公设公理是什么意思，是不证自明的，那么不证自明又是什么意思，是公认的事实，公认的事实它是怎么回事？定义存在问题，即任意约定的。用人们在还没有搞清楚而暂时又毫无办法解释的事实，作为假设的前提条件作为不证自明公设为定理或成为公理，来进行逻辑演绎推理或走数学化道路。所有的数学证明都是在自身存在的基础上的某些特征特点证明，有些把似真当作是真。
不言或不证即能自明，我们能用什么去证明呢？我们是可以假定是自明的，如果假定对了是可以的，如果错了呢？至少无法真实可靠的判断不证自明的对与错，那么所引起的后果该有多麻烦呢。公设是个最重要关键性的原则性问题，我们谁也说不明白，我们解释不明白它，多么牵强附会无可奈何，只好暂时这样来处理，否则无法进行下一步。在没有搞清楚事物的意义之前，用不能或无法证明的事实现象，再去进行证明或说明另一个事实现象又有什么意义呢？自己为自己作证是毫无意义的。
数学或几何证明看起来很严密，但在前提条件和适用范围却是无法严密的，在基础之前是无法证实和证明的，却走了公理化的道路。所谓的公理化过程就是一个置大多数事实而不顾，只顾及一些特定的事实，不是具有完备性的做法，只在有限的适用范围内有效，一旦离开适用的前提条件，在别的系统则是不相容的。不证自明是在什么前提情况下的自明，并不是在所有前提情况下的，是在有限条件下的，是在特定特殊局限在某些范围内情况的。
现在的数学是极端高度的抽象化和严密的逻辑性的符号体系，若不是这样则无法建立起来。数学并非会脱离实际，因为它是在公理化这个前提基础之上的，而公理化却是建立在事实这个前提基础之上的，其中省略了一个解释事实原因的过程是人们的经济原则所支配决定的，请不要完全误会。
数学的基础是不牢固的，一旦牢固的计算是相当可靠的，关键在于基础前提先决条件，认识上的复杂化很多是人为造成的，忽视了重要的基础问题。公理化掩盖了事实真相，更掩饰无知与无能，阻碍了人们对事实真相进行认识的追求努力。忽视了定义存在的前提条件，就算是经过证明了，也还是迷失方向的。我们应该在前提方面多搞清楚，后面的只是特征性问题，只要说明，不必证明就可以了。
数学家十分信赖那些通过严格复杂证明而得到的定理，而不去怀疑那些前提自明性公理。没有必要过分地研究数学证明的重要性，似乎经过证明就可以完全正确，其实并不尽然，因为问题往往出现在前提，无论如何怎么严密证明都是无可奈何于事无补。
规则本来就是人为规定的，那么在规定的范围内再去证明与不证明又有什么意义呢？我们没有必要把太多的精力都用在数学证明上，而是应该用在选择实际应用适用的范围上，或根据实际应用需要重新制定新的数学规则。检验数学的正确与否有两个前提，可检验性一个在数学系统内一个在数学系统外，假如在数学系统内属于理论，那么通过逻辑演绎证明就可以了，假如在数学系统外属于应用那么应以实践证实。
所谓的数学证明无非是将两个事实或事件之间建立起一套符合逻辑演绎形式的规则，至于为什么会这样而不会那样数学是无法解释的，而形式逻辑也只是一种人为规定，同样解决不了这个问题。如茶杯是怎样如何变成面包圈的，但却解释为什么会这样，也许还会那样。尤其是以人为性事件的情况来替代对于自然发生情况。
人们定义了许多抽象概念，然而对于其表示的内容不加区分，比如将数量关系与几何图形关系混合起来。数学概念的真实现实是最重要的，而逻辑演绎形式可以根据实际需要来制定。比如有理数、复数都是既可以由于数系上的推演来生成，也可以通过几何直观来描写。数学不必非得经过严密逻辑演绎证明也还是具有实用性的，是由真实具体的事实所决定的。克莱因指出数学是一门逻辑学科不合逻辑的发展过程，是在不合逻辑的分析困境中发展起来的。
欧几里德第五假设的平行公理的平行线是这个具体事物的自身固有特征，是不需要任何证明就存在着的，任何证明都是多余；名称的本身就意味着具有某些特征，否则就会称为别的名称了。所以有人称平行公理问题是“几何原理中的家丑”。至今有些人还孜孜不倦地追求数论上的严格证明，而作为证明前提工具的函数微积分本身却是没有经过或符合严格证明的，这不能不说是在数学推导过程中的一大致命性缺陷。众所周知，在数学推导过程中无论多么严密，只要在某一环节中出现发生问题，也就等于全部失效，这是不争的事实。
有些人特别刻意相信证明，好像是证明起了多么重要的作用，似乎谁掌握了这种技巧谁就是最具有权威性的人。其实不然，数学真正起作用的而是相似接近了事实的特征，那些再精密的论证证明，不如在事实上的有效为更有说服力。证明其实也就是通过人为规定的这种规则的演绎来符合事实的特征。证明的是规定，规定的是特征，自身所具有的特征不是证明出来的，用自身规定去证明自身特征的实质还是什么问题都没有解决。特征是无需证明或规定证实的，既然是真实存在的自然是真实可靠的。其实证明与不证明是无关紧要的，重要的是事实，事实的直观特征就是不去证明也还是存在着的，反倒是因为证明而容易忽视了对事实本质的思考。
有时证明并不真实可靠，一个没有事实根据的前提本身就是无根无据，根本没有或不能证明什么，只有证实才是真实可靠的。我们需要真正事实的证实，而不是自欺欺人的证明，证明还不如说明恰如其分，将证明与证实混为一谈我们才会认识不清。
对自然的真实是无须证明或证实的，就是在那里明摆着的事实，对于人为性的规定尽管进行不管进行多么严密证明论证仍然还是存在着某种不可靠，永远比不上自然事实真实可信。自然中的真实事实胜过任何严密的数学证明，它最具有说服力。将算术与真实自然对象形成相互对应关系，则什么问题也不发生了。自然没有任何问题，只是我们认识上存在问题，数学不是通过自然真实性来达到说明可信度，而是通过严密的公理化过程来证明使人达到相信的。
证明性活动是在概念被建立以后时才发生的，它不是数学产生源泉，更不是数学正确性的象征，证明是一种后续性活动。证明也好，不证明也罢，反正都得接受真实事实的检验，真实事实对数学检验才是最具有最有说服力的。数学的有效性就是来源于实际应用，而不是人为性证明，数学不是因为证明性而存在，而是因为来源于实际应用而存在。数学不用证明也是有效的，本来就是对自然经验的概括总结。
花费在公理化或证明活动的功夫，不知残酷无情摧残吞噬多少优秀数学家们的时间精力，许多数学家们将人生最宝贵的精力都贡献给那些毫无意义的证明上，为了一个猜想证明几百年，实在是一种浪费。人类智慧完全有能力建立新的数学体系，并能解决现在数学体系所无法完成的任务。
为什么只注意注重证明，而忽视了具体事实上的直观特征呢？这不能不说是认识上的一个误区。亚里士多德口口声声反对同义反复，可是在实际推理过程中仍然进行同义反复，因为没法对自然做出根本性解释，所以改用推理证明。数学也不过是建立在同义反复的证明上，数学上的逻辑学证明如同魔术师的手段一样解决了不明原因的困扰尴尬，其目的是让人们相信结论是真实的，其实质是一种人为上的错觉。
数学家的友谊
斯蒂费尔的“指数”思想，实际上早在2200年前就已有过！公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德（公元前287—前212年），在他名著《计砂法》中，就曾研究过以下两个数列：
1，10，102，103，104，105，……；
0，1，2，3，4，5，……
并发现了幂的运算与指数之间的联系。然而，在阿基米德死后，因后继无人而湮灭了！
在斯蒂费尔发现对数后不到60年，在英吉利海峡两边的不同国度里，却几乎同时出现两位新秀：一位是纳皮尔，另一位是聪明绝顶的瑞士钟表匠标尔格。后者是著名天文学家开普勒的助手。出于天文计算的需要，他于公元1611年，制成了世界上第一张以e为底的四位对数表。
不过，纳皮尔的工作是无与伦比的。他的非凡成果，惊动了一位住在伦敦的天文数学家，牛津大学教授布里格斯（1561—1631年）。布里格斯几乎陶醉于纳皮尔奇特而精妙的对数理论，渴望能亲睹这位创造者的容颜！
公元1616年初夏，布里格斯去信给纳皮尔，希望能有机会亲自拜访他。纳皮尔久仰布里格斯大名，立即回信，欣然应允，并订下了相会的日期。不久，布里格斯便登上了前往爱丁堡的旅途。
伦敦与爱丁堡之间路遥千里，而当时最快的交通工具只有马车，虽然日夜兼程，也需要数天时间。而两位科学家却早已心驰神往，大家都极为盼望着这次会面时刻的到来！
俗话说得好“佳期难得，好事多磨”，偏偏在这节骨眼上，布里格斯的马车中途因故抛锚。布里格斯心急如焚，却又无可奈何！此后虽则加速行程，但终因此番耽搁，以致没能如期抵达爱丁堡。
话说另一头，在约定的日子里，纳皮尔左等右等，终不见布里格斯的身影，焦虑和不安使这位年近古稀的老人，似乎显得更加苍老！时间过去了一天，正当纳皮尔望眼欲穿之际，突然门外响起了阵阵铃声。纳皮尔喜出望外，急忙向大门奔去……当风尘仆仆的布里格斯出现在纳皮尔面前时，两位初次见面的数学家，像老朋友般紧紧地握住对方的双手，嘴唇颤动着，却久久说不出话来！
在很长一段时间之后，布里格斯终于先开了口：“此番我乐于奔命，惟一的目的是想见到您本人，并想知道，是什么样的天才使您第一次发现了这个对天文学妙不可言的方法。”
这次会面使两位数学家结成了莫逆之交。布里格斯根据自己在牛津大学的讲学经验，建议纳皮尔把对数的底数改为10，主张：
log101=lg1=0
log1010=lg10=1
这样，一个数N的对数，便可明确地分成两个部分：一部分是对数首数，只与数N的整数位数有关；另一部分是对数尾数，则由数N的有效数字确定。这就是说，若：
lgN=α
则α=［lgN］
0=lgN—［lgN］
有道是：“英雄所见略同。”纳皮尔对布里格斯的建议大为赞赏，认为这种以10为底的对数，对于通常的计算更为实用！
就这样，纳皮尔又以全部的精力投入了新对数表的制作，直至不幸逝世。
纳皮尔的未竟事业，由布里格斯继承了下去。经历了艰难的8年之后，公元1624年，世界上第一本14位的常用对数表终于问世。不过，布里格斯的对数表实际上并不完全，只有1~2000及90000~100000各数的对数。这一对数表的空隙部分，四年后由荷兰数学家符拉克补齐。
对数计算尺的兴衰历程
随着对数应用的扩大，各类精密度更高的对数表，像雨后春笋般相继出现，蔚为壮观！其中有20位的、48位的、61位的、102位的；而如今雄踞位数榜首的，是亚当斯的260位对数！
随着对数表位数的增加，表格的厚度也越来越厚：四位对数表只需3页；5位对数表就要30页；而6位对数表则需182页，……面对着这一本厚似一本的表格，人们终于引起了反思。实践使他们意识到，表的位数如果多于计算量的度量精度，那么表的位数越高，造成的时间和精力的浪费也就越大！于是，在实用的指导下，人们又逐渐从高位对数表，退回到低位对数表上来。目前全世界的教科书，采用的几乎都是四位对数表，这种表的使用，大家想必是很熟悉的！
对多位对数表反思的另一个结果，是更为快速计算工具的诞生。下图是一把常见的计算尺式样，标尺上的读数分为三级，因此可以读出三个有效数字。对精度要求不太高的计算，计算尺是十分方便的！
计算尺的前身是纳皮尔算筹，它是纳皮尔于公元1617年发明的。它由一些长条状的木棍组成，木棍的表面雕刻着类似于乘法表的数字。纳皮尔用它来帮助进行乘法计算，他根据乘数和被乘数排列好木棍的顺序，仅需要做简单的加法就能计算出乘积，从而大大简化了数值计算过程。纳皮尔算筹与中国的算筹在原理上大相径庭，它已经显露出对数计算方法特征。
纳皮尔开创的对数概念影响了一代数学家，英国牧师奥特雷德就是其中的佼佼者。虽然这位牧师后来爬到了主教的位置，仍然把全部业余时间花在数学上，甚至一天只睡两三个小时。他发明的乘法符号“×”一直沿用至今。
按现在的说法，奥特雷德的目光主要聚焦于基础数学领域，不大重视纯数值计算。但是，他对当时流行的计算工具却很熟悉，纳皮尔算筹和对数计算也是他精通的技能。1622年，奥特雷德突然萌发了一个念头：如果在两个圆盘的边缘标注对数刻度，然后让它们相对转动，就可以制成一种基于对数运算法则的仪器，用加减法来替代乘除。当奥特雷德完成了这个小小的发明时，他实际上创造了原始的对数计算尺。奥特雷德发明的圆盘逐渐演变成圆柱，在18至19世纪成为工程师们最喜爱的“计算机”。右图是1880年圆柱型对数计算尺实物照片，其有效长度为200英寸，能精确到4位有效数字。
奥特雷德和他的学生后来把圆盘计算尺改进成两根相互滑动的直尺状。17世纪中期，有人又把它进一步改进为主尺座和在尺座内部移动的滑尺；18世纪末，那位发明蒸汽机的大发明家瓦特匠心独具，在尺座上添置了一个滑标，用来贮存计算的中间结果，使这种工具更方便更合用。
在工程计算领域，奥特雷德发明的对数计算尺不仅能做加、减、乘、除、乘方、开方运算，甚至可以计算三角函数、指数函数和对数函数，它一直使用到袖珍电子计算器面世为止。即使在20世纪60年代，对数计算尺依然是理工科大学生必需掌握的基本功，是工程师身份的一种象征。然而，由于它属于“模拟式计算机”范畴，其精度不够很难用于财务、统计等方面，终于未能逃脱被电脑取代的厄运。
