所增加的面积恰好等于那个方洞的面积。
思维提升
如果我们对脑力训练给予足够重视,我们的思维必会得到一日千里的提升!
折不出的骰子
下图有一张画着不同花纹的展开图,它折起来后是一个正方体的骰子。请问,不可能折成的是下列六个骰子中的哪一个呢?
答案
②。以不同的面做顶面可以得出不同的立方体图形,但是,图形②中右侧面的底线是不可能与左侧面接触的,因此这是一个明显的错误,所以图形②是做不出来的。
思维提升
空间问题既包括平面的,也包括立体的,只要我们仔细观察,充分发挥空间想象能力,同时掌握解决空间问题的技巧,那么无论多么复杂的问题都会变得简单。
纸块拼字
你能用17块面积相同的正方形黑纸块在一张白纸上拼出一个正方形的“口”字吗?(注意:纸块不能重叠)
答案
如下图所示,每边有5块纸块,中间再放上一块这就形成了一个白色的“口”字。
思维提升
空间问题比其他数学问题更需要创造性,因为它们的答案往往不是唯一的,这给了解题者更多的思考空间。
哪条小路更近
如图所示,A点到B点中间隔着一个小花坛,花坛的两边有两条小路(图上的线条表示小路)。用你的眼睛观察,哪条路近一些?
答案
两条小路的路程相同。如图,线路一的各分段距离之和,正好等于线路二的距离。
思维提升
我们在对某一个问题下结论之前,要利用细致的观察力来分析它,而不能被它的表象所迷惑。有的时候,真相往往隐藏在表象深处,如果缺乏深度观察妄下结论的话,就有可能犯下错误。
牛皮圈地
很久以前,欧洲某个王国被另一个国家灭亡了。国王和王后、王子都被侵略者杀死了,只有小公主蒂多带领一些武士突出包围,逃到了非洲的海岸。
蒂多公主带了一些金币登上海岸,拜访了酋长:“我们都是失去祖国的逃难人,请允许我们在您神圣的领土上买一块土地生活吧。”
酋长见蒂多公主只有几枚金币,便轻蔑地说:“才这么一点金币就想买我们的土地?那你只能买下用一张牛皮所圈出的土地。”
大家听了都很沮丧,可是蒂多公主却说:“大家不必丧气,我有办法用牛皮圈出一块面积很大的土地。”
蒂多公主真的做到了。你知道她是怎么办到的吗?
答案
蒂多和大家上岸后,向酋长买来一张野牛皮,用小刀把它割成细细的牛皮条,然后把这些牛皮条一个个都连接起来。接着,在平直的海岸上选好一个点作圆心,以海岸线作直径,在陆上用牛皮绳圈起了一个半圆。酋长一看,大吃一惊,自己部落的一半领土都被蒂多圈起来了。他只得表示同意。
思维提升
这个问题实际上可以转化为几何空间问题,与此同时,题目还考验我们的创新思维,属于综合能力的考验。
超级滑轮组
在下面一组齿轮、杠杆和转轮的组合中,黑色的点是固定支点,白色的点是不固定支点。如果如图所示推一下不固定支点,终端的物体A和B会上升还是下降?
答案
A会上升,B会下降。如图:
思维提升
在做本题时,一定要清楚“固定支点”与“不固定支点”两个概念,并清楚它们以及齿轮的运动规律。一个人的思维往往会将类似的问题引导到自己熟悉的知识上。我们要将学过的知识运用到恰当的问题上,解决问题时才会得心应手。
