(一)产生的背景及研究依据
正当数学面临着积累起来的大量资料有待于整理、创新，使之条理化、系统化时，首先把这些零散的数学知识经过归纳、提炼、开拓、发展并著书立说的民族是希腊人。他们开始尝试对命题的证明，为今日数学的奠基起到了十分重要的作用。正如M克莱因所说：“数学作为一门有组织的独立的和理性的学科来说，在公元前600到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的。”
一、古希腊数学产生、发展的背景
数学在希腊的发展，有其社会原因。古代希腊人定居在小亚细亚，即欧洲大陆上如今希腊所在地区以及意大利南部西西里、克里特、罗德斯、第罗斯和北非等地区。当时，希腊为奴隶社会，早期进行了一系列变革，使之变得比较完善，比较先进。马克思把她比喻为“发育正常的小孩”。恩格斯也指出，这种奴隶制“使农业和工业之间的更大规模的分工成为可能，从而为古代文化的繁荣，即为希腊文化创造了条件。没有奴隶制，就没有希腊国家，就没有希腊的艺术和科学……”。因此，社会的变革，对希腊文化的发展，起到了非常重要的作用。
希腊人大约在公元前775年左右实施了文字改革，把他们用过的各种象形文字系统改换成腓尼基人的拼音字母。采用了拼音字母之后，希腊人变得更加通文达理，更有能力和条件来记载他们的历史和思想，也更有利于进行数学逻辑运算和推演了。
希腊是埃及、巴比伦的邻国。地理位置使希腊人游访埃及、巴比伦，并与之贸易往来创造了方便条件。通过这些往来活动，使希腊人有机会了解、学习埃及人、巴比伦人创造的数学。例如，被誉为希腊哲学、数学和科学的诞生地——小亚细亚、爱奥尼亚地区的米利都濒临地中海，来自希腊本土、腓尼基和埃及的船舶都驶进它的港口，并有通商大道与巴比伦相通。
古代希腊形成了多个数学学派，他们的活动和研究，对数学的发展和传播是有重要作用的。古希腊数学延续了1000年左右，这在数学发展史上也是屈指可数的。
二、研究古希腊数学的主要依据
在历史上，希腊曾遭受过波斯人的侵略，使希腊人受到不少磨难，文化活动中心发生转移和改变，记载数学书籍和文献也被破坏。
现在研究希腊数学，主要依据是拜占庭的希腊文的手抄本，这是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写成的。其原因是，希腊的原文手稿没有保存下来(由纸草书写成易于毁坏，加之希腊的大图书馆毁于兵燹)。
希腊数学的抄录本，可能做了若干修改。例如，我们虽无希腊人海伦的手稿，但我们知道他对欧几里得《几何原本》做了若干改动。他给出了不同的证明，添补了一些定理的新例子和逆定理。就是他自己也提到，他改动了《几何原本》的若干部分。
另外，研究希腊数学还要依靠两部评述本，其一是帕波斯撰写的《数学汇编》；其二是普罗克洛斯撰写的《评述》。这是研究希腊数学史的两部重要史料。
要从如上资料中，把希腊数学发展的历史整理出来，是一项浩繁而复杂的工作，由于学者们的艰苦努力，已经基本弄清希腊数学的基本史实。但是，有些结论也有争议，可望在深入研究和探索中，进一步澄清史实。
(二)古希腊数学学派
古希腊数学是在先后相继几个中心地点发展起来的，每个中心地点，总是由一两个伟大学者组织成群的学者开展学术活动，为数学大厦的筑起添砖加瓦。用现在的语言描述，乃为创建学派，师徒相传，推动数学的发展与传播。
一、爱奥尼亚学派
这个学派是由泰勒斯创建的。泰勒斯早年跟随父亲从商，由于贸易往来，有机会游访埃及、巴比伦等国家和地区，在游访期间，被当时兴旺发达的外地文化所吸引，萌发兴趣，开始倾心学习和研究天文、几何知识。被誉为“古希腊七贤人”之首。
数学与哲学联系，尤其是在古代，很多数学家都懂得一定的哲学知识，正像我国古代的数学家一般都懂得历法知识一样，泰勒斯也是一位哲学家。在他的学说里，首次对自然界进行脱离宗教的解释，他认为水是万物之源，一切都是由水形成的，一切事物的本质都依水的状态而改变。结论是，植物的生命保存在它的汁液里，因为植物干燥了就会死；动物的生命保存在血液里，甚至火焰也要吸取湿润。
根据现存原典史料证明，泰勒斯是古希腊的第一位天文学家。由于他准确地预言公元前585年5月28日的日食时间，使泰勒斯名声大振。据说古代两个奴隶制国家交战，5年未见胜负，泰勒斯扬言上天要制止战争，以某月某日必日食来作警告。果然到了那一天，两军正在酣战不停，突然太阳失去光辉，百鸟归巢，明星闪烁，白昼顿成黑夜。双方士兵将领大为恐惧，于是停战和好，后来两国还互通婚姻。
泰勒斯创建的学派——爱奥尼亚学派对数学的发展起到了很大作用，尤其对几何学的发展，起到的作用更大。有人认为泰勒斯是数学历史上第一位几何学家。
根据欧几里得《几何原本》第一卷的注释者普罗克洛斯记载的史料，充分说明了泰勒斯学派确立和证明了为人们所公认的第一批几何定理。这种记载源于希腊数学史家欧德莫斯所著《几何学史》，遗憾的是这部著作已经失传。
根据普罗克洛斯记载，泰勒斯至少证明了如下几个命题：
(1)圆被任一直径所平分。
(2)等腰三角形的两底角相等。在古代，曾把角相等称作“相似”。
(3)两条直线相交，对顶角相等。
(4)两个三角形两角与所夹边对应相等，则两个三角形全等。有人证实泰勒斯曾利用这条定理测定海上两船间的距离。
泰勒斯是用如下简单的方法测量的：
假设：A，B是两条船，可望而不可及。在岸上引AC垂直于AB，D是AC的中点，过C点向AB相反方向，引CE垂直于CA(使B，D，E在同一条直线上)这时，CE和AB距离相等，CE是可直接测量的。
根据希腊历史学家普鲁塔克的记载，泰勒斯曾应用两个等角三角形对应边成比例的定理，测出金字塔的高度。具体做法是将一根标杆竖立在平地上，利用塔影长与标杆影长的比，等于塔高与标杆高的比，来算出塔高。也有的学者说泰勒斯是根据当标杆影长和标杆长相等时，塔高与塔影也相等的道理推得的。有人认为这两种说法都有不妥之处。
根据有的史料记载，泰勒斯还发现了“半圆上的圆周角都是直角”的命题，但是，也有的史料指出了这个命题在巴比伦的数学中已经出现了，它与计算弦到圆心的距离有关系。而其证明应属泰勒斯。
从以上可以看出，泰勒斯学派并不满足于知其然，还要追求所以然的道理。他迈出了对数学命题证明的关键一步，为平面上线与角的理论奠定了基础，把科学的方法渗透于数学真理之中，载入数学史册。这标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学发展史上也是一个重要飞跃。因为数学中的逻辑证明，能保证命题的正确性，使理论立于不败之地，令人深信不疑，也能揭示出各定理间的内在联系，使数学构成严密的体系。
二、毕达哥拉斯学派
这个学派是以贵族式的观念形态作为基础，与在当时撒摩斯岛的古希腊民主制的观念形态，形成尖锐的对立，是具有神秘色彩的组织。领头人毕达哥拉斯生于撒摩斯岛。关于毕达哥拉斯本人有很多传说，甚至很难判断哪些传说是符合实际的，哪些是虚构的。就连他的生卒年月也很难确定。
毕达哥拉斯年轻时期，游历了很多地方，特别是游访古埃及和古巴比伦等地，学习了一些数学知识，大约在公元前530年回国，开始组建学派。这个学派的主张和观念曾引起撒摩斯公民的不满情绪，毕达哥拉斯为了避开人们的舆论，只好离开自己出生的本土，逃往希腊的移民区阿佩宁半岛，并定居在克罗托那城，重新建立学派。由于毕达哥拉斯参与政治活动，后来被杀害。他死后，其门徒散居到希腊其他学术中心，继续传授他的教诲，达200年之久。
毕达哥拉斯首先研究了数学的抽象概念，希腊学者亚里士多德曾说，毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分。数不能离开感觉到的对象而独立存在，即早期毕达哥拉斯学派认为一切对象由(整)数组成，或者说数乃宇宙的要素。因为他们心目中的数就如同我们心目中的原子一样，把数看作是现实的本源，是严谨性和次序性的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系，企图用数来解释一切。甚至认为万物都包含数(整数)，且万物也都是数(整数)。对周围观察到的现象，也都是用数的关系来说明。例如，当听到悦耳的音乐时，觉察到“和声”谐音，毕达哥拉斯学派认为只能用3根弦才能发出此音，其长度之比为3∶4∶6，并在很多场合，也都发现这种比例关系，立方体的面数、顶点数、棱数的比为6∶8∶12。
由于毕达哥拉斯学派赋予数如此重大的意义，因此，毕达哥拉斯学派非常注意研究数，也就是开始研究数的理论，研究数的性质，而注重实际的计算。
毕达哥拉斯学派首先使用了更加方便的记数系统，采用了腓尼基人所用的希腊字母表中的字母，并增加某些腓尼基的字母来表示数。
毕达哥拉斯学派还依据几何和哲学的神秘性来对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”“正方形数”“长方形数”“五角形数”等等。
实际上，以上各种类型的象形数，可从等差级数和导出来。
1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2(正方形数)
2＋4＋6＋……＋2n=n(n＋1)(长方形数)
例如，正方形数的图形可分为小正方形和曲尺形，反复分割，小正方形内一点和曲尺形内点的和，即是奇数系列之和：1+3+5+……
毕达哥拉斯学派还把“数”分成“完全数”和“相亲数”。如果一个数除其本身外的所有因数的和等于这个数，那么这个数就叫“完全数”。例如，6是完全数，因为它的每个因数之和为6，即：6＝1＋2＋3。若两个数中每个数的因数的和等于另一个数，这两个数叫做“相亲数”。按此定义，220和284是相亲数。因为220的因数之和为：1＋2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110＝284，而284的各因数之和为：1＋2＋4＋71＋142=220。毕达哥拉斯学派还声称：“谁是我的朋友，就应该像数220和284一样。”
毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”。但是，在什么情况发现的？怎样证明的？说法不尽一致。普罗克洛斯在注释欧几里得《几何原本》第1卷题47时，说得也不明确，指出在古代历史上有各种传说，据说这个定理是毕达哥拉斯发现的，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛。普洛塔克也有类似的说法，指出毕达哥拉斯是用填加面积的方法证明“勾股定理”的。
在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边长为c，以a＋b为一边画正方形，这样，在此正方形中，含4个直角三角形、一个以a为边的正方形和一个以b为边的正方形。
另外，再画一个以a＋b为边长的正方形，经过分割，这个正方形含有4个直角三角形和1个边长为c的正方形。因为两个正方形(即(a)和(b))面积相等，各减去同样的4个直角三角形的面积，立刻得到：
a2＋b2＝c2
实际上，毕达哥拉斯学派发现“勾股定理”之后，很容易过渡到对新数——无理数的发现，但毕达哥拉斯学派认为这违背了他们的信条(世界上一切都是由整数和整数之比构成)，相传毕达哥拉斯学派成员在海上游玩，把无理数的宣传者希帕索斯推到波涛汹涌的大海里。希腊人称不可公度量之比为αλoγos，当时，人们都在回避这种量，导致了数学史上的第一次危机。
毕达哥拉斯学派还研究了关于正多边形和正多面体的作图问题，尤其是首先完成了正五边形的作图，为解决正多边体的作图问题奠定了基础。毕达哥拉斯学派曾作出了当时所有可能的正多面体：具有4个等边三角形面的正四面体，具有8个等边三角形面的正八面体，由20个正三角形围成的正二十面体，由6个正四边形围成的正六面体，由12个正五边形围成的正十二面体。毕达哥拉斯学派认为这些都是“宇宙图形”，将四面体称为火；八面体称为气；二十面体称为水；六面体称为土；十二面体称为宇宙。他们认为在整个几何体中最优美的是球。
毕达哥拉斯学派在对数学的发现中，不断追求“美”的形式。他们认为日、月、五星都是球形，浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完美的平面图。就是曾被誉为“巧妙的比例”，并染上各种各样瑰丽诡秘色彩的“黄金分割”也是这个学派首先认识到的。
综上所述，使我们认识到，毕达哥拉斯学派对于研究解决数学问题的方法，发挥了很大作用。他们规定在数学中必须坚持严格证明，对数学的发展具有特殊意义。
三、诡辩学派
“诡辩”一词含“智慧”之意，诡辩学派也译作“哲人学派”或“智人学派”。
诡辩学派主要是以讲授修辞学、雄辩术、文法、逻辑、数学、天文等科为职业，也经常出入群众集会场所，发表应时的演说等，其代表人物是普洛塔哥拉斯、哥尔基亚、安蒂丰等。
值得注意的是，数学历史中著名的“三大几何难题”的研究始于诡辩学派。“三大几何难题”虽然不能精确求解，对其研究和探索，却引出了大量的数学发现。
(1)倍立方问题，即求作一立方体，使其体积是一已知立方体的2倍。
关于这个问题的产生众说纷纭。其中有一种说法是，在第罗斯岛上，瘟疫不断蔓延，岛上的人求教于巫神，巫神告诉他们应把现有立方祭坛加倍。这就产生了“倍立方问题”，也称“第罗斯问题”。
这个问题，实际上是已知立方体的边长为a，求作边长为x的立方体。
诡辩学派试图利用直尺(没有刻度)和圆规作出图形，据说希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉底曾把倍立方问题归结为求线段a与2a之间的两个等比例中项，不妨用现代数学符号表示，设x，y为两个比例中项，有：
a∶x＝x∶y＝y∶2a
∵a∶x=x∶y则：x2=ay(1)
∵x∶y＝y∶2a则：y2=2ax(2)
由(1)和(2)，消掉y，则：x4=2a3x，
∴x3＝2a3即为所求。
虽然希波克拉底没能根据所谓“几何作图法”(只用没有刻度的直尺和圆规，分别只能画直线和圆)求出x、y，但是他把立体问题转化到平面中来解决，这种思考方法是难能可贵的，是希波克拉底的重要贡献，为后人用二个矩(直角尺)作出a与2a两个等比中项奠定了基础。
倍立方问题虽然不能精确求解，但希腊人对它的研究与探索，推动了数学的发现。例如，门奈赫莫斯给出了这个问题的两种解法，由此发现了圆锥曲线。下边简述门奈赫莫斯的解法：
