cos2α有三种形式cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，要依据条件，灵活选用公式。另外，逆用此公式时，更要注意结构形式。
板书设计
二倍角公式
sin2α=例1
cos2α=例2演练反馈
tan2α=例3总结提炼
应注意几个问题：例4
二倍角的正弦、余弦、正切（第二课时）
教学具准备
投影仪
教学目标
1应用倍角公式解决本章开头的一个应用问题。
2活用倍角公式，推求半角公式。
教学过程
设置情境
请同学看教材第3页上的一段文字，它叙述的是一个生活中的实际问题：“如图1，是一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上画出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上。已知半圆的半径为α，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？”根据教材提示应用所学的倍角公式，同学们能尝试解答它吗？
探索研究
分析：要使矩形ABCD的面积最大，就必须想办法把面积表示出来，不妨利用我们所学的三角知识，从角的方面进行考虑，设∠AOB=θ，则AB=αsinθ，OA=αcosθ，所以S可以用θ表示。
解：设∠AOB=θ则AB=αsinθAD=2AO=2αcosθS矩形=AB·AD=αsinθ·2αcosθ=α2·2sinθcosθ=α2sin2θ∵sin2θ≤1∴S矩形≤α2
当S最大=α2时，sin2θ=1即2θ=90°，θ=45°这时AO=DO=αcos45°=22α，AB=22α答：点A、D分别位于点O的左、右方22α处时S取得最大值α2变式：把一段半径为α的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？
生：根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大。
以上是倍角公式在实际生活中的运用，请同学们观察以下例题，并分析、思考后能否得出证明。
例题分析
例1求证：
（1）sin2α2=1-cosα2；
（2）cos2α2=1＋cosα2；
（3）tan2α2=1-cosα1＋cosα。
思考，讨论。
我们知道公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α中α是任意的，所以我们可以用α2来替换α，这样就得到cosα=2cos2α2-1
cosa=1-2sin2α2
即sin2α2=1-cosα2
cos2α2=1＋cosα2
tan2α2=1-cosα1＋cosα
上面三式左边都是平方形式，当cosα的值已知，α2角的终边所在象限已知时，就可以将右边开方，从而求得：sinα2=±1-cosα2cosα2=±1＋cosα2
以上两式相除又得：
tanα2=±1-cosα1＋cosα
这三个式子称之为半角公式，“±”号的取舍得由α2终边所在象限确定。
例2求证：
tanα2=sinα1＋cosα=1-cosαsinα。
分析：从例1引出例2，tanα2=±1-cosα1＋cosα，右边是同一个三角函数，并且还要附上正负号，而所要证明的式子右边有两个三角函数，不带正负号。故我们不能利用上法，得另想办法。
师：（边叙述边板书）
tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cosα22cos2α2=sinα1＋cosαtanα2=sinα2cosα2=
2sin2α22sinα2cosα2=1-cosαsinα∴tanα2=sinα1＋cosα=1-cosαsinα上式不含根号也不必考虑“±”号选取，通常用于化简或证明三角恒等式，同样可作半角公式运用。
例3已知：cosα=12，求sin2α2，cos2α2，tan2α2。
解：sin2α2=1-cosα2=14
cos2α2=1＋cosα2=34
tan2α2=13
说明：①例1中（1）、（2）两式使用频率极高，正、逆使用都非常普遍。习惯从左到右，常称“扩角降幂公式”，从右到左常谓“缩角升幂公式”，②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式，倍半关系是相对的。
练习（投影）
1已知：sinα2-cosα2=-55（450°＜α＜540°），求：（1）sinα；（2）tanα2。
2若3π2＜α＜2π，求：12＋1212＋12cos2α的值。
3求：cos25π12＋cos2π12＋cos5π12cosπ12的值。
【参考答案】
解：1∵sinα2-cosα2=-55
两边平方得1-sinα=15∴sinα=45
又∵450°＜α＜540°∴cosα＜0
∴cosα=-35∴tanα2=sinα1＋cosα=2
2∵3π2＜α＜2π∴3π4＜α2＜π原式=12＋121＋cos2α2=12＋12cosα=1＋cos2α2=cosα2=-cosα2
（3）cos25π12＋cos2π12＋cos5π12cosπ12
=1＋cos10π122＋1＋cos2π122＋cosπ2-π12cosπ12
=1＋12cos1012π＋cos2π12＋12·2sinπ12cosπ12
=1＋12sinπ6
=1＋12×12=54
另解：设P=cos25π12＋cos2π12＋cos5π12cosπ12①Q=sin25π12＋sin2π12＋sin5π12sinπ12②①＋②得P＋Q=2＋cos5π12-π12=52③①－②得P-Q=cos10π12＋cos2π12＋cos5π12＋π12=0④③＋④得2P=52∴P=54
【总结提炼】
（1）本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题，得出结论“在一个圆的所有内接矩形中，以内接正方形的面积为最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，从而推导出半角公式，公式“±”号的选取决定于α2终边所在的象限，例2的应用也很广泛，大家可根据题目的条件选择使用较为方便的形式。
（2）从半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示。
（3）若给出的α是象限角，则可根据下表决定符号。
α的终边一二三四
α2的终边
一或三一或三二或四二或四
若给出的α是区间角，则先求α2所在区间再确定符号。
若没有给出确定符号的条件，则应在根号前保留“±”号。
板书设计
二倍角的正弦、余弦、正切
1复述二倍角公式
sin2α=1.课本例
cos2α=2.例1练习
tan2α=3.例2总结提炼
2由cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，推出半角公式4.例3
【习题精选】
一、选择题
1已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ=59，那么sin2θ等于A．223B．-223C．23D．-23
2已知α是第三象限角，且sinα=-2425，则tanα2等于A．43
B．34
C．-43
D．-34
3已知tanx=2，则tan2x-π4等于A．43
B．-43
C．34
D．-34
4若sin2α=14，且α∈π4，π2，则cosα-sinα的值是A．32
B．34
C．-32
D．-34
5tanπ8-ctgπ8的值为
A．－2B．－1C．2D．0
6已知tanA＋cosA=m，则sin2A等于A．1m2B．1m
C．2mD．2m
7tan67°30′-tan22°30′的值为A．1B．2C．2D．4
8如果cosθ=15，5π2＜θ＜3π，则θ2的值为A．-105
B．105
C．-155
D．155
9若3π2＜α＜2π，则12＋1212＋12cos2α等于A．cosα2
B．-sinα2
C．-cosα2
D．sinα2
10设a=tan15°＋tan30°tan15°·tan30°，b=2cos210°-sin70°，c=16cos20°cos40°·cos60°·cos80°，则A．a=b=cB．a≠b≠c
C．a=b≠cD．a、b、c互不相等
11化简1＋cos4θ＋sin4θ1-cos4θ＋sin4θ的值为A．tan2θ
B．ctg2θ
C．tanθ
D．ctgθ
二、填空题
12已知sinx=-1＋52，则sin2x-π4=。
13已知方程x2-（tanθ＋ctgθ）x＋1=0的一个根是2＋3，则sin2θ=。
14（tan10°-3）sin40°=
15若f（a）=12ctga-sina2·cosa21-2cos2a2，那么fπ12的值为。
三、解答题
16化简1＋sin10°＋1-sin10°。
17求值：cosαcos2π3＋α
＋cosαcos43π＋α＋2π3＋αcos4π3＋α。
18已知0＜α＜β＜π2，sinα与sinβ是方程x2（2cos40°）x＋cos240°-12=0的两个根。求cos（2α-β）的值。
19已知：tanα2·tanα-β2=-6。
（1）求证：5cosα-β2＋7cosβ2=0。
（2）若tan=α2=2，求cos（α-β）的值。
【参考答案】
1A2C3C4C5A6D7C8C9C10A11B122-5131214－1152
16原式=sin25°＋cos25°＋2sin5°cos5°＋sin25°＋cos25°-2sin5°cos5°=sin5°＋cos5°＋|sin5°-cos5°|=sin5°＋cos5°＋cos5°-sin5°=2cos5°17cosαcos23π＋α=cosαcos2π3cosα-sin2π3sinα=12cos2α-32sinαcosα=-12·1＋cos2α2-32·sin2α2，=-14cos2α-34sin2α-14
同理cos43π＋α=-14cos2α＋34sin2α-14，又cos2π3＋αcos4π3＋α=cos2π3cosα-sin2π3sinαcos4π3cosα-sin4π3sinα=-12cosα-32sinα-12cosα＋32sinα=14cos2α-34sin2α=14·1＋cos2α2=34·1-cos2α2
=12cos2α-14，
于是原式=-14cos2α-34sin2α-14-14cos2α＋34sin2α-14＋12cos2α-14=-34。
18∵△=2cos240°-4cos240°＋2=2sin240°，∴x=22cos40°±22sin40°。
∴x1=sin45°cos40°＋cos45°sin40°=sin85°，x2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°。
又由0°＜α＜β＜90°知β=85°，α=5°，∴cos（2α-β）=cos（-75°）=cos75°=cos（45°＋30°）
=6-24。
19（1）α-β2=α2＋α-β2，β2=α2-α-β2，∴左边展开再化正切，即得。
（2）∵tanα2·tanα-β2=-6，tanα2=2，∴tanα-β2=-3。
∴cos（α-β）=1-tan2α-β21＋tan2α-β2=-45。
