大约很少有人在欣赏一株枝叶茂盛、婀娜多姿的树木时，会关心到枝丫的分布。但生物家和数学家都注意到了这一点。由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以他们设想：一株树苗在一年以后长出一条新枝；第二年新枝休息，老枝依旧萌发；此后，老枝与休息过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年休息。这个规律在生物学上称为“鲁德维格定律”。
根据鲁德维格定律，一株树木各个年份的枝丫数，依次为以下一列数：
(1)，1，2，3，5，8，13，21，34，……
上面的数列渊源非常悠久。公元1202年，商人出身的意大利数学家斐波那契(Fibonacci，1170—1250)，完成了一部伟大的论著《算法之书》。这部中世纪的名著，把当时发达的阿拉伯和印度的数学方法，经过整理和发展之后介绍到欧洲。
在斐波那契的书中，曾提出以下有趣的问题：
假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再经过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子？
逐年推算，我们可以得到前面提过的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。这个数列后来便以斐波那契的名字命名。数列中的每一项，则称为“斐波那契数”。第十三位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数，这个数字为233。
从斐波那契数的构造明显看出：斐波那契数列从第三项起，每项都等于前面两项的和。假定第n项斐波那契数为un，于是我们有：u1＝u2＝1un+1=un+un-1(n≥2)。
通过以上的递推关系式，我们可以算出任何的un，不过，当n很大时递推是很费事的，我们必须找到更为科学的计算方法！为此，我们先观察以下较为简单的例子。
在《大数的奥林匹克》一节，我们讲过一个关于“梵天预言”的故事。现在我们假定按“梵天不渝”的法则，完成n叶金片的搬动要进行un次动作。那么，要完成n+1叶金片的搬动，可以通过以下的途径达到：先把左针上的n叶金片，通过un次动作搬到中间针；再把左针上的第n+1叶金片搬到右针上去；最后再通过un次动作，把中间针上的n金片搬到右针上去。这样，实际上已将n+1叶金片从左针搬到右针，从而上述的动作总数等于un+1。这就是说，我们有：
u1=1un+1=2un+1(n≥1)
下面我们通过上述递推关系来直接推导un。
注意到un+1+1=2(un+1)
令vn=un+1
则v1=2vn+1=2vn(n≥1)
数列｛vn｝是一个首项为2，公比也为2的等比数列。易知：
vn＝2·2n-1＝2n从而un=vn-1=2n-1
由此可知，梵天要求搬完64叶金片需要做的动作为(264-１)次。如果完成每个动作需要一秒钟的话，则需大约5800亿年！这个数字大大超过了整个太阳系存在的时间，所以梵天的预言真可谓“不幸而言中”！不过，我们完全不必“杞人忧天”，整个人类的文明社会至今也不过几千年，人类还远没有到达需要考虑这个问题的时候！
现在我们回到斐波那契数列上来。受“梵天预言”例子的启发，我们试图从等比数列1，q，q2，q3，…，qn-1，…中寻求满足递推关系un+1＝un+un-1的解答。
令qn＝qn-1+qn-2(n≥2)因q≠0，解得：
q1=1+52q２=1-52
现令un＝aq1n-1+βq2n-1u1＝u2＝1
立知α＋β＝1α1+52+β1-52=1解得α=151+52β=-151-52从而un=151+52n-1-52n
以上公式是法国数学家比内首先证明的，通称比内公式。令人惊奇的是，比内公式中的un是以无理数的幂表示的，然而它所得的结果完全是整数。不信，读者可以找几个n的值代进去试试看！
斐波那契数列有许多奇妙的性质，其中有一个性质是这样的：
u2n-un+1·un-1＝(-1)n+1(n＞1)其实，读者只需看看下式便会明白。
u2n-un+1·un-1＝u2un-(un+un-1)·un-1=-u2n-1+u2n-un·un-1=-u2n-1-un(un-un-1)=-u2n-1-un·un-2)=……=(-1)n(u22-u3·u1)=(-1)n+1
斐波那契数列上的上述性质，常被用来构造一些极为有趣的智力游戏。美国《科学美国人》杂志就曾刊载过一则故事：
一位魔术师拿着一块边长为13英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长21英尺，宽8英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差，深感惊异。因为两者之间面积相差达一平方英尺哩！可是魔术师竟让匠师用左图和下图的办法，达到了他的目的！这真是不可思议！亲爱的读者，你猜猜那神奇的一平方英尺跑到那儿去呢？
需要告诉读者的是，类似的智力问题还可以构造出很多很多，这只要把上题中的长方形边长和正方形边长，换成连续的三个斐波那契数就行！道理就是前面提到过的那个式子。
有关斐波那契数列的趣题实在不少，下面“蜜蜂爬格”的游戏，便是一道难得的妙题：
蜜蜂蜂房的第0号位置爬向第10号位置。规定只能从序号小的往序号大的爬。问共有多少种爬行路线？
可不要小看这道题，它好难哩！大概需要费你不少的脑筋。有兴趣的读者不妨试试看！
