用初等理论证明FLT的任何尝试，即不使用库麦的理想素因子理论，必须叙述n＝7情形阻止欧洲最优秀的数学家们的努力事实。因为他们探讨问题使用错误的方法和一些简单的思想，这些多半是费马发现的，而他们把它应用到全部情形。
1832年狄利克雷发表n＝14情形FLT的证明。这个结果较n＝7情形弱（每一个14次幂是7次幂，反之不行），证明在某种意义上表明对于n＝7情形失效。七年以后，1839年拉梅第一个发表n＝7情形的证明。证明是相当长的和需要技巧。由于它已被库麦的证明所代替，一般说来不需要再去研究它了。
1840年，勒贝格发现比拉梅更简单的证明。他使用下列多项恒等式：（x＋y＋z）7-（x7＋y7＋z7）
＝7（x＋y）（y＋z）（z＋x）\[（x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx）2＋xyz（x＋y＋z）\]（1）
柯西和刘维尔在转述1839年拉梅的论文时，指出另外一般多项恒等式。如果p是素数，p＞3，那么（x＋1）p-xp-1＝px（x＋1）（x2＋x＋1）εGp（x）（2）
这里，
ε=1，当p≡-1（mod6），2，当p≡1（mod6），0
a＋b＋c
＝12（m-3）
（m-1）！（2a＋1）！（2b＋1）！（2c＋1）！X2aY2bZ2c（3）
Gp（x）是整系数多项式，不是x2＋x＋1的倍数。
拉梅在1840年使用的恒等式是：如果m是奇数，那么（x＋y＋z）m-（x＋y-z）m-（x-y＋z）m-（-x＋y＋z）m。用如此复杂的工具，拉梅发表对于任意指数的FLT的“证明”。这是失败的，因为拉梅不正确地使用相当于在分圆整数环中唯一分解——这不是普遍的有效。
注关于分圆整数知识参见第四部分。
对于指数7，勒贝格证明中的主要步骤如下：1.如果x，y，z是两两互素不为零的整数，使x7＋y7＋z7＝0
根据（1）有：
s7＝7vt（4）
这里s＝x＋y＋z
u＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz
v＝（x＋y）（y＋z）（z＋x）
t＝u2＋xyzs（5）
2.于是v≠0，s≠0，v和s是偶数，u是奇数，t≡1（mod4），（t，xyz）＝1，（t，v）＝1。
3.t是某个整数的14次幂且7t。令t＝q14，q|u，于是u＝qr。
4.v＝76P7，其中p是偶数，因此
（x＋y）（x＋z）（y＋z）＝76p7（6）
（x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx）2＋xyzs＝q14（7）
x＋y＋z＝7pq2（8）
x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＝qr（9）
5.设r-1272p2q3=a，q3=a，q3=b，p2=2m＋1c，处理上述关系式，得a2＝b4-22m×3×74b2c2＋24（m＋1）×77c4（10）
这里a，b，c是奇数且互素。
6.根据（10）式推断出证明是不可能的。要对m进行归纳。作为事实的依据，实际上这步要比证明的其他部分长。
