两位著名的数学家狄利克雷和勒让德分享着证明五次的FLT荣誉。当时，年轻的狄利克雷仅有二十岁，刚开始他光辉的生涯。古稀老人勒让德是著名的数论和分析学家。
1825年，狄利克雷在巴黎科学院宣读了一篇论文，宣布他已经证明n＝5时的FLT。然而，他忽略考虑可能情形之一。在此期间，勒让德独立地发现一个复杂的证明，而狄利克雷正在完善他的证明中余留的情形。
本质上，狄利克雷的证明使用了域K=Q（5）的算术。叙述证明的细节太长，分别考虑两种情形即可。第一种情形是十分容易的。第二种情形用无穷递降法处理。
下面的引理在证明中是基本的技术工具：
引理令a，b是不为零的互素整数，奇偶性相反，5a，5|b。如果a2-5b2=±1-52ef-g525（1）
（其中e≥0，f，g是奇偶性相同的整数）那么存在互素且奇偶性相反的整数c，d，5c，使得a＝c（c4＋50c2d3＋125d4）
b＝5d（c4＋10c2d2＋5d4）（2）
类似的引理也是必需的，如果14（a2-5b2）是（1）型。这些引理是域K=Q（5）中元素唯一分解成素元（直到单位）乘积的根据。
