1976年有两位年轻的科学家阿佩尔和哈肯应用计算机证明了“四色问题”。当时为世人所震惊。这是依靠计算机证明的唯一的大定理。
“四色问题”也称“四色猜想”。我们在绘制地图时，为了区别一个国家与它的邻国，一个省区与它邻近的省区，总要给不同的国（省区）与它的相邻近的国（省区）画上不同的颜色。当我们打开任何一本彩色地图册就会发现，只有4种颜色。也就是说，用四种颜色就可以把各国（省区）区分出来。这就是“四色问题”。更确切地说，在平面上或球面上绘制地图只需要用4种颜色。
提出四色猜想的第一位数学家是德国的莫比乌斯，这是1840年的事。1850年一位英国学生叫葛斯瑞也认为绘制地图4种颜色足够了。其后不久，他给弟弟写信并“证明”这个猜想正确。可惜这个证明被遗失了，许多数学家认为此证明可能也是错的。他的弟弟把葛斯瑞的这一想法写信告诉美国几位有名望的数学家，希望他们证明四色猜想。但直到1879年，其中的凯雷虽然对此问题很感兴趣，但他宣布无法证明四色猜想。
继凯雷之后，有一位从事律师工作的肯普在数学学术杂志上发表了一篇论文，说他“证明”了四色问题。可惜，他的证明也是错误的，这个错误在1899年被数学家希伍德指出。而希伍德本人发表了一篇严密论证的文章，但是他只证明五色，没有证明四色。当然，从五色着手改进方法或许能证明四色，但问题并不这样简单，从那以后100多年以来，许多数学家都想证明四色猜想。开始选择另外的方向，在国家数目上加以限制。首先是费兰克林在1920年证明，当国家的数目≤25时，四色定理成立。1926年国家数提高到27，1936年提高到31，1943年又提高到35，1968年又提高到40。为什么国家数目增加得如此之慢呢？因为每增加一两个，不同国家之间的边界关系类型就会变得复杂得多，而证明的关键是必须把地图的所有类型都考虑进去，这就给证明带来更大的困难。所以，很长时间内，四色问题未能加以证明。
1976年，阿佩尔和哈肯利用计算机给“四色猜想”加以证明，前后花了七个月时间。第一步是把所有可能的地图类型归结为有限多个不同的类型，他们归类成1936个。仅这一步就耗时6个月；第二步是证明它们用四色足够区分，这花了一个月时间。在计算机的帮助下，他们最终完成了这个证明。
但是从1976年以来，有不少数学家对此抱有怀疑态度。不论怎么说，这件事本身说明电子计算机对数学家来说是不可缺少的工具。他们的想法是，能不能找到不依赖电子计算机的人工证明，关于这一关，仍然有数学家在不断的探索中，但结果还在期盼中。
哥德巴赫猜想
要懂得哥德巴赫猜想是怎么一回事？只需把早先在小学三年级里就学到过的数学再来温习一下。那些12345，个十百千万的数字，叫做正整数。那些可以被2整除的数，叫做偶数；剩下的那些数，叫做奇数。还有一种数，如2，3，5，7，11，13等等，只能被1和它本身而不能被别的整数整除的，叫做质数。除了1和它本身以外，还能被别的整数整除的，这种数如4，6，8，9，10，12等等就叫做合数。一个整数，如能被一个素数所整除，这个素数就叫做这个整数的素因子。如6，就有2和3两个素因子。如30，就有2，3和5三个素因子。
哥德巴赫是德国数学家，出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城），曾在英国牛津大学学习，原学法学，曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725-1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。1729-1764年，哥德巴赫与大数学家瑞士的欧拉保持了长达35年的书信往来。
1742年，哥德巴赫写信给欧拉时，提出了：每个不小于6的偶数都是两个素数之和。例如，6=3+3。又如，24=11+13等等。有人对一个一个的偶数都进行了这样的验算，一直验算到了3.3亿之数，都表明这是对的。但是更大的数目，更大更大的数目呢？猜想起来也该是对的。猜想应当证明。要证明它却很难很难。
整个18世纪没有人能证明它。
整个19世纪也没有人能证明它。
到了20世纪的20年代，问题才开始有了点儿进展。
很早以前，人们就想证明，每一个大偶数是两个“素因子不太多的”数之和。他们想这样子来设置包围圈，想由此来逐步、逐步证明哥德巴赫这个命题——一个质数加一个质数（1+1）是正确的。
就像许多著名的数学未解问题，对哥德巴赫猜想有不少宣称的证明，但都未为数学界所接受。
从6=3+3、8=3+5、10=5+5、……、100=3+97=11+89=17+83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？于是人们逐步改变了探究问题的方式。
1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学家大会上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9+9”是怎么回事呢？所谓“9+9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其他两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之乘积。”从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1+1”了。
1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。很快，“6+6”、“5+5”、“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。1957年，中国数学家王元证明了“2+3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。1965年，前苏联数学家证明了“1+3”。
1966年，中国数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的乘积。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。
有很多非专业数学爱好者试图证明这个猜想，但是这些证明往往被看做民间“猜想”爱好者不自量力的举动。专业数学研究者认为证明这一猜想需要深刻的数论理论知识，然而几乎所有的民间数学爱好者的“证明”使用的数学工具往往仅仅是初等数学或者微积分。如今，哥德巴赫猜想仍然是众多科学家正在寻找方法证明的“谜题”。
