阿凡提是新疆维吾尔族民间的传奇人物，智慧的化身。有一个关于阿凡提巧取银环的故事，在新疆几乎家喻户晓。说的是：
一天，财主G对雇工M说：“我有一串银链，共有七个环。你给我做一周的工，我每天付给你一个银环，你愿意吗？”
M半信半疑。果然，G接着又说：
“不过，有一个条件，这串银链是一环扣着一环的，你最多只能断开其中的一个环。如果你无法做到每天取走一个环，那么你将得不到这一周的工钱！”
M答应试试，但他立即发现事情有点为难，于是连忙去找阿凡提，请阿凡提替他出主意。果然阿凡提想出了一种巧妙的办法，让财主G眼睁睁看着M把一只只银环取走。贪心的财主终于自食其果，搬起石头砸了自己的脚！
其实，财主的这道题并不难，无需借助于阿凡提的超人智慧，就是在座的各位读者，也完全能够想到以下的办法：即把这串银链的第三个环断开，使它分离为三个部分，这三个部分的环数分别是：1，2，4。（如图1）
这样，雇工M第一天可以取走单环，第二天退回单环而取走双环，第三天再取走一个单环，第四天退回单环和双环而取走一串四环，第五天再取走一个单环，第六天退回单环而取走双环，第七天再取走那个单环。至此，银链上的所有七个环都已到了M手上。
类似上述故事中的问题，也出现在美国数学游戏专家马丁·加德纳的《啊哈，灵机一动》一书，只是把“巧取银环”改成“巧断金链”罢了！
对于上述问题更为深刻的思考是：在允许割断m个环的条件下，最多能处理多长的链条(环数为n)，才能做到在n天中，每天恰能支付一个环作为工钱？
为了找出m与n之间的关系，我们先考虑断开两个环，即m=2的情形。显然，此时环链断成了5个部分，其中有两部分是单环，可以支付头两天工钱。为了付第三天工钱，必须用一串三环去换回两个单环。以上三部分环可够支付头五天的工钱，因此第四部分应当是6环，同理推出第五部分应当是12环。即这五个部分的环数分别是：（如图2）
1，1，3，6，12
由此得：当m=2时，n=1+1+3+6+12=23。类似地，当m=3时，可求得环链割断成七部分的环数如下：
1，1，1，4，8，16，32。
从而n=3+4(2４-１)=4×2４-1=63。
同理，当允许环链割断m个环时，环链被断成的2m+1个部分的环数应为：
1，1，…，1m个1，m+1，2(m+1)，…，2m(m+1)
于是n=m+(m+1)(2m+1-1)
=(m+1)2m+1-1
这便是断链问题的一般性解答。
现在我们再看一看有关平面剖分的例子，它无疑要比上面的问题复杂很多。公元1751年，欧拉曾提出一道有趣的问题：一个平面凸n边形，存在多少种用对角线剖分成三角形的办法？
对此，欧拉本人求出了从D３开始的头七个剖分数：
1，2，5，14，42，132，429。
图3画出了D６＝14的各种剖分情形
公元1758年，数学家西格纳找到了Dn的一种递推公式(式中假令D2=1)：
Ｄn＝Ｄ２Ｄn-1＋Ｄ３Ｄn-2＋Ｄ４Ｄn-3＋…＋Ｄn-1D２
利用西格纳的公式，可以一步一个脚印地依次算出各Dn(n=3，4，5，…)的值，只是当n很大时计算有点困难罢了！
20世纪初，数学家乌尔班在计算了
D3D2=1，D4D3=2，D5D4=52，D6D5=145，…之后，惊奇地发现：对他计算过的所有数都有
Dn+1Dn=4n-6n他猜测这应该是一条真理！后来乌尔班果真用一种非常巧妙的办法证实了它。乌尔班的方法说来也不难，关键在于构造了一个函数g(x)
g(x)=D2x２+D3x3+D4x4+…+Dnxn+…并由西格纳的关系式推知g(x)满足二次方程：
W2-xW+x3=0从而求得
g(x)=x2〔1-1-4x〕上式展开后比较得到
Dn=2×6×10×…×(4n-10)1×2×3×…×(n-1)由此证得：Dn+1Dn=4n-6n
用乌尔班的这个公式计算Dn，就连小学生也能做到。倘若欧拉在天之灵，能够对此有知，想必也会叹为观止！
