围棋是我国人民创造的，至今已有四千余年的历史。围棋爱好者都知道，围棋的棋局千变万化，自古以来，还几乎没有出现过完全相同的棋局，因此古人云：“千古无同局。”围棋棋局究竟有多少变化呢？这是一个简单的计算排列总数问题。很早以前，我国有两位天文、数学家就曾进行过研究，计算得出了结果。
从和尚到数学家
张遂(僧一行，公元683—727年)，是唐代的天文学家和数学家。他的祖父和父辈均在朝做官，得了许多封地。但由于武则天当女皇帝后，为限制唐初功臣、贵族的势力下令收回封地，少年时代的张遂变成了一个穷孩子，连吃饭都要靠别人救济。张遂从小就爱读书，勤奋用功，据《旧唐书》说“一行少聪敏，博览经史，尤精历相”。他很快成为长安城小有名气的青年学者。
在他21岁那年，武则天的侄子武三思的家仆找上门来，要他与武三思结交。武三思是一个不学无术，靠阿谀奉承爬上梁王宝座的人；他仗势欺人，残害百姓，无恶不作，现在想借学者装潢门面，欲博取“礼贤下士”的美名，要和张遂做朋友，这对品性耿直、不阿权贵的张遂来说，他是不愿结交权贵而往上爬的。为了躲避武三思，张遂出家当了和尚，法名一行，成了唐代高僧。
一行在佛门下，仍继续研究天文和数学。他的记忆能力惊人。据传，一篇有数千字且字句怪僻的文章，他看过一遍之后，便能一字不漏地背诵出来。他曾“访求贤师，不远数千里”。例如，他听说浙江天台山有一和尚精通数学，就从河南步行上千里去拜师求教。后来，一行在天文、数学上研究出了名，得到了皇帝唐玄宗的礼遇，多次请他当大官，都被他拒绝了。鉴于当时的月蚀预报不准，他受命主持编制新历书《大衍历》，于唐开元十五年(公元727年)草成，这是中国历史上优秀的历法之一。在编制《大衍历》中，一行创立的“自变量不等间距二次内插法”是一项重要的数学成就。此外，他在编制《大衍历》中的其他数学成就还有三次差分、等差级数求和、二次方程求根公式等项，他还是世界上第一个实测子午线长度的人。为了纠正古书上记载：南北地隔千里，则8尺高竿在日影中影长相差一寸即“寸差千里”的错误说法，他组织了全国12个点的大地测量。他测得的子午线数据与现代数据只相差11公里多一点，是实在了不起的杰出成就。
一行为人刚直不阿，奉公守法，不徇私情，有一次他竟敢向皇帝提出批评。又有一次，他幼年时的邻居王老太太找一行，因小时候的一行得到过她大量的周济，老太太要求一行搭救她犯有杀人死罪的儿子，过去，一行曾想方设法要报答王老太太。当时的一行，在皇帝面前说话很有作用，可是一行却对恩人说：“如果你老人家需要金钱布匹，我可以十倍报答，但对此事，我不能徇私枉法。”老太太气愤地指着一行大骂说：“认识你这样的人有什么用！”一行始终没答应她的要求。
僧一行的一生，是治学刻苦勤奋，品德高尚，学术成就卓越的一生。
有趣的是，他曾对围棋感兴趣，研究过棋局。在《心机算术话》一卷里，计算过围棋的“棋局都数”。围棋棋盘横直方19路，共有19×19=361个交叉点着子位置，每个位置都有布置黑子、白子、留空的三种不同情况，算作不同棋局，那么共有多少棋局呢？一行得出棋局总数一共有3361种可能，其值有769位之多。一行是怎样算出来的，书中没有记载。他决不是用大数阶乘公式计算出来的，因大数阶乘公式是欧洲数学家斯特灵(J．Stirling，1692—1770年)于1730年首次获得的，晚于一行一千年。
棋盘上的数学
约四百年后，博学多才的北宋科学家沈括(1031—1095年)，他在数学的高阶等差级数求和问题(称“隙积术”)、求弧长方法(称“会圆术”)以及测算、对策、物理、天文、气象、工程技术、生物和医学等方面都做出了巨大贡献，写成号称“中国科学史上里程碑”巨著《梦溪笔谈》一书。沈括读到一行的著作，发现“棋局都数”只有结论没有计算过程，引起了他的注意。
一天沈括遇朋友来访，非常高兴，便向朋友讲起一行大师只有结果没有计算过程的“棋局都数”说：“我近来无事，便专心研究这个问题，终于研究出三种计算方法。现在已经算出来了，并找到了一个简单的方法，只是答数太大，如果用文字写，要连写43万个字！”
沈括究竟是怎样考虑呢？他在《梦溪笔谈》第十八卷里收录了这个对运筹学、博弈学都有价值的计算棋局问题：
先看最简单的情形，如果围棋盘上只有纵横两路，那么我们称为“方二路”，有4个格点，每个格点上都有三种可能，即布置白子、黑子和空位，很明显，可变出3×3×3×3=34=81(局)。
同样的道理，“方三路”有9个格子，可变出：
3×3×3×3×3×3×3×3×3=39=19683(局)；
“方四路”有16个格点，可变出：316=4304672l(局)；
“方五路”可变出：325=847288609440(局)；
“方六路”可变出：336=150094635282031926(局)；
最后，“方十九路”，有361个格点，故可变出：3361=1．74…×1000043局不同棋局总数。因此，沈括认为，棋路总数大得很，“非世间名数可能言”(已有的名数都不够用)。
今天，学过对数的人，可以不费吹灰之力验证900多年前大科学家沈括的结论的正确性。令x=3361，lgx=361lg3≈361×0．4771=172．2331，查反对数表，x≈1．71×10172=1．71×(104)43。又因104是万，故棋局总数是连写43个万的1.71倍，真是大得很。
从理论上讲，上述结果是正确的。只是在实际下棋时，上述有些棋局不合棋理的。但远在11世纪，沈括仅利用笨重且繁琐的筹码工具，居然能计算出如此庞大的数字，这不得不令人赞叹！
张遂、沈括不仅用数学证明了“千古无同局”的真理，而且灵巧地运用了指数运算法则am·an=am+n等数学原理，算出了这个巨大的天文数。
当时计算这样的排列总数，张、沈二公的计算方法决不是用传统的普通方法(包括对数运算，对数是17世纪才发现的)，显然，是按某种规律求出的。令人遗憾，先辈们没有记录下来。如果我们设想这个问题用现代每秒钟运行1亿次的电子计算机来算，3台这样的计算机每年也只能运行1016次，这就是说需要10156年。9位数为1亿，则10156有157位数，故约要17．4亿年才能运算的次数达到3361。因此对“棋局都数”的计算来说，可以说是我国古代计算技术的巧妙性和先进性的证明。
许多读者也许喜欢下棋，但除了“纹枰对座，从容谈兵”外，又有谁能想到还有上面这些有趣的问题呢？
