① 作两条有公共顶点的、其轴互相垂直的抛物线，并且使得其中一个的正焦弦为另一个的2倍。设x表示从两条抛物线的另一个交点向较小的抛物线的轴所作垂线之长。于是，以x为边的立方体的体积等于以较小的正焦弦为边的立方体的体积的2倍。
②作一正焦弦为s的抛物线，然后作一横截轴等于4s且以抛物线之轴为其渐近线的等轴双曲线，并且过抛物线顶点作其切线。设x为从两条曲线的交点向抛物线的轴所作垂线之长，则x3＝2s3。
另外，狄俄克利斯在解决这个问题时，发现了蔓叶线。
(2)任意角三等分问题。
按希腊时期几何作图法的要求，①直尺只能做连接两点的直线之用；②圆规只能做画圆之用，不许作分度计或量长度之用。在这两个条件限制下，任意角三等分是不可能的。
希腊学者把任意角三等分问题归结为斜向问题，对它研究与探索，发现了蚌线等等。
如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，三等分法有几十种之多，不妨举一个例子。
在已知∠ABC的一边AB上，取一点D，引DE垂直于BC，DF平行于BC，取一直尺，上面刻上三点P，Q，R，且PQ＝QR＝DB，直尺通过点B(DE过点P，DF过点R)，由此，△PDR是直角三角形，且Q是斜边PR之中点，PQ＝DQ=RQ，∴∠DQB＝2∠BRD，又∵PQ＝QR＝DB，∴DQ＝DB，∴∠DQB＝∠DBQ。另外，DF∥BC，∴∠BRD＝∠RBC，故∠DBQ＝2∠RBC，直线BR是∠ABC的三等分线。
从上面的作法都能将任意角三等分，但是，已经突破了希腊时期的“初等几何作图法”的要求。
若用代数思想解释这两个古老问题，也是很清晰的。实际上，倍立方和任意角三等分问题，都是属于求解三次方程问题。直尺画出的直线可表示为一次方程ax＋by＋c＝0。
而用圆规画圆，其方程可表示为二次方程x2+y2＋ax+by+c=0。
仅用直线和圆构成的图形是不能求解三次方程的。因此，用初等作图法解决如上两个问题是不可能的。
(3)化圆为方问题。即：求作一正方形，使其面积等于一已知圆。
远在公元前1800年，古代埃及人就取正方形的边长等于给定圆的直径的89的方法“解决”这个问题。后来，有成千上万的人对这个问题进行过研究，并且尽管已经证明了用欧几里得工具作此图的不可能性，但时有号称成功“化圆为方者”的出现。
希腊时期的希波克拉底成功地求出了某些特殊的由两个圆弧围成的月形面积，当然没有解决化圆为方问题，但确实解决了一个有关的问题。设ABC是一等腰三角形，并设它内接于中心为O的半圆，设AEB是以AB为直径的半圆。则有半圆ABC的面积∶半圆AEB的面积E＝AC2∶AB2＝2∶1，所以，OADB的面积等于半圆AEB的面积。现在把两者的公共面积ADB去掉，则有月牙形的面积等于三角形AOB的面积。
上边的例子说明希波克拉底从探索曲边形面积与直边形面积相等的思路，试图来解决“化圆为方”的问题。
希波克拉底另一个月形求积问题是，设ABCD等于以AD为直径的圆的内接正六边形的一半。作该圆与以AB为直径的半圆之间的月形。试证明：梯形ABCD的面积等于该月形面积的3倍加上以AB为直径的半圆的面积。
若取消作图工具的限制，“化圆为方”问题也是可以解决的。欧洲文艺复兴时代的大师达·芬奇曾创建用圆柱来解决化圆为方问题的巧妙方法。
2000多年来，“三大几何难题”显现出经久不息的魅力，无数具有聪明才智的有志之士曾做出不懈的努力，都未如愿以偿。直到1637年，法国数学家笛卡儿创建解析几何，尺规作图的可能性才有了准则。1837年，数学家凡齐尔给出了“倍立方”“任意角三等分”不可能性的证明。1882年，数学家林德曼证明π的超越性，“化圆为方问题”的不可能也得以确立。1895年，克莱因给出了三大几何难题不可能用“初等几何作图法”解决的简单而明晰的证明，彻底解决了2000多年的悬案。
值得注意的是，随着人们对“几何三大难题”的研究，激发了人们对数学新概念的研究和探索，例如，对圆锥曲线，三、四次代数曲线及割圆曲线等等的发现，就是在寻求解决“几何三大难题”中迎刃而解的。对数学理论的发展，也是有重要作用的。譬如，在对“化圆为方”的研究中，希腊学者安蒂丰先作圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，再加倍，得正十六边形，这样继续下去，最后的正多边形必与圆周相合。也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是可以化圆为方了。结论虽然是错误的，但提出了一种有重要价值的“穷竭法”，它是近代极限理论的雏形。
四、厄勒亚学派
这个学派主要活动在厄勒亚地区，主要代表人物是芝诺。他首次用量的观点揭示运动中的矛盾，提出了4个违背运动常识的悖论。芝诺提出4个悖论的目的尚需进一步探索。而其背景是，当时人们对空间和时间有两种对立的看法：一种认为空间和时间无限可分，这样，运动则是连续而平滑的；另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的，这样，运动则是一连串的小跳动。芝诺的悖论是针对这两种理论的，他的关于运动的4条悖论的前两条是反对第一种学说的，而后两条是反对第二种学说的。我们不妨简略地考察一下4条悖论。
(1)二分法说：认为运动不存在，因为一个物体从A到B，首先要通过AB距离的一半，但要通过一半，必须通过一半的一半，如此下去，认为此物体永远不能到达B地。
也有人把芝诺的悖论理解为：要通过有限长度就必须通过无穷多的点，这就意味着必须到达没有终点的某种东西的终点。
(2)追龟说：据说在希腊有一位快走如飞的阿基里斯，芝诺认为他永远追不上步履迟钝的龟。譬如说，阿基里斯以10倍的速度追逐距离他100米处爬行的龟。当阿基里斯走100米时，龟爬了10米，当阿基里斯走10米时，龟又爬了1米，如此下去，这样永远相隔1小段距离，所以，总也追不上。
实际上，这个问题用极限方法可以马上得出结论。他(它)们走过何处阿基里斯能追逐到龟。
(3)飞箭静止说：芝诺认为飞箭在任一瞬间必在一确定位置，因而是静止的，于是，所谓运动不过是多个静止点的总和。
(4)运动场论：两组个数相同的物体沿跑道相向移动，一组从终点出发，而另一组是从中点运动，两者以相同速度移动，芝诺认为一半的时间和整个时间相等。
按照芝诺提出的观点，设有甲、乙、丙三排运动员，并设在单位时间内，乙排往左移动一步，而丙排则往右移动一步，于是相对于乙排而看丙排就移动了两步。因此使丙向右方移动一步所需的时间为半个单位，所以半个时间单位等于一个时间单位。
悖论思想不仅在运动方面存在，而且渗透到社会领域。相传在远古时期就曾产生过悖论。据说一个残忍的国王，下令不许外地人进入他的领地，否则就要处以死刑。并规定进入他的领地若说真话，要处以砍头罪，若说假话处以淹死罪。一天，一个聪明的外地农民大摇大摆地进入了他的领地，说：我是来被淹死的。守卫领土的士兵无法处刑，如果认为他说的是真话，应处以砍头罪，如果一旦执行，他的话便是假话。如果认为他说的假话，应处以淹死罪，一旦执行，他的话又变成真话。这样，使国王也束手无策，只好放走农民。这说明悖论思想充满了矛盾，需要我们认真研究与探索。
芝诺在描述运动中，产生了悖论思想，实际上，芝诺的认识已经接近极限观念的边缘，但他最终还是否认了运动的真实性，没能认识极限。值此，应该认识到，悖论思想给数学界以极大的影响，直到集合理论建立时，仍余波未尽。
五、柏拉图学派
这个学派是继诡辩学派之后兴起的。其主要代表人物是柏拉图，他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底学习哲学，受到逻辑思想影响，而后成为雅典举世瞩目的大哲学家。柏拉图在雅典建立了自己的学派，对其哲学思想的产生和扩大影响具有重要意义。柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观点，并运用到自己的学说中，因此，柏拉图的哲学提高了对数学科学的兴趣。他认为，不知道数学的人，不可能接受哲学知识，充分认识到了数学对研究哲学和宇宙的重要作用，并积极鼓励自己的朋友、学生学习和研究数学。据说，在他的学园门口写着：“不懂几何者不得入内。”
柏拉图在其著作《共和国》中，曾强调：我们必须竭力奉劝我国未来的主人学习算术，不是像业余爱好者那样来学，而必须学到唯有靠心智才能认识数的性质那种程度；也不像商人和小贩那样，仅是为着做买卖去学，而是为了军事上的应用，为了灵魂本身去学的。(学习算术)是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径。我所说的意思是算术有伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象……
柏拉图学派重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法；例如，在推理中，假设已知所求未知数，再以这个假设为基础，得出已知量与未知量应当存在的关系式的结论，归根到底是化为求未知量。柏拉图学派把这种方法运用到作几何图形上。
在柏拉图思想的影响下，希腊学者重视对数学的学习和研究，出现了一批对数学发展作出贡献的数学家。例如，欧多克索斯曾是柏拉图的学生，他创造性地排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法，用公理法建立比例论，欧几里得《几何原本》第五卷《比例论》的大部分内容是欧多克索斯的工作成果。
欧多克索斯曾证明了对近代极限理论发展起重要作用的命题，例如，“取去一量之半，再取去所余之半，这样继续下去，可使所余的量小于另一任给的小量。”他也曾提出过：“对任意两个正数a，b，必存在自然数n，使得na＞b”的重要命题。后来，在阿基米德的名著《论球和柱》中，给予了几何意义的阐述，在现代数学中，被誉为“阿基米德公理”。
柏拉图的另一位学生亚里士多德是吕园学派的创始人和领导者，被誉为形式逻辑的鼻祖，其思想影响西方数千年，他也非常重视数学的学习和研究，他所给出的点、线、面、体的定义，广为传播。他还应用演绎逻辑的方法对许多数学问题作出了证明。
柏拉图学派主张科学的任务是发现自然界的结构，并把它在演绎系统里表述出来，首次提出了应该把严格推理法则系统化，从而为数学走向新的阶段起到了前导作用。
综上所述，我们列举了希腊时期的几个学派的工作，以此来了解这个时期数学的发展。实际上，希腊学派的建立是推动数学发展和传播的重要因素，在数学历史中，产生很大影响。可谓创建学派的师徒相传，对数学发展产生莫大的推动力。
(三)欧几里德对数学发展的贡献
值此之前，希腊各学派积累了很多数学知识，但都没有形成比较完整的体系，到了亚历山大时期，希腊数学家们在柏拉图几何思想的启示下，开始将数学知识进行系统整理，使之脱离哲学而成独立学科，从用实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中。完成此项具有划时代意义工作的是亚历山大前期第一个大数学家欧几里得，他撰写名著《几何原本》开创了数学发展的新时期，使初等数学形成了体系。
一、欧几里得《几何原本》产生的背景
公元前338年，马其顿的菲力普王征服了雅典，希腊便沦为马其顿帝国的一部分，从此，雅典处于衰败的状态。在公元前336年时，菲力普王去世，由其子亚历山大大帝继承王位。亚历山大大帝野心勃勃，发动了空前的侵略战争，将文明世界的大部分区域并入新兴的马其顿帝国之版图。当亚历山大大帝进入埃及后，于公元前332年建造了亚历山大里亚城，公元前323年亚历山大大帝去世后，紧接着内部混乱，军阀割据，而埃及由托勒密掌管，他是亚里士多德的学生，并从老师那里学到了治学思想，便努力发展科学文化，繁荣经济，很快使亚历山大里亚成为当时世界的文化中心和商业中心，并创建了著名的博物馆和图书馆，培育了年轻一代学者。当时，这座繁荣的城市吸引着众多的有志学者，其中两个人是最主要的人物，他们有力地推动了数学的发展。他们是欧几里得和阿基米德。
欧几里得的生平，现在知道的甚少，由帕波斯记述，欧几里得在公元前300年左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大里亚教学。人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家。欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想。斯特比亚斯记述一个有趣的故事：“一个学生学习几何时，才开始学习完一个定理，就问欧几里得，学了之后能得到什么好处呢？欧几里得说：给他三个钱币算了，他就想得到这点利益。”
欧几里得在从事数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新。他的巨著《几何原本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无与伦比的历史意义。他精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，象《几何原本》那样长期广为传颂。从1482年到19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近1800年之久。
欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部分是希腊前期各学派创建的成果。据普罗克洛斯记载，欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本延续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法。欧几里得在《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4科为内容的科学思想。
另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善。《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因此，当《几何原本》问世之后，其他诸类逐渐销声匿迹了。
欧几里得还曾撰写过其他的著作，据一些材料记载，主要是《光学》《反射光学》解决镜的反射问题；《论音乐》研究音乐理论；《论天文现象》，天文学的初步理论，主要解决天体运转、黄道分割等问题。
二、欧几里得《几何原本》的主要内容
