一个草率的年轻人来自缅甸，发现了费马定理的证明，从此他整天忧心忡忡，生怕发现错误，他怀疑怀尔斯的证明是否更可靠。
——费尔南多·高维（FernandoGouvea）
这一次对证明不再有怀疑了。这两篇论文总共有130页，303是历史上核查得最彻底的数学稿件，最终发表在《数学年刊》（AnnalsofMathematics）上（1995年5月）。
怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版上，不过这一次的标题《数学家称经典之谜已解决》与另一则科学报道《宇宙年龄的发现提出新的宇宙之谜》比较就有点相形见绌了。虽然这次记者们对费马大定理的热情稍稍有所减退，但数学家却并未忽视这个证明的真正的重要意义。“用数学的术语来说，这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，”约翰·科茨发表看法说，“对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子使数论发生了革命性的变化。对我来说，安德鲁304的成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”
在怀尔斯经受严峻考验的8年中，他实际上汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个万能的证明。他创造了全新的数学技术，并将它们和传统的技术以人们从未考虑过的方式结合起来。通过这样的做法，他开辟了处理为数众多的其他问题的新思路。按照肯·里贝特的说法，这个证明是现代数学的完美综合，并将对未来产生影响：“我想假如有人被遗弃在一个无人的荒岛上，而他只带着这篇论文，那么他会有大量的精神食粮。随意翻到某一页，上面可能是对德利涅（Deligne）的某个基本定理的简明描述；再翻到另一页，也许是赫勒古阿切（Hellegouarch）的一个定理——所有这些内容都只被短暂地使用一下就继续转向下一个环节。”
在科学记者们颂扬怀尔斯对费马大定理的证明的同时，他们当中几乎没有人对与它密不可分地关联着的谷山志村猜想的证明发表过评论；他们当中也几乎没有人费神提及谷山丰和志村五郎的贡献，这两位日本数学家早在20世纪50年代就为怀尔斯的工作播撒了种子。虽然谷山在30多年前已经自杀，他的同事志村却活着目睹了他们的猜想被证实。当被问及对这个证明有何感想时，志村微微一笑，以克制和自尊的态度平静地说：“我对你们说过这是对的。”
306和他的许多同事一样，肯·里贝特感到证明谷山志村猜想这件事已经改变了数学：“它有一种重要的、心理上的影响，那就是现在人们已有能力着手处理以前不敢研究的其他一些问题。对前景的看法不同了，你知道了所有的椭圆方程可以模形式化，因而在你证明一个椭圆方程的定理时你也在解决模形式的定理，反过来也是如此。你可以从不同的角度理解正在研究的东西，你对处理模形式也不会有多大的畏惧，因为本质上你只是在处理椭圆方程。当然，当你写关于椭圆方程的论文时，我们现在可以直接说：我们已知谷山志村猜想是对的，所以某某结果必定是对的；而不必像过去那样说：我们尚不清楚，所以我们打算假定谷山志村猜想是对的，然后看看利用它可以做些什么。这是一种非常非常愉快的感觉。”
通过谷山志村猜想，怀尔斯将椭圆曲线和模形式统一了起来，这种做法为数学提供了实现许多别的证明的捷径——一个领域中的问题可以通过并行领域中的对应问题来解决。一直追溯到古希腊时代的经典的、未解决的椭圆问题，现在可以利用模形式中一切可利用的工具和技巧来重新探索。
更为重要的是，怀尔斯使更宏伟的罗伯特·朗兰兹的统一计划——朗兰兹纲领跨出了第一步。现在，在数学的其他领域之间证明统一化猜想的努力又重新恢复。1996年3月，怀尔斯和朗兰兹分享了10万美元的沃尔夫奖（WolfPrize）（不要与沃尔夫斯凯尔奖混淆）。沃尔夫奖委员会认为，怀尔斯的证明就其本身来说是一个使人震惊的成就，而同时它也给朗兰兹雄心勃勃的计划注入了生命力。这是一个可能使数学进入又一个解决难题的307黄金时期的突破性工作。
经过1年的窘迫和忧心忡忡后，数学界终于又感到欢欣鼓舞。每一个专题讨论会、学术报告会和学术会议都有一段时间专门介绍怀尔斯的证明，在波士顿，数学家们还发起了一次五行打油诗创作竞赛以纪念这个重大事件。它收录了这一条：
“我的黄油，男孩，是显而易见的！”
一家小餐馆听到了挑战，“我必须写在这儿，”
作者皮埃尔声称，“我在杂志上找不到空间。”
E.豪，H伦斯特拉，D.莫尔顿重要的未解决的问题
怀尔斯意识到，为了把数学中最杰出的证明之一献给数学，他不得不使它丧失一个最迷人的谜：“人们对我说我夺走了他们想要解决的问题，他们问我是否我能给他们别的事情做做。确实有一种失落感。我们失去了曾经与我们相处这么长时间的某种东西，那种把我们中许多人引向数学的东西。也许这是研究数学问题必然会经历的过程。我们必须找到能吸引我们的新问题。”
尽管怀尔斯现在已经解决了数学中这个最着名的问题，但是世界上的解谜者们无须失去希望，因为还有大量未解决的数学难题。这些艰深的问题中有许多像费马大定理一样起源于占希腊的数学，并且中学生都能理解。例如，关于完满数还有许多不解之谜。如同第一章中讨论的那样，完满数是其因数之和等于它本身的那些数。例如，6和28是完满数，因为1，2，3整除6，而6=1+2+3，1，2，4，7，14整除28，而28=1+2+4+7+14。
笛卡尔说，“完满数像完美的人一样是非常少见的”，事实上在最近几千年中只发现了30个。最新的也是最大的一个完满数其位数为130000位，是由式子2216090×（2216091-1）
确定的。所有已知的完满数有一个共同的特点，即都是偶数，这一点可能暗示所有的完满数都是偶数。一个显然的但结果却是使人受挫的挑战是证明这是对的——任何完满数都是偶数吗？
关于完满数的另一个大难题是，它们的个数是否是无穷的。几个世纪以来成千名数论家做了尝试，但都未能证明存在或不存在无穷多个完满数。无论谁成功，他都将自动地在历史上占有一席之地。
另一个含有大量的古代未解决问题的数学领域是质数理论。质数序列的排列模式使人根本看不清，质数本身毫无规律可言。人们把质数描述为在自然数之间随机生长的野草。然而对自然数进行核对时，可以发现在有些范围内质数很多，但不知什么原因在别的范围内会完全没有质数。许多世纪以来，数学家们一直未能成功地说明质数的构成模式。可能根本就没有模式存在，质数呈现一种内在的随机分布状态。在这种情形下，数学家应该去解决要求低一点的质数问题。
例如，两千年前欧几里得证明了质数的出现是无穷无尽的（见第二章），而最近的两百年中数学家一直试图证明可以无穷无尽地产生孪生质数。孪生质数是一对相差2的质数，2是质数彼此能相差的最小数——它们不可能相差1，因为否则其中的一个必定是偶数，因而可被2整除，就不是质数。小的孪生质数有（5，7）和（17，19），大一点的则有（22271，22273）和（1000000000061，1000000000063）。孪生质数似乎散布在整数序列之中，数学家越是努力寻找它们，那么他们发现的孪生质数就越多。有力的证据表明存在无穷多对孪生质数，但是没有人能证明这是对的。
在证明所谓的“孪生质数猜想”方面最近的突破要回溯到1966年，当时中国数学家陈景润（ChenJingrun）证明了存在无穷多个质数和“殆质数”（almostprime）对。真正的质数除了1和本身外是没有别的因数的，而殆质数是最接近于这个性质的数，因为它们只有两个因数。所以17是质数，而21（3×7）是殆质数。像120（2×3×4×5）这样的数根本不是质数，因为它们是好几个质因数的积。陈景润证明了存在无穷多个数对，其中一个质数或者与另一个质数或者与另一个殆质数孪生。无论谁能前进一步移去“殆”字，他就将取得自欧几里得以来质数理论中的最大突破。
另一个质数的谜可溯源至1742年，当时克里斯蒂安·哥德巴赫（时年十几岁的沙皇彼得二世的家庭教师）写了一封信给瑞士大数学家莱昂哈德·欧拉。哥德巴赫曾仔细考察了几十个偶数，并注意到他可以将它们都分解成两个质数之和：
4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，50=19+31，100=53+47，21000=17+20983，哥德巴赫问欧拉是否他能证明每个偶数可以分解成两个质数之和。尽管做了多年努力，这位被誉为“分析的化身”的大数学家还是被哥德巴赫的挑战挫败。在当今的计算机时代，哥德巴赫猜想，由于其越来越着名，已经对小于100000000的每一个偶数测试过并发现都是对的，但仍然没有人能证明这个猜想对直至无穷的每个偶数都是对的。数学家已经能证明每个偶数是不多于800000个质数的和，但这离证明原来的猜想还有很长的一段路。即使如此，这个弱得多的证明也提供了对质数性质的重要的了解。1941年斯大林给俄罗斯数学家伊万·马特维叶维奇·维诺格拉多夫（IvanMatveyevichVinogradov）颁发了价值10万卢布的奖，维诺格拉多夫在证明哥德巴赫猜想方面取得了某些重要的进展。（译者注：中国数学家陈景润于1966年证明了“每个大偶数都是一个质数及一个不超过两个质数的乘积之和”，这是迄今在哥德巴赫猜想方面最好的结果。）在所有可能取代费马大定理作为数学中最重要的未解决问题的问题中，最佳的候选者是开普勒的球填装问题。1609年德国科学家约翰内斯·开普勒（JohannesKepler）证明行星是按椭圆而不是圆周轨道运行的，这是使天文学发生革命的一个发现，后来引导牛顿推断出了万有引力定律。开普勒的数学遗产数量不算很多但是都很深刻。这个问题实质上涉及以最有效率的方式排列大量的橙子的奇妙问题。
问题是1611年提出的，当时开普勒写了一篇题为“论六角形的雪花”的论文，是献给他的恩人瓦肯费尔斯地方的约翰·瓦克（JohnWacker）的新年礼物。他成功地解释了为什么所有的雪花都有独特的但总是六边形的结构。他推测每片雪花开始时都有一颗六边对称的种子，这颗种子在穿过大气层时会发育成长。不断变化着的风、气温和尘埃条件保证了每片雪花都是独一无二的；另一方面，种子是非常小的，这就使得决定其成长模式的条件在所有的六边上是完全相同的，保证了对称性得以保持。在这篇看上去漫不经心的论文中，特别擅长于从最简单的观察中提炼出深邃见解的开普勒奠定了结晶学的基础。
开普勒对于物质粒子如何排列以及在表观上如何编排它们自己的兴趣还导致他讨论另一个问题，即什么是最有效的，使得它们占有的体积最小的堆积粒子的方式。如果假定粒子是球形的，那么很显然，不管将它们如何排列，它们之间必定会有间隙存在。因而挑战就是确定哪一种排列会使空隙最小。为了解答这个问题，开普勒构造了各种不同的安排，并计算每一种排列的填装效率。
开普勒探索的第一种排列方式现在称为面心立体格架。首先将球排成一个底层，使得每个球周围有6个球。第二层是通过将球置于第一层的“低凹处”构成，如图24所示。第二层实际上与第一层是完全一样的，只是它被稍稍移动了一下使得它舒适地进入它的位置。这种排列与蔬菜水果商把橙子堆成棱锥形使用的方法是完全相同的，它的效率为74％。这意味着如果使用这种面心策略将橙子填装进一个纸板箱，那么橙子将占有箱子容积的74％。
可以将这种排列与别的例如简单立体格架做一个比较。在后者的情形中，每一层由放置于正方形格栅中的球组成，每层直接放在另一层上面，如图25所示。简单立体格架的填装效率只有53％。
另一种排列——六边形格架——与面心立体格架是类似的。每一层通过每个球周围放6个球组成，但是每一层不再稍稍移动一下使得它整齐地落在它下一层的低凹处中，而是直接地放在下层的上面，如图26所示。六边形格架的填装效率只有60％。
开普勒研究了一大堆各种各样的构造，并得出了他认为值得写在他的论文《论六角形的雪花》中的结论，即面心立体格架是“使填装最为紧凑”的方法。开普勒的结论是完全合理的，因为面心立体格架的填装效率在他已发现的当中是最高的，但这不排除可能存在某种具有更高的填装效率而他却忽视了的排列方法。这个小小的可疑因素正是球填装问题的要害，这个难题比费马问题早半个世纪，并且现在已经证明它甚至比大定理还要难对付。这个问题要求数学家证明面心立体格架无可怀疑地是填装球的最有效方法。
像费马大定理一样，开普勒的问题要求数学家做出一个能包罗无穷多种可能情形的证明。费马宣称在无穷多个整数中没有费马方程的解，而开普勒宣称在无穷多种排列方法中没有一个能有比面心立体格架更高的填装效率。除了要证明不存在别的格架，即别的规则的排列方法具有更高的填装效率外，数学家还必须在他们的证明中把一切可能的无规则的排列方法也考虑进去。
在过去的380年中，没有人能证明面心立体格架确实是最优的填装策略；而另一方面，也没有人发现更有效的填装方法。不存在反例意味着从实用的目的考虑，开普勒的结论实际上是对的；但是在纯粹的数学世界中，则仍需要有一个严格的证明。这种情形使得英国的球填装问题专家罗杰斯（C.A.Rogers）评论说：开普勒的结论是“绝大多数数学家相信而所有的物理学家都知道”的一个结论。
