二倍角的正、余弦、正切
【教学目标】
1.掌握倍角公式的推导，从中体会数学的化归思想和数学规律发现的过程；2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明；3.通过综合运用公式，使学生掌握有关技巧，提高学生分析问题，解决问题的能力；4通过以上公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养学生的逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
【教学建议】
1倍角公式可以由学生根据和角公式直接推导出，在对T2α公式的推导中让学生完善角的范围限制。公式推出后，让学生将倍角和前面所学的和（差）角公式的联系图总结出来，使知识系统化。
2由学生讨论分析公式的特点。①公式中的角之间存在2倍关系，其中要强调倍角的相对性，打破学生习惯认为只有α，2α才具有2倍角关系，教学中通过一些简单实例加强这方面的训练，熟悉公式的正向、逆向运用，如sinα=2sinα2cosα2，cosα2=cos2α4-sin2α4，tan3α=2tan3α21-tan23α2，sin3αcos3α=12sin6α，tan20°1-tan20°=12tan40°等。②利用T2α求tan2α只需要已知tanα即可，利用S2α，C2α求sin2α，cos2α时需要已知sinα，cosα，观察C2α左侧的特点，可以与sin2α＋cos2α=1建立联系，能否将公式变形？引导学生推导出C2α的两个变形公式，因此已知sinα，cosα中之一即可求出cos2α。③由单角变为倍角时式子的幂降升高，相反由倍角变为单角时式子的幂降低，在求解、化简或证明时要注意分析角之间、式子幂之间的关系，整理将形式统一。
3讲解例1时给学生指出或让学生归纳出：已知角α的某个三角函数值及其角所在的象限不仅可以求出α其余的三角函数值，还可求倍角的三角函数值。
4课本在例2的分析中给出将结论变形求解的方法，学生感觉方法巧妙的同时，还困惑理解方法如何想到的，给学生分析：证明三角等式一般要观察分析等式两边的联系区别，主要从角和函数名称入手，尽量将角和函数名称统一，此题左右两侧的角形式和函数名称都相同，分子中的角都是4倍的、函数名称都是正弦、余弦，分母上都是单角而且函数名是正切，直接从左或右向另一侧证明有些困难，能否将结论适当的变形以便于求解？使学生了解整个题目分析的过程。
5解决本章开始所提的问题，是倍角公式的实际应用，利用三角函数线学生可以得到sin2θ≤1，得到本题的结论。另外还需要把题目中“半圆”的条件替换为“圆”，可以得到正方形的性质：在一个圆的所有内接矩形中，内接正方形的面积为最大。
【教学设计示例】
二倍角的正弦、余弦、正切（第一课时）
教学具准备
投影仪或多媒体设备
教学目标
1掌握S2α、C2α、T2α公式的推导，明确α的取值范围。
2运用二倍角公式求三角函数值。
教学过程
设置情境
师：我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，请大家回忆一下这组公式的来龙去脉，并请一个同学把这六个公式写在黑板上，生：sin（α±β）=sinαcosβ±cosα·sinβcos（α±β）=cosαcosβsinα·sinβtan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ师：很好，对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆，还要注意公式的正用、逆用和变用。今天，我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式探索研究师：请大家想一想，在公式S（α＋β）、C（α＋β）、T（α＋β）中对α、β如何合理赋值，才能出现sin2α、cos2α、tan2α的表达式，并请同学把对应的等式写在黑板上。
生：可在S（α＋β）、C（α＋β）、T（α＋β）中，令α=β，就能出现sin2α、cos2α、tan2α，对应表达式为：sin（α＋α）=sinαcosα＋cosαsinαcos（α＋α）=cosαcosα-sinαsinαtan（α＋α）=tanα＋tanα1-tanα·tanα即：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α
tan2α=2tanα1-tan2α
师：很好，看来本节课的主要任务，已经被大家轻松完成了。对于公式tan2α=2tanα1-tan2α，我们似乎要注意些什么？大家想一想要关注什么？
生：要使tan2α有意义及1-tan2α≠0，tanα有意义。
师：tan2α有意义即2α≠kπ＋π2，α≠kπ＋π4（k∈Z）。
1-tan2α≠0，即tanα≠±1，也就是α≠kπ＋π4，可变为α≠kπ2＋π4。
要使tanα有意义，则须α≠kπ＋π2（k∈Z）。
综合起来就是α≠kπ2＋π4，
且α≠kπ＋π2，（k∈Z）。当α=kπ＋π2（k∈Z）时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式。
师：对于cos2α=cos2α-sin2α，还有没有其他的形式？
生：有（板书）
∵sin2α-cos2α=1∴sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α∴cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α师：（板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为S2α、C2α、T2α）对二倍角公式大家要注意以下问题。（1）用sinα和cosα表示sin2α、cos2α，用tanα表示tan2α，即用单角的三角函数表示复角的三角函数。（2）C2α有三种形式，T2α是有条件的。
例题分析
例1已知sinα=513，α∈π2，π。求sin2α，cos2α，tan2α的值。
解：因为sinα=513，α∈π2，π。所以cosα=-1-sin2α=-1-5132=-1213
于是sin2α=2sinαcosα=1×513×-1213=-120169
cos2α=1-2sin2α=1-2×5132=119169
tan2α=sin2αcos2α=-120169×169119=-120119
说明：本题也可按下列程序来做，请大家比较方法之优劣。
∵α∈π2，π，sinα=513
∴cosα＜0，且cosα=-1213，tanα=-512
sin2a=2sinαcosα=（sin2α＋2sinαcosα＋cos2α）-1
=（sinα＋cosα）2-1
=513-12132-1=49169-1=-120169
cos2α=cos2α-sin2α=（cosα＋sinα）（cosα-sinα）
=-1213＋513
-1213-513
=-713·-1713=119169
tan2α=2tanα1-tan2α=-10121-25144=-120119
例2不查表求值：
（1）2cos105°cos15°；
（2）518-59sin215°；
（3）tan15°1-tan215°；
（4）sinπ24cosπ24cosπ12。
解：（1）2cos105°cos15°=2cos（90°＋15°）cos15°=2（-sin15°）cos15°=-2sin15°cos15°
=-sin30°=-12
（2）518-59sin215°=5912-sin215°=59·1-2sin215°2
=518cos30°
=5336
（3）tan15°1-tan215°=12·2tan15°1-tan215°=12·tan30°=36
（4）sinπ24cosπ24cosπ12=12·2sinπ24cosπ24cosπ12
=12sinπ12cosπ12
=14·2sinπ12cosπ12
=14sinπ6=18
说明：逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式原形以便合理运用公式。
例3求证：[sinθ（1＋sinθ）＋cosθ（1＋cosθ）］[sinθ（1-sinθ）＋cosθ（1-cosθ）］=sin2θ引导学生观察式子两边的结构，提出证题的方向。
生：左边都是单角的三角函数，右边是二倍角。又因左边比右边明显复杂得多，所以应由左边证向右边，注意把单角的三角函数变为二倍角。
师：（板书）
证明：左边=（sinθ＋sin2θ＋cos2θ＋cosθ）·（sinθ-cos2θ＋cosθ）
=（sinθ＋cosθ＋1）（sinθ＋cosθ-1）
=（sinθ＋cosθ）2-1
=2sinθcosθ=右边
所以原式成立
例4化简：sin50°（1＋3tan10°）。
师：这道题给我们的感觉是有些无从下手，很难看出有什么公式可以直接使用。两个角10°与50°似乎还有一线希望，但由于受函数名称限制难以发挥它的作用，大家都来想想看，有什么办法可以打破这一僵局（请同学们讨论）？
生：在同角三角函数的化简中，如果一个式子有弦、有切，我们可以把切化成弦。
师：好的，我们来尝试（板书）
解：sin50°（1＋3tan10°）
=sin50°1＋3sin10°cos10°=sin50·cos10＋3sin10°cos10°=sin50°·212cos10°＋32sin10°cos10°=2sin50°·sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°=2sin40°·sin40°cos10°=sin80°cos10°=cos10°cos10°=1
说明：本题在尝试把正切化为弦（正、余弦）后果然获得成功，其实把正切化为弦就是一条重要思想，请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律。另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性，希望大家一并记下。
练习（投影）
（1）化简sinθ＋sin2θ1＋cosθ＋cos2θ（2）80cosπ32cosπ16cosπ8sinπ32=
（3）若f（x）=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2，则fπ12=
答案：（1）tanθ；（2）22；（3）8
【总结提炼】
（1）在两角和的三角函数公式S（α＋β）、C（α＋β）、T（α＋β）中，当α=β时，就可以得到二倍角的三角函数公式S2α、C2α、T2α，说明后者是前者的特例。
（2）S2α、C2α中角α没有限制条件，而T2α中，只有α≠k2π＋π4和α≠kπ＋π2（k∈Z）时，才成立。
（3）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的2倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍等等都是适用的，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键。
